在概念教学中培养学生抽象素养

徐友华

[摘 要]概念教学应充分揭示概念的发生、发展和形成过程，避免概念建构过程中的“滑过”现象.只有精心设计概念建构过程中的抽象活动环节， 加强教材研究，加深教学内容的理解，才能帮助学生更好地掌握概念，培养学生的抽象素养.

[关键词]概念教学;抽象素养;反思

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）35-0013-02

一、问题的提出

概念课是高中数学教学中最重要的课型，始终是大家关注和研究的热点.数学概念的高度概括性与抽象性决定了数学概念是培养学生概括能力、抽象素养的重要载体.但在概念课课堂教学中仍存在 “‘迫不及待’地‘告诉’，‘急不可耐’地‘叮嘱’”的现象，使得概念的形成过程被匆匆“滑过”.因此，教师应精心设计数学活动环节， 让数学活动催化概念抽象，充分揭示数学概念的发生、发展过程，让学生经历数学抽象活动过程，并体会蕴含其中的数学思想方法.

“函数单调性”作为高中数学函数部分研究的首个性质，其研究方法具有典型性、示范性，其学习经验、过程可为后续奇偶性、对称性等函数性质的学习提供经验范式.

二、案例设计及分析

学生在初中已學过一次函数、二次函数、反比例函数等函数模型，对图像的上升与下降并不陌生，即对函数单调性有了一定的感性认识.本节课的学习重点在于将学生对函数单调性概念从已有的感性认识发展到以符号语言为表示形式的理性认识，从定性分析迈进定量分析.鉴于学生在图形语言向自然语言的过渡过程中没有什么困难，教学活动设计仅呈现从自然语言到符号语言的建构过程.

教学活动一：用数学符号语言表示“函数值随自变量的增大而增大” ，感受形与数的对立统一.

设计意图：函数的单调性表示函数的变化趋势，主要通过两个角度来体现.其一，“形”的角度，就是研究函数图像走势的变化规律，即是上升还是下降;其二，“数”的角度，反映的是当自变量增加时，函数值是增加还是减少.在建构函数单调性概念的过程中，要体现数学研究的框架与一般方法，密切联系“数”与“形”两个角度进行数学活动设计，运用多元表征，帮助学生理解函数单调性概念.

问题1：在初中我们利用函数的图像研究过函数值随自变量增大而增大（或减小）的性质，你能用手势比画一个函数值随着自变量增大而增大的函数图像吗？

学生比画.

追问：你能列举一个函数值随着自变量增大而增大的函数吗？

学生举例，如[f（x）=kx+b（k>0）].

追问：通过函数图像，我们可以观察出一个函数值随着自变量增大而增大（或减小），但如果我们不清楚函数的具体图像怎么办？比如你能判断函数[f（x）=x+1x]在区间[（1，+∞）]上的单调性吗？

师生交流讨论.

教师：如果不清楚函数的具体图像，我们就无法从图形语言到自然语言来辨别函数的单调性，那么还有其他语言吗？

学生：符号语言.

设计意图：将教材的例3进行改编，使问题前置，设计一个图像未知的问题，引发认知冲突，凸显概念精致的必要性， 凸显符号语言的重要性.

问题2：如何用数学符号体现“增大”？如何用数学符号语言表达“自变量的增大”？如何用数学符号语言表达“函数值随自变量的增大而增大”？

设计意图：引导学生分析关键词“增大”的含义及其符号表示，得出“增大”刻画的是一种相对性，通过比较来体现.说明第二个量比第一个量大，它是两个数值之间的大小比较.因此，可将自变量[x]的第一个取值记为[x1]，第二个取值记为[x2]，则自然语言“函数值随自变量的增大而增大”表示为“当[x1<x2]时，有[f（x1）<f（x2）]”.

问题3：在区间D内，取[x1]，[x2]，且[x1<x2]，有[f（x1）<f（x2）]，是否一定有“函数值随着自变量的增大而增大”？

设计意图：放手让学生思考讨论，教师引导学生不断完善认知结构.

追问：（如果回答不行）为什么不行？要取多少组才行？无限组行吗？

设计意图：通过探究，学生发现：对区间D上有限组或无限组自变量满足[x1<x2]，有[f（x1）<f（x2）]，都不能反映“函数值随着自变量的增大而增大”的本质.

问题4：要取遍区间上的所有值才行，能做到吗？如何做到？

师生活动，学生讨论.

教师提示：在此之前，我们有没有遇到过“无法穷尽”的情况？当时是怎么处理的？

设计意图：启发学生引入“任意”一词.

至此，学生基本上能够理解并用数学符号语言来表示 “函数值随着自变量的增大而增大”.即对于区间D内的任意两个值[x1]，[x2]，当[x1<x2]时，都有[f（x1）<f（x2）].

教学活动二：归纳、完善活动一的结论，抽象出单调性概念，感受有限与无限之间的对立统一.

设计意图：函数的单调性概念中既有有限与无限之间的对立统一，也蕴含了变与不变的辩证关系.譬如增函数概念阐明：在某个区间D上，对于任意[x1<x2]，都有[f（x1）<f（x2）].这表明任何一组自变量及对应函数值都必须满足上述关系.从数量上来看就有无穷多组.因此，在数学活动中，帮助学生引入“任意”，化无限为有限.“任意”的引入打破了无限与有限之间的界限，体现了单调性概念中的有限与无限的对立统一.

师生共同归纳完成：一般地，设函数的定义域为M，区间D为M的子集.

如果[∀x1]，[x2∈D]，当[x1<x2]时，都有[f（x1）<f（x2）]，那么就称函数[f（x）]在区间D上单调递增.特别地，当函数[f（x）]在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

如果[∀x1]，[x2∈D]，当[x1<x2]时，都有[f（x1）>f（x2）]，那么就称函数[f（x）]在區间D上单调递减.特别地，当函数[f（x）]在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.

如果函数[y=f（x）]在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数[y=f（x）]在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作[y=f（x）]的单调区间.

教学活动三：理解概念，感受三种语言之间的对立统一.

设计意图：在教学活动的设计上，将图像分解为两个维度：水平方向（自变量）以及竖直方向（函数值）.从图像语言过渡到自然语言，使得单调性的判定变得精致，也为图像未知的函数的单调性的考查找到了问题解决的途径.自然语言克服了图像语言的局限性，但仍需进一步精致，即需引入符号语言来明确函数单调性的定义.从图像语言到自然语言再到符号语言是认识的不断升华.

问题5：考察某函数的单调性时，可否将考察的区间省去？举例说明.

问题6：设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且[∀x1]，[x2∈A]，当[x1<x2]时，都有[f（x1）<f（x2）]，我们能说函数[f（x）]在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？

问题7：你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上是单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？

设计意图：借助问题辨析，帮助学生系统、全面、深刻地理解函数的单调性.问题设计中通过“举例”辨识出学生对于函数单调性概念的真、假理解.

教学活动四： 巩固概念（略）.

设计意图：设计不断深入的教学活动，使得函数的单调性从图形语言到自然语言再到符号语言，这是函数单调性这个概念逐步精致的过程，也是一个逐步抽象的过程，是通过设计活动促进学生抽象素养发展的过程.

在函数单调性概念的形成过程中，起决定性作用的智力活动方式是学生根据自己的生活体验，通过对函数图像的观察，对初中函数单调性描述性定义的回忆，对函数单调性概念进行符号化建构.其中，观察、分析是基础，抽象、概括是关键，学生能否在观察分析的基础上抽象出函数单调性的本质属性并概括出其定义，是这种智力活动方式成败的关键，也是区分学生的学习是否有意义的关键.

掌握数学概念是学生学好数学知识、掌握数学思想方法、提高思维能力、发展数学素养的基础.数学概念的建构过程，是培养学生抽象素养、科学态度和理性精神的重要契机.而数学抽象是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在概念课上，通过设计数学活动环节，在层层递进的问题的探索求解过程中，让学生参与完整的活动过程（包括感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征、系统化与结构化），通过比较、分析、判断、质疑、概括等活动来获得概念.只有让学生充分参与到数学概念的发生、发展和形成过程，才能帮助学生发展数学抽象素养，培育科学态度和理性精神.

[   参   考   文   献   ]

[1]  许兴震.定位教学目标 实现数学育人：以一节“函数的单调性”的教学为例[J].中国数学教育，2015（6）：2-4，28.

[2]  黎栋材，龙正武，王尚志.站在系统的高度 整体把握函数单调性教学[J].数学通报，2015（12）：7-11，15.

[3]  王凯.两个教学理论指导下的“以学定教”：以“函数的单调性”的教学为例[J].教学研究与评论，2015（2）：65-69.

[4]  杨兴军.“函数单调性”教学应处理好“三个矛盾”[J].中学数学杂志，2014（11）：19-21.

[5]  丁益民.2019版苏教版教材“章首语”的内涵解析[J].数学通报，2020（7）：54-56，66.

（责任编辑 黄桂坚）