三角函数常见典型考题赏析

■钟小彧

三角函数是高中数学的重要内容之一,也是高考命题的热点之一。三角函数除具有一般函数的各种性质外,还具有周期性和对称性。三角函数的图像与性质、三角函数的化简与求值是学习的重点。在三角函数的学习过程中,要探究三角函数的解题规律和解题方法,多做典型题,多看其答案分析,才能学好这部分内容。

题型1:象限角与终边相同的角

(1)象限角α的集合表示:第一象限角表示为{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z},第二象限角表示为{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k∈Z},第三象限角表示为

{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k∈

Z},第四象限角表示为{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k∈Z}。(2)判断α是第几象限角的三个步骤:将α写成α=k·360°+β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式;判断β的终边所在的象限;根据β的终边所在的象限,即可确定α的终边所在的象限。(3)求解给定范围内终边相同的角的方法:先写出与角α终边相同的角β,即β=α+k·360°(k∈Z),根据给定的范围建立关于k的不等式,解出k的范围,再根据k∈Z确定β。

(2)判断下列各角分别是第几象限角,请写出与下列各角终边相同的角β的集合S,并求出S中适合不等式-360°≤β＜360°的元素。①60°,②-21°。

(3)写出终边在x轴上的角的集合。

解:(1)因为-2010°=-6×360°+150°,所以与-2010°终边相同的最小正角是150°。

(2)①60°是第一象限角,S={β|β=60°+k·360°,k∈Z},S中适合-360°≤β＜360°的元素是:60°+(-1)×360°=-300°,60°+0×360°=60°。

②-21°是第四象限角,S= {β|β=-21°+k·360°,k∈Z},S中适合-360°≤β＜360°的元素是:-21°+0×360°=-21°,-21°+1×360°=339°。

(3)终边在x轴的非负半轴上角的集合S1={β|β=k·360°,k∈Z},终边在x轴的非正半轴上角的集合S2={β|β=k·360°+180°,k∈Z},所以终边在x轴上的角的集合S=S1∪S2={β|β=k·360°,k∈Z}∪{β|β=k·360°+180°,k∈Z}={β|β=2k·180°,k∈Z}∪{β|β=2k·180°+180°,k∈Z}={β|β=2k·180°,k∈Z}∪{β|β=(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=n·180°,n∈Z}。

跟踪训练1:已知角α=2020°。

阻止可能被外来动物疾病污染的高风险原科进入，这是合适的做法。几个东欧国家也已经出现了非洲猪瘟病毒。受供应链的约束，生产商很难将整个产业脱离亚洲等原科提供国，但如果原料不太可能被污染，则没有必要这么做。此时要根据评估原料传播风险的决策树，与饲料或原料供应商商讨原料的安全性。

(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式,并指出它是第几象限角。

(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ＜720°。

提示:(1)由α=5×360°+220°,可得α是第三象限角。

(2)与α终边相同的角为k·360°+2020°,k∈Z。因为θ与α终边相同且-360°≤θ＜720°,所以当k=-6,k=-5,k=-4 时,与α终边相同的角θ为-140°,220°,580°。

题型2:三角函数在各象限的符号

判断角的终边位置是判断该角的三角函数值的符号的关键,要熟记正弦函数、余弦函数、正切函数在四个象限的符号规律。

例2 (1)若cosα＞0,sinα＜0,则角α的终边在( )。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解:(1)由cosα＞0,可得角α的终边在第一象限或第四象限或x轴的正半轴上。由sinα＜0,可得角α的终边在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上。综上可得,角α的终边在第四象限。应选D。

(2)①由105°,230°分别为第二、第三象限角,可得sin105°＞0,cos230°＜0,所以sin105°·cos230°＜0。

题型4:与三角函数有关的定义域问题

与三角函数有关的定义域问题,要考虑三角函数自身定义域的限制,同时要注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集。

题型5:诱导公式的应用

在利用诱导公式进行三角函数的化简与求值时,先把已知角化为k·360°+α(k为整数,0°≤α＜360°)或2kπ+β(k为整数,0≤β＜2π)的形式,再把原三角函数化为角α或角β的同名三角函数,借助特殊角的三角函数或任意角的三角函数的定义达到化简与求值的目的。

题型6:正弦函数、余弦函数的图像与性质

(1)求函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的单调区间的常用方法:采用换元法,令z=ωx+φ,通过求y=Asinz的单调区间,进而求出函数的单调区间。(2)比较三角函数值大小的三个步骤:异名函数化为同名函数;利用诱导公式把角化到同一单调区间上;利用三角函数的单调性比较大小。(3)对于形如y=Asin(ωx+φ)+k(A≠0,ω≠0)的函数,当定义域为R 时,值域为[-|A|+k,|A|+k];当定义域为某个给定区间时,需确定ωx+φ的范围,再结合函数的单调性确定值域。

题型7:正切函数的图像与性质

题型8:两角和与差的正弦、余弦和正切公式

应用两角和与差公式的三个注意点:要注意公式的正用、逆用和变形应用,尤其要积极创造条件逆用公式;注意拆角、拼角的技巧,将未知角用已知角表示出来,使之能直接运用公式;注意常值代换,如“1”的代换,1=sin2α+cos2α,1=sin90°等。

例8 化简求值。(1)sin(x+27°)·cos(18°-x)-sin(63°-x)sin(x-18°)。

题型9:二倍角的正弦、余弦和正切公式

题型10:简单的三角恒等变换

三角恒等变换就是熟练运用所学公式,将三角函数式化简成某一个角的三角函数,再综合讨论三角函数的图像与性质。三角恒等变换中的“三变”:变角,观察问题中角之间的关系,把未知角分解成已知角的和、差、倍、半角;变名,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切;变式,观察式子的结构差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等。

题型11:函数y=Asin(ωx+φ)性质的应用