由一道中考题谈“三点共线”的证明方法与思考

蔡雄壮 (福建省晋江市安海中学 362261)

“三点共线”问题是近几年福建中考的热点，在2019年福建中考第25题和2020年福建中考第23题都出现“三点共线”的证明.另外，2020年晋江市八下期末考第25题和2020年春德化县八下期末卷第25题也出现“三点共线”的证明.接下来，首先来看一下2020年福建中考第23题.

1 原题呈现，考情分析

如图1，C为线段AB外一点.

图1

(1)求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD=2AB(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上.

笔者曾将该题作为月考卷试题，从学生答题情况来看，有些学生做得不错，方法如下：如图2，连结NP，并延长与AB交于点M′，然后证点M′与点M重合，运用“同一法”证明点N，P，M三点共线.这一部分学生应该是从教师上课时，运用“同一法”证三角形三条边上的中线交于同一点得到启发，掌握了相应的数学思想方法.但从整体来看，学生做得并不理想，不少学生直接用相似三角线的预备定理证△CPN∽△APM，相当于默认了M,P,N共线，但这是题目要证明的结论.还有相当一大部分学生无从下手，没有头绪，对证“三点共线”的方法还比较陌生.本文归纳了几种证“三点共线”的方法及类型，与读者一起探讨.

图2

2 归纳方法，解析案例

通过研究近年来一些有关证明“三点共线”的题目，笔者归纳出了几种常见的方法：(1)运用平角的定义(简称平角法)；(2)运用基本事实，比如：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”(简称基本事实法)；(3)运用共边相等两角同侧边重合(简称共边等角法)；(4)运用线段垂直平分线的判定定理(简称垂直平分线法)；(5)运用“连结其中两点的直线过第三点”(同一法、解析式法).由于前两种方法相对来说比较简单，就不再举例分析，文章分析后三种方法在教学中的运用.

2.1 共边等角法[1]

如图3，∠AOB与∠AOC的顶点O重合，角的一边OA是公共边，另一边OB，OC都在公共边OA的同侧，且∠AOB=∠AOC，那么OB与OC重合，即点O，B，C三点共线.

图3 图4

例1如图4，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，M，N分别是AB和CD的中点，BC，AD的延长线相交于点P，求证：M，N，P三点共线.

分析 因为∠A+∠B=90°，所以∠APB=90°.因为M，N分别是AB和CD的中点，所以PM=AM=BM，PN=DN=CN，从而得∠MPB=∠B，∠NPC=∠PCD.由AB∥CD，得∠PCD=∠B，从而∠MPB=∠NPB.又M，N在BP同侧，故PM和PN重合，因此M，N，P三点在同一直线上.

2.2 垂直平分线法

如图5，点C,D，E分别到线段AB两端点的距离相等，则点C，D，E都在线段AB的垂直平分线上，即点C，D，E三点共线.

图5 图6

例2(2020年春德化八下期末卷第25题)如图6，点G是正方形ABCD的CD边上的一个动点，以DG为边在正方形ABCD外侧作正方形DEFG，连结BD,DF，BF.

(1)求证：△BDF是直角三角形.

(2)取BF的中点M，连结AM，

①请在图中补全图形并证明A,M,C三点共线；②略.

2.3 运用“连结其中两点的直线过第三点”证三点共线

·同一法

例3如图7，△ABC的外心为O，垂心为H，OM⊥BC于点M.

图7 图8

(2)设△ABC的重心为G，求证：点O，H，G三点共线.

图9

·解析式法

当题目中出现直角坐标系，可求出过其中两点的直线的解析式，再证第三点在这条直线上.这种方法经常涉及到含参运算，而含参运算也是近几年来中考的热点.

例4(2020年春晋江八下期末卷第25题)如图10，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴的正半轴、x轴的正半轴分别交于A，B两点，点Q是线段AB上的动点.

图10 图11

(1)若S△AOB=6，OA=3，

①求直线AB所对应的函数关系式；

②若点Q是线段AB的三等分点，求点Q的坐标；

3 深入探究思考，方法源于课堂

这些解题方法其实并不陌生，它们来源于教师平常的课堂教学中，来源于学生平常的学习中，但需要教师深入地研究与引导，拓展学生思维，学生深度地学习与思考，自主探索、归纳出方法，领悟其中的数学思想.下面，笔者谈谈在平常教学中的几点思考.

3.1 深入引导，拓展思维

在华师大版八年级上册第13章第5.2节“线段垂直平分线”这节中，学习了线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.其中有一道练习：“如图12，AC=AD，BC=BD，求证：AB垂直平分CD.”教师如能在讲完这题的基础上，把题目变形为：“如图13，AC=AD，BC=BD，CE=DE，求证：A,B，E三点在同一条直线上.”这样可以拓展学生的思维，通过“线段垂直平分线的判定定理”相关练习的变形即可探索出三点共线的证明方法——垂直平分线法.这体现了以教师为主导、学生为主体的课程理念.

图12 图13

在学习华师大版八年级下册第17章第3节“一次函数”时，有一道练习：“如图14，一次函数y= 2x+4，点A(-1,2)，请判断点A(-1,2)是否在直线y=2x+4上.”教师在讲完后，把题目变形为：“如图15，在直角坐标系中，A(-1,2)，B(0,4)，C(1,6)，求证：A，B，C三点在同一条直线上.”先让学生思考如何证明A,B，C三点在同一条直线上，再提问学生：由这道练习能得到什么启发？引导学生自主分析问题，得出解决问题的方法：可先求出过A，B两点的直线的解析式，再判断点C是否在直线AB上.教师通过题目的变式，引导学生进行深层次的思考，拓展学生的思维.学生自己探索出证明三点共线的方法——解析式法，进行了深度学习，真正做到了触类旁通，符合课程标准的理念：课堂教学应激发学生的兴趣，调动学生的积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.

图14 图15

只要教师不断地进行教学思考，深入研究，并通过平常的教学引导学生探索、总结、归纳出方法，学生对于解决中考压轴题并非毫无头绪，因为中考所考查的内容也是来自于初中阶段所学的知识、贯穿的数学思想方法，这符合课程标准与考纲的要求.接下来，以2019年福建中考第25题为例进行说明.

例8已知抛物y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点.

(1)若公共点坐标为(2,0)，求a，c满足的关系式.

(2)设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1-k与抛物线交于点B，C两点，直线BD垂直于直线y=-1，垂足为点D.当k=0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.

①求点A的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数k，都有A，D，C三点共线.

图16 图17

方法2就是运用教学中引导学生探索出的解析式法，只不过此题含有字母k，而不是具体的数字，结合了含参运算，但所运用证明三点共线的数学思想方法在本质上是一致的.因此，教师在平常的教学中应多深入研究，在学生认知水平的基础上，结合中考热点不断地研发变式题，引导学生分析问题，自主探索出解决问题的方法，拓展学生的思维.

3.2 深度学习，引发思考

数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法，并引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.

在华师大版第23章第4节“三角形重心以及重心的性质”的学习中，在课堂教学中运用同一法引导学生证明三角形三边上的中线相交于同一点，学生接触了同一法，如果学生在重心性质的推导过程中掌握了同一法，那么2020年福建中考第23题第(2)题证明M，P，N三点在同一条直线上将能迎刃而解.如果教师注重数学知识的形成过程和蕴涵的数学思想方法，学生知道的不仅是结果，还掌握了如何得出结果的方法，以及感悟了数学思想，更具有了深度学习的能力，对数学问题才能不断地进行深入的思考与探究.教师课堂教学可通过以下两个方面提高学生深度学习的能力.

(1)动手实验，探索结论

数学实验是学生通过动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，是在教师的引导下，学生运用有关工具，通过实际操作，在认知与非认知因素参与下进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的思维活动.[3]数学实验可用于探索发现或验证教材中的数学结论，是对教材的一种补充.教师可以根据课堂的内容设计合理的数学实验，让学生动手操作，发现数学结论，探索解决数学问题的方法，启发学生思考，不断深入探究学习.

(2)提出问题串，培养探究力

教师可以把学生通过操作数学实验探索出的数学结论分割成几个环环相扣的问题串，不断地追问学生，引发学生思考，启发学生的数学思维，一步一步地解决每一个问题，最终得到所要的数学结论.教师通过由浅入深地提出问题串，给学生一块块垫脚石，鼓励学生敢于去思考数学问题，树立解决数学问题的信心，提高自主探究问题的学习能力，从而提高深度学习的能力.