指向数学建模素养的可视化作业的设计与实施探讨

江苏省无锡市堰桥高级中学 华燕萍

数学教育本质上是一种素质教育，在于培养学生的两种能力：算数学（计算、推导、证明等）能力和用数学（分析、解决实际问题）能力。传统的数学教学体系和内容偏重前者，忽视后者，然而科技发展的需求使后者的重要性日益凸显。数学建模过程是实际问题→建立数学模型→求解数学模型→根据数学结果解决实际问题，因此提升数学建模素养就是在培养学生用数学的能力。

教材通常以应用题为载体锻炼学生数学建模能力，提升数学建模素养。应用题题目长，信息量大，加大学生的审题难度，使学生容易心理紧张。如何快速梳理和提取信息，建立数学模型是培养学生建模能力的关键所在。此外，数学模型种类多，如函数模型、三角形模型、数列模型等，学生难以迅速找到合适的解模方法。因此，如何快速找到恰当方法解模，也是值得研究和解决的问题。

一、理论基础

心理学家佩维奥提出双重编码理论，他认为人的记忆中有表象编码和言语编码两种明显不同的编码形式。抽象材料只有言语编码，而形象材料则既有言语编码，又有表象编码，即有两重记忆痕迹。两重记忆痕迹不但可以延长记忆，而且更不容易遗忘，尤其是在表象系统中的痕迹。佩维奥在实验和教学中也证实了有丰富形象的材料比纯抽象材料容易记忆。由此得出结论，运用图示、列表等方法将不可见的思考方法或路径进行清晰的呈现（思维可视化），可以加快学生理解和吸收应用题的大量信息，帮助学生快速建模和解模，从而启发我们找到提升学生数学建模素养的突破口，即可视化学习。

数学教材在很多章节的章首创设实际问题情境，在章尾设置应用题，体现本章知识内容“为解决问题而生”。通常情况下，每个章节在章尾仅有1到2节应用题课，同时，高三复习应用题专题的课时不多，所以教师有较充裕的时间来精心设计和批阅讲评数学建模的可视化作业，学生可视化答题也不会过多加大学生的作业负担。因此，做数学建模的可视化作业是一种切实可行的学习手段，让学生和教师都有意识地关注思维过程，学生可以了解如何利用数学理论和方法分析及解决问题，提高数学建模素养，教师也可以明白学生思考的全过程。

二、实施过程

基于上述理解，我们将可视化作业设计和实施流程定为：

（一）课前准备

集体备课，明确该章节的重难点以及在高中数学中的地位和作用，以该章内容为载体精选题目。

（二）作业设计

设计应用题可视化作业。应用题是培养学生数学建模能力的有效载体，其解决过程如下图：

应用题题目长，信息量大，如何审题、快速梳理并提取关键信息至关重要，所以在这一步上可以简要启发或要求学生将审题过程和建立数量关系可视化，如审题时，要求学生画出关键数据；启发学生如何恰当地梳理此题数据较合适（通过列表、画示意图的方式）。

建模时，启发学生选择“先整体后细化局部”还是“先翻译局部，后拼凑整体”的方式，并将此思维过程写出来，如先整体分析目标“利润=收入－成本”，后细化局部“收入来自哪几部分？成本来自哪几个部分？”。根据目标快速聚焦画出的数据，从中提取需要的数据，细化表达数学模型。启发学生合理引元，是从代数角度设元（设斜率、点等）还是从几何角度设元（设角、边），才更易建模解模？

求解数学模型时，可要求学生用流程图说明你的解模思路。

这样把问题和要求设置在关键处，便于教师明晰学生思维、诊断错误。

附：《以平面图形为背景的应用题》可视化作业设计案例片段

【可视化解题要求】

1.审题时，画出关键数据，题目解完后检查是否有数据未曾用过，并选择列表、画示意图等可视化方式理解题意，提取信息。

2.建模时， 建议选用“先整体，后细化局部”或“先翻译局部，后拼凑整体”的方式。

3.解模时，画出解题的思维流程图。

4.小结时，写出方法、思想、注意点等，将你的收获可视化。

你可按以上要求及题目的具体提示进行可视化作业，也可选择你认为的更好的可视化方式。

……

（2017 江苏模拟）如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A、B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD、DP及圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ。

（1）求S关于θ的函数关系式；

（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由.

【建议】审题：画出关键信息，并在上图中标出数据、画出辅助线等。

建模：先整体S=______________

后细化局部=_________________

解模：思维流程：目标函数是__函数，所以用_______方法求最值。

解：_________________________

小结：______________________

（三）做题过程

学生按作业纸上老师设计的要求或提示问题回答，目的在于将自己建模时梳理数据、理解题意的过程可视化，将自己解模的思维过程可视化。值得注意的是，让学生做可视化作业前，教师在课堂教学时需要先示范，学生才能模仿操作，训练多次以后，每道题的可视化建议可以略写甚至不写，学生也可以创造性地写出自己的可视化思维过程。

（四）作业批改

根据学生的作答情况，进行批阅。批阅时，主要关注学生的思维过程，将学生的错误点在其思维图示上圈出来，并添上文字表述，便于学生快速找出自己的错误点。借助智学网精准分析，通过柱状图、题目分析表等将学生的答题正确率可视化，便于教师关注和梳理出学生的典型错误。

（五）作业讲评

作业讲评可视化。将学生作业中的典型错误拍照，利用无线传屏等多媒体软件显示，鼓励学生自己找错误，并进行讨论、辩论，教师也可使用Desmos等操作简单的软件使验证答案可视化。

（六）错误巩固

学生的错误往往不是一次就能纠正到位的，可能还有一些隐性的错误理解，需要再暴露再反馈，才有利于学生牢固掌握。所以利用智学网进行错题推送，让学生对同类型题进行练习巩固。根据学生的巩固练习得分情况，分析学生的思维过程，从而对作业进行改进，并在此基础上，改进教学过程，并对可视化作业进行再设计。

三、实施效果

在可视化作业实施之后，普遍收到了学生的积极反馈。学生们反映，以前审题时总是需要多读几遍，平时还好，但考试时越读越急，越急越读不进，浪费时间，导致心理焦虑；现在运用画出关键信息、聚焦关键信息的手段，明显地缩短了审题时间，结合列表、画示意图等可视化手段以及“整体与局部关系”的建模方法有效地提高了建模能力和信心，极大地减轻了焦虑情绪，数学建模意识和解模能力都有所提高。因此可视化作业可以提高学生数学建模素养。尽管如此，可视化作业的设计与实施尚在摸索阶段，还需不断探索、不断创新、不断完善和提高。