初中数学二次函数部分学习中常见错误研究

余 兴

(重庆市渝北区悦港中学 重庆 401120)

初中数学二次函数是学生之前学习函数知识的进一步扩展，要求培养学生的思维方式和学习方式，提高学生的逻辑思维。二次函数是教学重难点，加上二次函数对学生以后的学习和生活有很大的影响，所以，教师务必要重视二次函数的教学。在课堂中尊重学生的主体地位，突出教学重点，让学生充分参与到教学活动中，提高学生的学习能力。在实际教学中，首先要了解学生对二次函数的学习情况，然后对常见问题进行分析，找到问题的关键，帮助学生理解和掌握二次函数。

一、二次函数学习的组成部分

（一）概念部分

二次函数在我们生活中的应用十分广泛，在不同的领域都能发挥其应用的价值，不仅可以反映现实生活中变量之间的数量关系，还可以反映变化规律，是初中数学教学中的重难点。一般地，我们把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫作二次函数，包含二次项系数、一次项系数以及常数，其中x是自变量，y是因变量。在学习中需要注意，变量并不代表是未知数，所以，二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数，这样的说法是错误的。在二次函数中，未知数是一个具体值未知的数，就只是一个数，而变量是可以在一定范围内进行任意取值的。在教学过程中，教师可以通过真实是案例进行，将二次函数和生活相结合，提高课堂的教学效率，帮助学生掌握知识重点。

（二）图像与性质

1.图像

如果我们在平面直角坐标系中作出二次函数的图像时，就可以通过观察发现：二次函数的图像是一条永无止境的抛物线，并且是一条对称轴平行与y轴的抛物线，也是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。二次函数中二次项系数a决定二次函数图形的开口方向和大小，当y=ax2(a＞0)时，抛物线开口向上，当x＜0时，y随着x的增大而减小，当x＞0时，y随着x的增大而增大，当x=0时，y最小=0；当y=ax2（a＜0）时，抛物线开口向下，当x＜0时，y随着x的增大而增大，当x＞0时，y随着x的增大而减少，当x=0时，y最大=0；抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|确定的，一般来说，|a|越大，抛物线的开口就越小。

2.性质

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c(a≠0)，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0(a≠0)此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。一般，二次函数分为一般式、顶点式、交点式以及等高式。其中一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)，其中坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同。交点式：是指已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1,x2)和抛物线上另外一个点的坐标(m,n)，来求函数解析式，公式为：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2为常数)。等高式：y=a(x-x1)(x-x2)+m(a≠0，且过(x1、m)(x2、m)为常数)，x1、x2为二次函数与x轴的两个交点。

（三）应用部分

二次函数在我们生活中的应用范围十分广泛，教师应在教学过程中让学生运用二次函数的知识分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义[1]。教师要明确教学目标，不仅要让学生掌握二次函数的知识点，以及运用二次函数解决生活实际问题，还要让学生体验解决的过程，帮助学生探索解决的办法。

在二次函数应用教学部分，教师要培养学生的转化思想，让学生将实际中求优化的问题转化成为二次函数的最值问题，然后列出函数等式求最值。其次，还要培养学生的建模思想，要引导学生耐心审题，在审题的过程中发现问题并提出问题，然后进行抽象化、简单化的处理，最后进行解决，锻炼学生的思维方式和思维过程，通过建立平面直角坐标系解决问题，还要让学生在图像中观察动点，确定集合图形的形状，提高学生应用能力。

二、二次函数中的常见错误

（一）系数取值范围认识不足

在二次函数教学过程中，看图像时切记系数的取值范围，在二次函数教学过程中，确定最值问题是非常重要的。很多学生在求自变量的取值范围时，忽略了二次函数系数的取值范围以及实际生活中的逻辑关系等，就会出现一系列的问题。学生对系数取值范围认知不足，会导致在做题的过程中产生错误。系数a的取值不仅决定了二次函数的开口方向和大小，还决定了函数的值域变化。

例如：已知二次函数y=2x2-4x+1，当-3≤x≤0时，求它的最大值和最小值。都忘记确认对称轴是否自变量的取值范围内，所以就会出现问题。

（二）对解析式的理解不到位

二次函数不仅是初中数学教学中的重要内容，也是学生步入高中后的基础内容。在二次函数教学过程中熟练求出二次函数解析式是解决二次函数问题的重要保证，教师要引导学生通过不同的条件，设出正确的解析式。解析式包括一般式、顶点式、交点式以及对称点式，学生对这几种解析式的形式理解不到位，就很难根据问题条件，设出正确的解析式[2]。

例如：当给出条件是抛物线与x轴的交点或者对称轴或者与x轴的交点距离时，本该设成交点式，学生却设成顶点式，学生没有充分了解和掌握二次函数解析式的基本形式，导致在求二次函数时设出错误的解析式。

（三）配方错误或者公式错误

在初中二次函数教学过程中，二次函数的配方一直是一个教学难点，学生虽然在课堂中记住了教师讲解的重点，但是在课后训练时，仍然会答错。要么是没有提出二次项系数，要么就是配方时加上的数字不对。配方的步骤很复杂，且知识点较多，首先要提公因式，将二次项的系数变成1之后进行配方，然后将前三项组成完全平方式，常数项算出结果，进行配方。其中涉及的知识点很多，所以导致学生不能完全掌握，在配完全平方时，出现错误。学生在没有理解的基础上进行死记硬背是无法掌握新知识的，教师要根据学生原有的知识水平进行教学，提高学生的实践能力，让学生在理解的基础上掌握知识点。

例如：在将y=x2+3x+2配方时，需要对比完全平方公式a2±2ab+b2＝(a±b)2，但是有的学生就会记错公式，所以得不到正确的结果。

（四）二次函数图像绘制错误

在初中二次函数教学过程中，绘制二次函数图像也非常重要，二次函数图像是研究二次函数的重要工具，但是很多学生在绘制二次函数时会出现一些问题。会因为忽略自变量的取值，改变二次函数图形的开口方向，导致出错[3]。或者不能确定对称轴，这都是影响学生绘制二次函数图像的关键。在绘制图像时，教师要引导学生首先确定对称轴x=-b/2a，然后得到x之后，再把这个x代入函数就能求出顶点y的坐标。然后设x=0，可得y轴上的截距，找到这个交点关于对称轴的对称点，就可以大致画出二次函数图像了。

（五）二次函数动点移动错误

二次函数动点是初中二次函数教学中的一大难点，其中包含很多题型，如因动点而产生的面积问题、因动点而产生的等腰三角形的问题、因动点而产生的相似形问题等。这些问题对于大部分学生都是存在难点的，所以在二次函数动点移动问题中出现错误。

例题：当整数k是何值时，二次函数y=(3-k)x2-a(k+1)x+3k-1的图像与x轴交于横坐标为正数的两个不同点？其中部分同学会出错，错误原因是因为x1+x2＞0，且x1x2＞0，但是还不够使二次函数图像与x轴相交于不同的点，所以解题出错。

（六）二次函数的应用不合理

初中数学二次函数在生活中的应用十分广泛，教师要引导学生利用二次函数的知识点去分析生活中的问题并解决，在解决实际问题的过程中真正掌握二次函数的实际作用。二次函数的应用实际问题和数学问题之间的转换过程，需要在具体的问题总结数量的变化规律过程，运用函数的思想求最值和数形结合的问题。在解决动点问题时，通常以“以静制动”的方法，把握具体的精致状态，然后进行观察和分析，寻找具体的等量关系，在求最值时，可用配方法或者公式法，同时取值时注意自变量的取值范围。

三、结束语

综上所述，在初中数学二次函数教学过程中，教师首先要了解学生对知识的掌握程度，根据学生的具体情况发现学生在学习中存在的问题，然后针对性地提出解决的方法，提高初中二次函数的教学效率。在初中数学二次函数教学中经常出现系数取值范围认识不足、对解析式的理解不到位、配方错误或者公式错误、二次函数图像绘制错误、二次函数动点移动错误、二次函数的应用不合理等问题，教师要结合学生的问题进行有效教学，为学生创建高效的初中数学课堂，尊重学生的主体地位，培养学生的数学思维，让学生形成利用二次函数解决实际生活问题的能力，促进学生综合能力和素质的提升。