基于“六何”有序结构的高中数学新旧教材的对比分析

张程 周莹

【摘 要】函数作为贯穿高中数学的一条主线，是解决数学问题的基本工具。随着新课程改革工作的推进，2019年人教版高中数学教科书在“函数的概念”教学内容的编制上做了较大改动，更偏向于与初中所学的函数内容的联系。在此基础上，研究者首先从整体上对函数主题进行教材的纵向比较，其次利用“六何”有序结构以“函数的概念”教学为例，从教材编写、内容编排以及渗透的核心素养等方面进行系统的对比分析，从而得出研究结论与启示，为一线教师的教学提供参考。

【关键词】“六何”有序结构;函数;对比分析

【作者简介】张程，广西师范大学数学与统计学院在读硕士研究生，主要研究方向为数学教学论;周莹（本文通讯作者），广西师范大学数学与统计学院教授，硕士研究生导师，主要研究方向为数学教育与教师教育。

【基金项目】2019年度广西高等教育本科教学改革工程重点项目“系统性思维能力导向的数学有效教学研究与实践”（019JGZ110）

新课程改革在立德树人的工作中发挥了重要作用，其中符合素质教育和时代要求的课程教材体系也在不断完善。2018年教育部发布了《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称新课程标准），人教社在此指导下组织编写并出版了2019年人教版高中数学教科书（以下简称新教材）。函数作为贯穿高中数学的一条主线，是解决数学问题的基本工具。而新教材较2007年人教版高中数学教科书（以下简称旧教材），在“函数的概念”教学内容的编制上做了较大改动，更偏向于与初中所学的函数内容的联系。在此基础上，本文首先从整体上对函数主题进行教材的纵向比较[1]，其次利用“六何”有序结构对“函数的概念”一课从教材编写、内容编排以及渗透的核心素养等方面进行新旧教材的对比分析，以期为一线教师对教材理解与实际教学提供一些参考。

一、“六何”有序结构的理论基础

“六何”有序结构是由周莹教授基于系统论和连贯理念提出的一种策略，能够系统地体现教学的连贯性、自然性以及完整性[2]。“六何”，即“从何”“是何”“与何”“如何”“变何”“有何”。“从何”包括知识、经验起点以及章导言与前言，这是新知识的问题发现与提出，也是激发学生学习兴趣的着力点;“是何”包括“是什么”这一事实性知识，是对新知识本质属性的深入探究与理解;“与何”包括从关联的角度看知识间“有何联系”，促进知识的融会贯通;“如何”包括教材呈现的例题、习题的数量及难度，强调理解和应用的认知过程;“变何”强调问题的变式拓展，通过问题的提出和变式，帮助学生触类旁通，拓宽思维层面;“有何”包括“有何收获”，是对学习过程中能力、素养、知识水平等方面的挖掘与凝练。

数学作为一个知识体系，是一个有机的、有逻辑的整体，因此对于教材中的数学知识，除了关注某一节的基本结构与内容，还需要具有基于这一主题的整体观与全局观，否则就会“只见树木，不见森林”。本文参考了温建红教授从整体视角研读数学教材的理据和方法[3]，从课程标准要求、螺旋间隔、内容深度与广度方面对新旧教材的“函数”主题进行整体对比分析，挖掘和解读蕴含在教材背后的丰富内涵。除此之外，以周莹教授的“六何”有序结构理念作为指导，针对函数章节第一课时“函数的概念”进行比较，构建基于“六何”有序结构的教材对比分析框架，如图1所示。

二、基于“六何”有序结构的人教版新旧教材比较分析

（一）从整体视角对比“函数”主题

首先，从课程标准来看，新课程标准在《普通高中数学课程标准（实验）》的基础上进一步强化和明确高中数学课程结构的体例与主线，明确指出“函数”主题是高中数学课程内容突出的四条主线之一[4]，如图2所示。其次，从教材的螺旋间隔来看，旧教材中出现了四次螺旋，包括必修1“集合与函数概念”“基本初等函数”“函数的应用”;必修4“三角函数”“三角恒等变换”;必修5“数列”以及选择性必修1-1（2-2）“导数及其应用”，而新教材把上述内容主要集中在必修第一册，选修中的函数主题包括“数列”以及“一元函数导数及其应用”。再次，从内容深度来看，新旧教材均遵循学生的认知规律，呈现“概念—性质—应用”的规律特点。最后，从内容广度来看，新教材进一步落实立德树人的根本任务，设置数学建模专门模块，以及新增“文献阅读与数学写作”选学内容，在学习数学基础知识之余，给学生提供了数学文化等方面的学习机会。

（二）基于“六何”有序结构从局部视角对比“函数的概念”章节

1.从何：认知起点、章导言与前言的比较

“从何”主要回答“知识从何而来”以及“为什么要来”的问题。为了减少知识碎片化，教师需摸清教材中新知识的逻辑起点。除此之外，人教版教材通常会在每一章开头通过章导言和相关配图简单介绍本章所涉及的知识点的意义及相关应用。这些看似与考试题目关联不大的内容却对激发学生的学习动机、明确学习目的与意义起着重要作用。因此，在该环节主要对新旧教材的认知起点、章导言与前言进行比较。

（1）认知起点对比

在初中阶段，学生已经经历了“函数的一般概念——一次函数——二次函数——反比例函数”的学习过程，但初中所学的函数定义强调“变化过程”[5]1-8，而高中则从“对应关系说”视角出發，不仅与集合的知识相联系，引入抽象的符号f：A→B，y=f（x），x∈A，而且采用“非空”“任意”“存在”等逻辑用语，这些语言表达的差异使得高中内容抽象程度明显提升，学生理解难度增加。

在旧教材中，抽象的函数概念紧接着集合的内容在第一章出现，导致很多学生不适应高中学习的变化而失去学好数学的信心[6]。因此，新教材一改旧教材直接呈现高中重要知识的方式，在内容编排顺序上进行较大调整（如图3），前两章为高中阶段的预备知识，其中包括集合与常用逻辑用语，以及一元二次函数、方程和不等式，让学生有一个相对较长的时间来储备知识与技能、语言表达以及数学思想方法。有了初、高内容衔接之后，第三章才正式开始函数内容的学习，这看似函数与集合的联系没有之前紧密，但学生前期积累的知识和技能将更有利于学生后续的学习。

（2）章导言与前言对比

在新旧教材中，函数单元的章导言大同小异，起到总领全章，明确学习导向，介绍函数地位、函数与现实生活的联系等作用。首先，新旧教材均提到函数是高中数学的重要内容之一，且函数知识有广泛的实际应用，学生可以初步感受到函数知识的地位与学习的必要性;其次，新旧教材均明确本章教学内容，即“将要通过什么方式学习什么内容”。但事实上，在初中阶段，学生就学习了函数的概念和一些常见的函数，如一次函数、反比例函数等，那高中为何重新定义函数概念？单凭章导言的描述，对于回答“为何要进一步学习本节内容”这个问题略显无力。于是，新教材为了解决这一问题，在前言部分与旧教材有明显差异。

旧教材中采用开门见山式“在初中的基础上进一步学习”直接引入本节内容，略显突兀和牵强。为了更好地激发学生的学习动机，明确再次学习函数概念的目的与意义，新教材新增一段前言，提出两个判断函数是否相同的问题，进而激发学生认知冲突，明确要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念，顺利引入高中阶段函数的概念。

2.是何：情境导入及概念的比较

“是何”主要关注“函数概念是什么”的问题。对于高中阶段用集合语言、对应关系加上符号表述函数概念，学生会觉得比较抽象。为更好地理解概念本质，在教学中，教师可让学生参与到概念的构建过程中来，完整地经历“具体事例——观察、实验——比较、分析——分类、综合——抽象、概括”的过程[5]1-8。

通过对比发现，新旧教材都是根据语言和工具的学习规律，从模仿、重复、记忆开始，在不断运用“变量说”分析特殊事例中，加深对“对应关系”的理解，在理解的基础上强化记忆，进而形成技能，逐步达到灵活运用的目的。虽然新旧教材的基本模式不变，但新教材在事例选取、语言叙述、版块设计等细节方面做了较大改动。

（1）精拣选取案例，智育、德育两不误

首先，旧教材所选取的三个案例中，无论是炮弹飞行还是臭氧层空洞，都让学生觉得有距离感，而恩格尔系数问题的数据也随着时代的变迁亟须更新。鉴于此，新教材重新选定引入函数概念的实例，在保留旧教材典型、丰富等特点的基础上，设置动车、工资、环境、恩格尔系数四个方面的例子，选取的案例更加贴近生活，且蕴含的对应关系更加清晰明了，避免因为复杂的背景而加大学生的负担。特别地，在设计动车和工资问题中，所反映出的对应关系虽然一致，但自变量的变化范围有连续和离散之分，使学生对于如何判断两个函数相同有初步的认知。

其次，新教材中出现的四个案例均富有生活气息与时代特点，一方面是人们日常关注的工资和环境问题，另一方面是祖国日益提升的生活水平和幸福指数，与生活实际联系紧密，把数学问题生活化，展现社会发展新变化、科技进步新成果，培养学生的社会参与意识和能力。

（2）优化叙述语言，精炼到位双兼顾

数学是一门严谨的学科，教材在编写时讲究精雕细琢，内容具有一定的权威性，也常常作为教师上课用语的参考。通过对比，新教材在兼顾数学的严谨性和学生的认知特点方面更胜一筹。

首先，在分析问题环节，旧教材清一色的陈述句缺乏对学生启发性的引导，而新教材问答兼备，例如“你认为该怎样确定一个工人每周的工资？”“你会用怎样的语言来刻画这个函数？”有针对性地启发学生思考。

其次，新教材对于概念的叙述更严谨，更突出函数概念的本质，新旧教材中对概念的定义并非完全一致（如图4），差异主要体现在两个地方：一个是对集合A，B的表述由原来的数集改为实数集，避免在后续学习复数之后产生歧义;另一个是集合B中唯一确定的数用y代替原来的f（x），减少符号的抽象性，让学生更容易把握两个集合之间的对应关系。

除此之外，新教材注重让学生在归纳环节抓住核心问题，概括出函数概念的本质特征，并提出符号f的出现可以达到表示简便的目的，让学生感受到f并非从天而降，而是表示对应关系的符号。

（3）改进栏目版块，能力素养双丰收

教育部在准确把握全面深化课程改革的总体要求中指出，要进一步提升数学等课程的育人价值，发展学生核心素养。而数学学科核心素养也成为近年来數学教育的热点。新教材在旧教材的基础上，进一步改进栏目设置，在正文设置“思考”“归纳”“探究”等栏目（如图5和图6），以栏目为载体，帮助学生在获得“四基”的过程中，逐步提高“四能”，发展核心素养。

3.与何：内容联系的比较

“与何”主要分析“哪些知识与函数概念相关联”的问题。函数知识贯穿于整个高中数学课程，具有承上启下的作用。承上连接初中函数的概念与集合知识，表现在新旧教材均注重利用学生现有的认知基础来进一步学习函数的概念，一是在事例中反复运用初中函数的定义来判断对应关系是否为函数，尤其突出定义中的“任意”“唯一”，二是强调两个变量的变化范围用集合表示，这也是由“变量说”转变为“对应关系说”的关键;启下联系函数性质、基本初等函数与应用，在内容分布方面，新教材相对来说集中分布在必修第一册，更利于学生在系统学习函数相关知识的同时形成知识网络。

4.如何：例题、习题的比较

“如何”主要解决“新知如何应用”的问题。根据鲍建生教授的综合难度模型对例题、习题的相关研究[7]，影响高中数学教材例题、习题难度的因素包括探究、运算、背景、知识含量以及推理维度。根据以上因素，对新旧教材的例题、习题进行统计，并得出结论。在题目数量统计过程中，对于题目里如有多次提到的习题，按一题统计，对一道大题中如有若干道小题的习题，按小题数量统计。

（1）例题、习题数量设置

首先从题目数量来看，新教材无论例题还是习题的数量均有所增加。新教材一改以往在章节结束时才设置练习的传统，在正文部分每一个小的知识点结束之后新增设题目，配备精准的题目以保证学生及时巩固新知识。其次，新教材新增了突出数学建模核心素养的例题与习题，使新教材的题目类型较原来也有所增加，见表1。

（2）例题、习题难度比较分析

根据鲍建生教授基于数学认知水平框架构建出的描述教材例题、习题难度模型，对新旧教材中不同等级的例题、习题进行划分与赋值，并进行综合难度比较，如图7所示。

从整体上看，新教材几乎全部保留旧教材的例题、习题，并在此基础上丰富题目的背景，突出知识含量。从题目背景来看，新旧教材例题、习题的背景以纯数学背景为主，但新教材在原有基础上增加了以个人生活与公共常识为背景的题目，尽量做到图文并茂，帮助学生在综合知识背景下提升数学素养。从知识含量来看，新教材的数值明显高于旧教材，但由于“函数的概念”是“函数”主题的其中一节，且作为首节出现，因此新旧教材均侧重于考查函数的定义，包含1个知识点的习题比例比较大。从运算因素来看，新旧教材的难点集中在数值运算及简单运算，考查定义域与函数值的题目居多，且均未涉及复杂运算，主要目的是强化学生对函数概念的理解。从推理因素来看，新旧教材以简单推理为主，“判断两个函数是否为同一个函数”居多。在探究因素方面，新旧教材均以理解水平的题目为主，而且新教材还综合了旧教材扎根于理解与简单应用程度的优势，关注学生对概念本质的掌握，例如针对函数概念本质设置的两道探究开放题分别以例题、习题的形式出现，提升了学生的知识迁移能力。

5.变何：问题变式的比较

“变何”主要针对“变式问题如何变”的问题。新课程标准指出，教材应具有一定的弹性，以适应学生的个性化学习需求。内容形式多样性具体可以体现在问题情境变、条件变、方法变等方面，（1）情境变，例如新教材设置探究活动，引导学生构建其他可用于与例题相同解析式描述的问题情境;（2）条件变，例如旧教材设置了求解析式的定义域与值域的例题、习题，新教材在此基础上增加求图象形式的定义域与值域的题目;（3）方法变，例如新旧教材均在“判断函数是否相同”问题旁设置一个旁白，引导学生除了考虑函数的“三要素”，还可以利用信息技术画出函数图象，根据图象进行判断。无论哪种变换方式，其目的都在于回归数学学科的本质，这也是本轮高中数学课程标准修订工作的一个显著特点。

6.有何：能力及核心素养的比较

“有何”主要关注“学习本节课有何收获”的问题。从整体角度上看，新旧教材的编写均在深入研究函数概念蕴含的育人价值的基础上，贯穿发展学生数学学科核心素养的主线，新教材形式尤其多样化，分版块设置不同的学生活动，提升学生的逻辑推理、数学抽象的核心素养。从局部视角来看，新旧教材均关注到学生有可能对两种定义的差异产生疑惑，这虽然不影响学生应用新知识，但为了保证知识的完整性，其均在小节最后设置思考题（如图8），引导学生关注两个概念的共性与差异，再次让学生明确高中阶段进一步学习函数概念的意义与动机，使得教学环节首尾呼应，环环相扣。

三、研究结论

（一）两版教材的结构编排

整体上，新旧教材均立足于课程标准，内容深度与广度程度相仿，编排结构大同小异。但新教材较旧教材而言，在结构、知识面以及螺旋间隔上安排得更为紧密。对于“函数的概念”一节来说，新教材更注重初、高衔接，前两章为高中阶段的预备知识，让学生有一个相对较长的时间来储备知识与技能、语言表达以及数学思想方法，便于学生后续学习函数知识。同时，新教材新增前言部分，能够更好地激发学生的学习动机，明确再次学习函数概念的目的與意义。

（二）导入素材及概念表述的差异

首先，新教材选取的案例贴近生活，能有效帮助学生理解概念的形成过程。新教材延续旧教材中“重概念引入”的特点，选取的四个案例各有特点，围绕集合与对应关系是函数概念的关键要素，并在旧教材基调上更换问题情境，淡化复杂的问题背景。其次，新教材优化函数概念的文字表述，叙述更为严谨，突出函数概念的本质。最后，新教材丰富版块设置，以栏目为载体，帮助学生在获得“四基”的过程中，逐步提高“四能”，发展数学核心素养。

（三）知识联系

新旧教材均体现了数学知识的内在联系。旧教材概念“承上”的衔接更为显现，与集合知识联系紧密，有利于学生发现函数中蕴含的集合知识。新教材概念“启下”联系更胜一筹，将后续基本初等函数、函数应用及三角函数的学习均安排在同一册书，更有利于学生在系统学习函数相关知识的同时形成知识网络。

（四）例题、习题的综合难度

根据鲍建生的综合难度模型，新旧教材在整体上对习题难度的五个因素分布较为均衡，且趋势保持一致。但新教材在保留原有题目的基础上，增加学生练习活动版块，于探究、推理、运算三方面稍有提升，在知识含量以及题目背景方面有明显变化，总体上更有利于学生理解与掌握新知识。

（五）问题变式的比较

新教材较旧教材而言，变式的内容与形式更为丰富、到位。新教材的变式内容覆盖情境变、条件变、方法变三个角度，体现数学与生活的紧密联系，数学由特殊到一般的思想方法以及发展学生“一题多解”的思维潜能。

（六）蕴含的能力与核心素养

新旧教材均体现了数学抽象、逻辑推理、数学运算的数学学科核心素养，强调从现实生活问题中抽象出数学问题，经历从特殊到一般的推理过程，最后形成函数的概念。除此之外，新教材还侧重于提升数学建模核心素养，设置探究活动，强调模型的建立。

四、研究启示

（一）重视过程性教学，提升学生核心素养

数学概念是数学学习的主要内容之一，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，也是高中数学的核心概念，其思想方法已渗透到数学的各个领域。首先，教师在教学中要改变“重结论，轻过程”观念，仔细揣摩新教材中四个案例的区别、内在联系以及编写意图，引导学生从现实情境中抽象出数学问题，提升数学抽象的核心素养;其次，教师需把握背景延伸的尺度，尽量使学生在体悟对应关系的同时也能感受到来自现实生活的美好、数学与生活的联系，而避免单纯围绕情境受到桎梏;最后，教师不妨在教材设置的思考与提问的基础上，设计课堂中自然连贯的启发性问题串，让学生在经历问题分析、求解、归纳的过程中，提升逻辑推理素养，帮助学生建立完整的函数概念。

（二）活用探究性资源，发展学生数学思维

教师作为课堂教学的引导者，不能仅仅把目光聚集在教材加粗标记的概念定理知识点中，还应从学生的学习需求出发合理安排学生活动，借助教材中提供的“思考”“探究”等版块，激发学生深度思考，并重视、关注学生在小组合作交流等探究性活动中的反应与反馈，从而帮助学生积累学习经验。同时，新教材在例题、习题难度上的变化也提醒教师在教学中要为不同层次的学生搭建自主学习的“脚手架”，让不同的学生的数学思维水平获得不同程度的提升。总之，新教材在原有基础上精益求精，进一步将立德树人理念渗透其中。希望教育工作者关注教材变化，借鉴、继承新旧教材的优势，将新旧教材顺利过渡，进一步落实立德树人的根本任务。

参考文献：

[1]吴立宝，曹一鸣.中学数学教材的分析策略[J].中国教育学刊，2014（1）：60-64.

[2]莫倩华，肖宝莹，周莹.基于“六何”有序结构的高中数学教材对比研究：以人教A版、湘教版《古典概型》为例[C]//全国数学教育研究会.全国数学教育研究会2016年国际学术年会论文集.广州：中国高等教育学会教育数学专业委员会，143-154.

[3]温建红，汪飞飞.从整体视角研读数学教科书：理据与方法：以“视图”为例[J].数学教育学报，2017（6）：80-85.

[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[5]章建跃.如何帮助学生建立完整的函数概念[J].数学通报，2020（9）：1-8.

[6]章建跃.“预备知识”预备什么、如何预备[J].数学通报，2020（8）：1-14.

[7]王建磐，鲍建生.高中数学教材中例题的综合难度的国际比较[J].全球教育展望，2014（8）：101-110.

（责任编辑：陆顺演）