求三角函数的值域（最值）题型例析

■贺显孟

评注:形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的三角函数,当定义域为R 时,值域为[-|A|+k,|A|+k];当定义域为某个给定的区间时,需确定ωx+φ的范围,结合正弦函数的单调性求值域。

题型2:形如y=asin2x+bsinx+c,a≠0,x∈R 或y=acos2x+bcosx+c,a≠0,x∈R

例2 函数f(x)=cos2x-2sinx的最大值与最小值分别为____。

解:函数f(x)=cos2x-2sinx=-sin2x-2sinx+1,令t=sinx,则t∈[-1,1],所以原函数等价于y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,所以ymax=f(x)max=2,ymin=f(x)min=-2。

评注:求形如y=asin2x+bsinx+c,a≠0,x∈R 的三角函数的值域或最值时,可令t=sinx,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值,但要注意正弦

已知函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx,x∈R,求f(x)的最值及取到最值时x的值。