借助GeoGebra软件破解初中物理光学难题

光学动态问题是初中物理教学难点。在日常习题教学中，教师主要通过PPT结合板书讲解，无法即时进行动态探究，难以有效帮助学生培养动态思维能力。当今信息技术快速发展，越来越多的教学工作者将适合的教育软件引入初中物理课堂进行教学探索。下面，笔者以凸透镜成像动态问题为例，借助教育技术软件GeoGebra从动态演示、数学验证、问题拓展三方面，展现教育技术软件在初中物理动态问题中的应用^[1]，引导学生思考，突破难点。

一、例题展示

题目：如图1所示，凸透镜竖直放置，凸透镜焦距为，现有一点光源在凸透镜左侧，以凸透镜两倍焦距处为圆心，在经过主光轴的竖直平面内做顺时针圆周运动，半径为，且<，则在下列关于点光源所成的像的运动轨迹的各图中，正确的是（ ）^[2]。

在日常初中物理教学中，对于该种问题教师往往较难处理。学生脑海中也很难想象相关动态情景。问题难在动态，教师需要用一个有力的工具进行动态展示。GeoGebra是一款学科教学软件，具有开源免费、简单易学、交互性好、动态展示、化抽象为形象、数形结合等优点，是初中物理动态教学实施的有力工具^[3]。如光学部分的反射定律、折射定律、凸透镜成像规律等，教师借助GeoGebra可以进行很好的动态演示。如图2所示，在GeoGebra界面中，教师点击按钮“GO”或拖动左侧的箭头（代表蜡烛），可让学生清晰地观察凸透镜成像变化情况。

二、动态演示

不妨设凸透镜焦距=2，在GeoGebra中绘制好题目所需要的凸透镜、焦点和半径为的圆（<），在圆上取一动点代表移动的光源。教师根据凸透镜成像规律确定像的位置，移动点即可观察到像的运动轨迹，从而破解该题。具体操作如下。

第一步，绘制凸透镜：在菜单栏中选择工具“描点”，在（0，0）处描出点;选择工具“向量”，从点出发绘制、两个向量来代替凸透镜。点即为凸透镜的光心。

第二步，绘制焦点和二倍焦距点：选择工具“描点”分别在（-2，0）（-4，0）（2，0）（4，0）描出焦点和二倍焦距点。

第三步，绘制点光源所在轨迹圆：选择工具“圆（圆心与半径）”，以（-4，0）为圆心，为半径，做出圆1。界面中会出现滑动条，操作者通过调节滑动条可以改变圆的半径。选择工具“对象上的点”，在圆1上点出光源。该点为动点。

第四步，绘制像：选择工具“垂线”，过点作凸透镜的垂线，交点为。选择工具“直线”连接（2，0）与点，连接点与点，两条直线的交点即为。

第五步，绘制轨迹：右击点，选择“显示踪迹”。则当光源运动时，像随之也会显示出对应的轨迹（如图3）。

重复上述操作，可以得到当取不同值时像的对应轨迹图（如图4）。轨迹图呈椭圆，凸透镜左侧的圆的半径越小，椭圆的离心率越小，像越接近圆形。

三、数学验证

如前述的图4所示，以光心为原点建立平面直角坐标系，主光轴为轴，透镜竖直方向为轴。设光源的坐标为（，），所在圆的圆心坐标为（，0），经透镜所成的像的坐标为（，），则光源所在圆的方程为

（-）²+=² （1）

根据凸透镜成像规律

可得： （2）

根据相似三角形得到

（3）

由（2）（3）两式可得

将这两式带入（1）式，得

化简得

（（+）²-²）²-2（²+-²）+²²=²²-²²

令=（+）²-²，=（²+-²），=²²-²²

则上式可变为

²-2+²²=（4）

配方整理得

（5）

当<时，像的轨迹为一中心在（ ，0），两轴分别为 ， 的椭圆。

四、问题拓展

上述分析是基于<的条件来探究的。借助GeoGebra可以较方便地对问题进行拓展分析，有利于学生深刻理解变化规律。

拓展一：光源轨迹是圆，=。

拖动滑动条，使=，得到的像是一条抛物线而非椭圆（如图5）。

当=时

=0，= ³，=-3 ⁴

代入（4）式可得

-2 +²+3 ²=0

=±2 -3 ²

因此，该轨迹确实为开口向右的抛物线。当光源运动到一倍焦距时，不成像，所以右侧开口，没有对应的像。

拓展二：光源轨迹是圆，<< 2 。

当<< 2 时，在GeoGebra中滑动条，使半径=2.8，像是两支双曲线（如图6）。

根据（5）式，当<< 2 时， >0， <0，所以该轨迹确是两条双曲线。

当光源运动到一倍焦距内，成虚像，在凸透镜左侧（如图7）。当光源运动到一倍焦距外，在凸透镜右侧成实像。

拓展三：光源的运动轨迹是其他图形。

用GeoGebra 软件还可以较方便地得出结论：当光源的运动轨迹为其他图形时像的形状。下面以正方形为例，借助GeoGebra软件绘制出对应的像（如图8）。

从图8中看出，像为一个等腰梯形。

笔者结合案例展现了GeoGebra在凸透镜成像动态问题中的应用，并通过数学方法验证该动态分析的正确性。对于此类教学难点，教师可以借助教学软件将抽象、复杂的问题变得直观、形象，使学生更好地建构相关的物理概念和规律，突破学习难点，在GeoGebra的演示过程中提高动态想象能力。

参考文献

[1] 殷正徐，吴伟.GeoGebra软件在高中物理课堂教学中的案例应用分析——以简谐振动和机械波为例[J].物理教师，2017，38（10）：70-73.

[2] 王珏，张莹，桑芝芳.对一道凸透镜成像习题的讨论[J].物理教学，2019，41（8）：60-61.

[3] 陈林，桑芝芳.基于GeoGebra的电势可视化研究——由一道电势图像题引发的思考[J].物理通报，2020（11）：104-107.

（作者陈林系苏州大学物理科学与技术学院研究生;桑芝芳系苏州大学物理科学与技术学院教授）

责任编辑：祝元志