不同方向外磁场下海森堡自旋链的热纠缠

黄利元

(厦门大学嘉庚学院 信息科学与技术学院， 漳州 363105)

1 引 言

量子纠缠是量子世界的一个重要概念，是量子系统的主要微观特征之一. 一方面，纠缠激发了人们对量子力学本身进行更加深刻的研究和探索，另一方面，在量子信息领域，纠缠可以作为物理资源[1-4]，进行量子信息处理. 但在实际情况下，由于外界环境的影响，制备最大纠缠态比较困难. 因此，一种存在于多体系统中自旋粒子间的热纠缠为量子信息和固态系统提供了一座桥梁. 海森堡模型作为最简单而又具有实际意义的固态物理系统，被认为是实现量子通信和量子计算最有前景的物体体系之一[5]. 基于海森堡模型所产生的纠缠，已经被广泛地应用于量子隐形传态[6]、量子密码[7]等各个领域.

目前，有关海森堡模型在均匀磁场和非均匀磁场情况下纠缠性质的研究取得了广泛进展[8-17]，但之前的许多研究大都局限于把磁场的方向设定为沿z轴，对在其它方向磁场情况下系统纠缠性质的研究[18， 19]还不多见. 本研究主要讨论x、y方向外磁场下的两粒子海森堡XXX链的纠缠特性.

2 纠缠度量

系统的两体纠缠可用Negativity(N)[20]来度量：

(1)

3 海森堡模型

考虑沿x方向的均匀磁场加在Heisenberg XXX链的两个量子比特上. 此时系统的哈密顿量可以写为：

(2)

(3)

其本征态及相应的本征值为：

(4)

E1=J，

E2=J-2B，

E3=J+2B，

E4=-3J.

(5)

同理，考虑沿y方向的均匀磁场加在Heisenberg XXX链的两个量子比特上. 此时系统的哈密顿量可以写为：

(6)

哈密顿量可以表示为：

(7)

其本征态及相应的本征值为：

(8)

(9)

哈密顿量为H的热态也可以写成如下形式：

(10)

式中β=1/(kT)，k为玻尔兹曼常数，简单起见记为1，T为热力学温度,H为系统哈密顿量，Z=tr[exp(-βH)]为配分函数. 因为ρ(T)表示的是热态，所以该态内的纠缠称为热纠缠[21].

在标准基{ |00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下,

(11)

式中

Z=2exp(βJ)cosh(2βJ)+2exp(-βJ)cosh(2βB).

(12)

同理，y方向外磁场下系统的密度矩阵同样可以求出.

ρy(T)=1exp(-βHy)

(13)

式中

Z′=2exp(βJ)cosh(2βJ)+2exp(-βJ)cosh(2βB).

(14)

根据上述定义，通过计算，发现x方向和y方向下密度矩阵的纠缠度N的值相同，均为：

(15)

4 分析与讨论

图1描绘的是反铁磁质模型中，对于不同的J，纠缠度N随外磁场B和温度T的三维函数图. 从图1的任意一幅子图可以看出，N关于磁场B=0对称. 因为当B↔-B，本征值E2↔E3. 当J一定时，当|B|较小时，纠缠度N会在临界磁场|Bc|内一直维持在最大值. 当磁场超过临界磁场|Bc|时，纠缠快速地降为0. 同样，随着T的增大，纠缠度N会慢慢变小，当T超过某一临界值Tth时，N完全消失.

纵观图1的4幅子图，发现，对于不同的J，使N处于最大值的磁场范围不同. 具体来说，J越大，使N处于最大值的磁场范围也越宽，即对应的临界磁场|Bc|也越大；反之，J越小，使N处于最大值的磁场范围也越窄，即对应的临界磁场|Bc|也越小. 另外，我们还发现，J越大，临界温度Tth也越大，即较大的J可以使纠缠在较高温度下存在，这一点很有实际意义.

5 结 论

对于两量子比特的海森堡XXX自旋链，分别讨论x方向和y方向均匀外磁场加在这两个量子比特上时系统的纠缠特性，计算两种情况下的热纠缠，并用负度N来度量，发现两种情况下的热纠缠的表达式一致. 同时发现，磁场B、温度T和自旋耦合系数J的取值均会影响纠缠度N，具体来说，增大的磁场|B|和增大的温度T会减小纠缠，但增大的自旋耦合系数J会增大纠缠，而且它会使临界磁场|Bc|和临界温度Tth变大. 因此，我们可以通过调节B、T和J来控制热纠缠. 本研究的计算结果对固态系统中通过构建和选择参数调整系统的纠缠度具有一定的作用和意义.

图1 当自旋耦合系数J不同时，纠缠度N随磁场B和温度T的变化. (a) J=1；(b) J=2；(c) J=3；(d) J=4. Fig. 1 The thermal entanglements measured by the negativity N as the functions of the uniform magnetic field B and the temperature T for different coupling constants J. (a) J=1; (b) J=2; (c) J=3; (d) J=4.