三角函数与二次函数的综合问题

■黄林平

第四章我们学习了指数函数、对数函数与二次函数的综合问题,运用类比学习的方法,来研究三角函数与二次函数的综合问题。下面从二次函数的“身份”明显、二次函数的“身份”不明显两个方面举例说明。

一、二次函数的“身份”明显

二次函数的“身份”明显,即在二次函数的系数或常数项中含有三角函数,此类问题不难解决,但要注意三角函数的有界性。可谓是二次函数“搭桥”,三角函数“唱戏”。

二、二次函数的“身份”不明显

形如y=asin2θ+bsinθ+c(a≠0)或y=acos2θ+bcosθ+c(a≠0)的函数,表面上看是三角函数,二次函数的“身份”不明显,可利用换元法转化为二次函数。这类问题的本质没有变,仍然是已学过的二次函数,可谓是“新瓶装旧酒”。

(1)当a=2时,求函数f(x)的值域。

(2)若f(x)的最小值为-6,求a的值。

提示:(1)当a=2时,f(x)=-(sinx-1)2+2。设t=sinx,则-1≤t≤1,所以原函数等价于函数g(t)=-(t-1)2+2。由-1≤t≤1,可得-2≤g(t)≤2,即f(x)的值域为[-2,2]。