关联与建构：二元一次方程概念教学研究

张 林 (江苏省张家港市锦丰初级中学 215625)

近期，在北京市陈经纶中学承办的“第三届中国数学特级教师高端论坛”上，笔者受邀在“名师课堂”环节开设了一节题为“二元一次方程”的展示课.课堂教学以学生为主体，以问题为主线，从现实情境中抽象出方程模型，类比一元一次方程的概念模型，建立二元一次方程的概念模型，凸显二元一次方程与一次函数及其图象的内在关联，使学生理解二元一次方程的本质，建构二元一次方程的认知结构，发展学生的数学关键能力，取得了较好的教学效果，给观课教师留下了深刻的印象.现将本节课的教学分析、教学设计及教学思考整理成文，与各位同行交流.

1 教学分析

1.1 内容分析

“二元一次方程”属于“数与代数”内容领域方程模块的教学内容.在初中数学教材中，方程模块一般是按着“一元一次方程”“二元一次方程组”“一元二次方程”的顺序编排.本课内容是一元一次方程的后继学习内容，是二元一次方程组的起始课，涉及的主要内容为“二元一次方程”和“二元一次方程的解”两个概念.以人教版、苏科版和北师大版教材内容为例，从问题情境、探究活动、模型建构、概念形成、概念应用等方面对内容进行梳理，如表1.

表1 人教版[1]、苏科版[2]和北师大版[3]教材内容梳理

从问题情境设置看，不同版本的教材都注重数学与现实世界的联系，创设源于生活的现实情境，有利于学生经历实际问题的数学化过程，在建立数学模型刻画现实世界的过程中体会模型思想.概念的形成环节都注重从学生的最近发展区设置问题，引导学生类比一元一次方程的学习经验，从方程模型中二次抽象出二元一次方程(组)模型.在概念设置上，人教版和北师大版教材都将二元一次方程和二元一次方程组的概念设置在同一课时，而苏科版将两个概念分设在两个课时，我们从章节名称上也能看出其区别.在概念应用环节，人教版和北师大版教材都注重从实际问题再次建立二元一次方程组模型，并判断或初步探索二元一次方程组的解，而苏科版教材更侧重从数学内部探索二元一次方程的形式变换，为后续求解二元一次方程组打下基础.

基于以上分析，考虑到初一学生的数学学习水平一般，在同一课时学习太多的数学概念会造成学习负担太重，影响学习效果，最终确定本课时教学内容为“二元一次方程”.为避免教学内容过少、思维含量太低而带来的教学欠缺，在探究二元一次方程的解的活动环节，注重引导学生探究二元一次方程与一次函数及其图象的关联，以驱动学生深度思考，提升概念教学的效益.

1.2 学情简析

学生已学习过一元一次方程，具备有关一元一次方程的知识和经验，知道一元一次方程是刻画现实世界的有效数学模型，已积累了一些建构方程模型分析和解决问题的经验，应该有能力通过自主探究和合作交流，从实际问题建立方程模型，从方程模型中抽象、概括出二元一次方程的概念模型.

1.3 目标解析

(1)经历实际问题数学化的过程，建立二元一次方程模型，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型[5]；

(2)了解二元一次方程及其解的概念，会判断一组数是否是某个二元一次方程的解；

(3)理解二元一次方程与一次函数及其图象的关联，在纵向数学化的过程中建构二元一次方程的知识结构体系.

1.4 教学思路

从认知心理学看，数学的学习实际上是一种认知发展的过程，学生学习数学知识的本质就是在原有认知基础上的同化、顺应、平衡.研究同化、顺应、平衡三个概念及其内涵，可以发现图式变化是三者的核心要素，增加和丰富原有图式或建立新图式就是学生学习的一种内在心理表现.用通俗的语言讲，这种以图式变化为核心的认知发展过程就是我们所谓的“关联”.因此，在数学概念教学中，应注重引导学生体悟知识间横向和纵向的关联，通过关联实现数学的有效学习和深度学习.首先，在概念形成环节，应引导学生关联一元一次方程的知识和学习经验，为抽象和概括出二元一次方程的概念搭好脚手架.其次，在二元一次方程的解(以下简称“方程的解”)的探究环节，注重方程与函数及其图象的关联，将方程的解与直线(点的坐标)关联起来，感受“数”与“形”的关联、“有限”与“无限”的关联，为后续学习二元一次方程组及方程组的解奠定基础.再次，二元一次方程与一元一次方程具有相同的本质属性，属于同一“类型”的学习内容，在教学中既要注重教学内容和教学方法的关联，也要注重数学思想方法和认知结构的关联，最后建构出二元一次方程的认知结构体系.

2 教学设计

2.1 创设情境，引入新知

问题1北京某公园的门票价格为：成人票 20元/张，儿童票5元/张.

(1)现有x名成人，6名儿童，买门票共花了 110元,请列出方程；

(2)现有x名成人，y名儿童，买门票共花了 110元,请列出方程.

问题2北京市陈经纶中学某球员在一场篮球比赛中共得28分，其中罚球得10分.怎样描述该球员投中的两分球、三分球个数与得分之间的相等关系？

教学说明 在创设情境环节，设置了两个源于现实世界的实际问题情境，以问题作为教学的出发点，激发学生的数学学习兴趣，使学生感受到数学就在身边.学生需分析问题中的数量关系，在用数学语言描述现实世界的过程中感受和体会二元一次方程也是刻画现实世界的有效数学模型.在问题的驱动下，学生尝试建立数学模型，从而获得1个一元一次方程和2个二元一次方程模型，为后续学习做好铺垫.

2.2 类比旧知，探索新知

问题3观察由上述两个问题中得到的三个方程：20x+30=110 ①，20x+5y=110 ②，2x+3y+10=28 ③.

(1)方程①你熟悉吗？请回顾一元一次方程的概念；

(2)观察方程②③，它们有哪些共同的特点？请尝试用文字描述并命名；

(3)给出方程④：20x+xy=110，它是二元一次方程吗？为什么？

(4)对于刚才描述的二元一次方程的概念，你们认为有问题吗？需要如何修改？

(5)为什么一元一次方程的概念是“未知数的次数是1”，而二元一次方程的概念是“含有未知数的项的次数是1”，是什么原因导致了这个变化？

教学说明 引导学生结合方程①关联一元一次方程的概念，为探索二元一次方程的概念作准备；让学生观察方程②③的共性，用自已的语言描述，培养学生的观察、比较、概括能力.学生类比一元一次方程的概念[6]，可能会出现错误的描述：“含有两个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程.”此时，教师不急于纠正，而是给出方程④让学生判断，学生发现问题后自行修正并得到正确的概念.通过追问，揭示变化的本质原因是“一元一次方程只有一个未知数，未知数的次数就是未知项的次数；而二元一次方程有两个未知数，未知数的次数不一定是未知项的次数”，让学生对概念的内涵做到真正理解．

2.3 精选例题，巩固新知

例1(1)下列方程是二元一次方程的有.(填写序号)

① 5x+7=12；②x-7y2=10；③ 4xy-1=3x；④ 2x=9-6y.

(2)若方程xa+1-2yb-2=4是关于x，y的二元一次方程,则a=，b=.

教学说明 第(1)题是对二元一次方程概念的辨析，第(2)题是对二元一次方程概念的简单运用.通过两道小题促进学生分别理解二元一次方程的内涵和外延，以实现理解和掌握数学概念的目的.

例2下列三对数值，能使二元一次方程x+2y=9两边的值相等的是.(填写序号)

对于大直径的塞规，无法直接测量直径，可采用以激光二维扫描传感器获取塞规上边缘、激光测径仪获取塞规下边缘的方式，通过比较测量的方法，获取塞规截面在各个角度的直径值，经过处理获取圆度。

问题4(1)回忆什么叫方程的解？说说什么叫二元一次方程的解？

(2)该二元一次方程除了这个解，还有没有其他解？请同学们上黑板写一写；

(3)二元一次方程一般情况下有多少个解？为什么？

教学说明 设置例2的目的是使学生经历计算验证的过程，体会一对数值满足二元一次方程的情形，从而引出二元一次方程的解的概念.教学时先让学生回忆方程的解的概念，在关联已有认知经验的基础上，再引导学生描述二元一次方程的解的概念.通过进一步追问，引导学生体会二元一次方程的解的“无限性”.在写二元一次方程的解的环节，鼓励一批学生到黑板上书写，再请另一批学生点评，以实现辨析概念、理解概念的目的.

问题5(1)例2中方程的解在平面直角坐标系里表示的是什么？

(2)这个二元一次方程的其他解在坐标系里表示什么？

(3)所有这些解在几何上又表示什么？

教学说明 第(1)个问题具有挑战性，因为方程的解与平面直角坐标系之间本身不存在直接关系，学生很难回答这个问题.高水平的学生会通过一次函数作为桥梁将两者关联起来，先将二元一次方程转化成一次函数的形式，那么二元一次方程的解就可以理解为一次函数中的自变量和因变量的对应取值.进一步，这种有序对应的数值就可以理解为有序数对，这样关联到平面直角坐标系中点的坐标，从而实现二元一次方程与一次函数及其图象的深度关联.后续的3个问题，意在进一步引导学生体会二元一次方程的解与一次函数图象的关系，从“数”到“形”、从“无数个解”到“无数个点”、从“有限”到“无限”，从“图形”的视角加深学生对二元一次方程的解的本质理解.

追问已知一个解，可写出多少个满足条件的二元一次方程？为什么？

教学说明 先让学生自主写出满足条件的二元一次方程，在展示环节学生会发现同解的方程不一定是相同的，形成认知冲突，此时引导学生探究造成这一现象的原因.也可以从图形的视角帮助学生理解，一个解可以理解为平面直角坐标系中的一个点，而经过一个点可以画无数条直线(看作二元一次方程).根据学生的学习情况，也可以适时渗透二元一次方程组的概念、公共解(两个一次函数图象的交点)等概念.

2.4 学以致用，拓展新知

问题6在问题2中，我们列出方程:2x+3y+10=28.

(1)你能列出投中两分球(x个)、三分球(y个)的所有可能吗？

xy

(2)如果增加一个条件“共投中了8个球”，请再列出一个方程；

(3)这时投中球的情况有多少种？

(4)为什么只有一个解？请从几何上来说明.

教学说明 先采用枚举法求解，得到：二元一次方程在一般情况下有无数个解，但在实际问题中可能只有有限个解.然后引导学生利用“主元思想”和“转化思想”求解：把x看作已知数，则方程可看作关于y的一元一次方程，将方程先写成用含x的代数式表示y的形式，然后求出符合条件的解.如果共投中了8个球，那么由此得到另一个二元一次方程x+y=8，符合条件的解需同时满足这两个二元一次方程，即公共解.引导学生理解这个公共解就是两条直线的交点.

2.5 反思交流，总结新知

问题7本节课我们学习了哪些数学知识？这些数学知识有着怎样的联系？还有哪些需要进一步研究的问题？

教学说明 引导学生回顾数学概念的生成过程，用关联的眼光审视整节课的学习过程，并展望后续研究的数学内容.

3 教学思考

3.1 横向关联，体悟数学概念间的内在联系

横向关联是指在数学概念教学时，将具有内在联系的不同教学内容联系起来，以一个主题或一条主线整合、关联起来，形成一个相对完整的教学模块，在知识的关联中促进教学效益的一种教学方式.与二元一次方程概念相关联的数学概念有代数式、一元一次方程等，在教学设计中应体现这种横向关联，帮助学生体悟数学概念间的内在联系，生长新的知识.比如在问题1、问题2的教学时，先鼓励学生自主阅读、分析实际问题中的数量关系，用文字语言描述等量关系，再引导学生用代数式表达相关的数量，最后建立一元一次方程、二元一次方程等数学模型.在此过程中，学生自然而然地体悟到数学知识间的发展脉络和内在关联.

3.2 纵向建构，理解数学概念间的结构传承

纵向建构是指在同一主题的数学概念教学时，教学内容结构上体现的一致性.具体是指在同一主题的教学内容实施时，应表现出研究内容、研究架构、研究过程、研究方法的关联性、一致性和传承性.在二元一次方程概念的教学中，学生经历了两次抽象[3]，第一次是从实际问题中抽象出方程模型，第二次是从具有共同属性的方程模型中抽象出二元一次方程模型，接下来研究二元一次方程(组)的解的概念及求解方法，最后再回到现实世界中的实际问题，用二元一次方程(组)解决问题，从而建构出二元一次方程的认知结构体系.总体上看，二元一次方程的认知结构体系与一元一次方程是一致的，体现出同一主题概念学习的关联性和传承性.理解了同一主题内容的结构传承性，学生在后续学习分式方程和一元二次方程等内容时，就能自主建构出内容结构.

3.3 综合融通，领会数学概念间的形式互通

综合融通是指将学生原有的认知图式与新知融合贯通起来，通过知识间的横向关联和结构上的纵向建构，将不同的数学概念串联起来，形成一条清晰可见的关联纽带，使学生在数学概念间的形式互通中理解数学本质，提高数学能力.在数学概念教学中注重数学概念间的综合贯通，将新学习的数学概念与原有的数学知识统整和关联起来，有利于学生深刻理解和掌握数学概念.二元一次方程与一次函数、二元一次方程的解与一次函数的图象有着密切的关联，教学中应引导学生体会“方程形式”与“函数形式”的转换以及“数对(方程的解)形式”与“图象(平面直角坐标系中的点)形式”的转换，凸显方程与函数、方程的解与函数图象的融通.简言之，从一次函数的观点看二元一次方程的相关概念是促进学生深度理解数学本质、提高数学关键能力的重要路径.