反证法在数学及实际生活中的应用

罗抓西当智

摘要 反证法是一种非常重要的数学方法，它在数学以及实际生活中有着广泛的应用.本文将从反证法解决问题的本质出发分析出用反证法解决问题的步骤及类型，并例谈反证法在数学及实际生活中的具体应用.

关键词 反证法;假设;否定;矛盾;结论.

中图分类号：G4 文献标识码：A

1  引言

反证法是间接证法中的一种，是一种特殊的、重要的证明方法，反证法不仅可以用来证明数学命题，而且它在许多实际生活中也有许多应用，反证法的思想遍及日常生活，是培养人的逻辑思维能力、逆向思维能力，发展智力最有效的推理方法之一.总而言之，反证法在人们的生活中是非常重要的，无论从数学的角度还是从其他角度看问题，人们都必须学习反证法.

2  反证法的作用及概念

2.1  反证法的作用

牛顿曾经说过“反证法是数学家最精当的武器之一”.最早在数学中引用反证法的是古希腊毕达哥拉斯学派的希波克提斯，在欧几里得的《几何原本》中也有不少用反证法的范例.我国在五世纪时《张邱建算经》中已有运用.反证法是数学证明中的一种重要方法，当正面不容易或者不能证明时，我们可以从命题的反面来思考问题，若能恰当使用，往往可以收到较好的效果.特别是有些数学命题至今除了反证法还别无他法，因此，认识和掌握反证法就显得十分重要[1]。

2.2  反证法的概念

在现代数学中反证法成为最有用和最有效的解决问题的方法之一，但在现行的各种教材中没有对反证法的概念给出系统的阐述，因此，我们有必要阐述一下反证法的概念.

反证法属于间接证法，法国数学家阿达玛在其所著《初等数学教程》中做了最准确，最简明的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体的讲，就是有否定命题结论的正确性出发，根据题设条件、定义、法则、公理、定理，进行一系列正确的逻辑推理，最后得到一个矛盾的结果.即就是结论的反面不能成立，从而肯定命题结论的正确性，这种驳倒命题结论反面的证法叫做反证法[1]。

3  反证法的理论依据及本质

3.1  反证法的理论依据

我们知道，命题与其等价的命题是：原命题逆否命题.反证法就是利用证明与所要论证的命题的等价命题的真实性来说明所要论证的命题的真实性.一句话，反证法实质上是由证明命题的逆否命题成立来说明原命题的正确性.即当命题由题设结论，不易思考时，可改证它的逆否命题.

3.2  反证法的本质[3]

反证法的实质就是通过证明与原来的命题的正确性来肯定原命题的真伪.也就是说反证法是从结论的反面入手，说明结论不容否定，從而证明结论的正确性.

4  反证法的应用类型

4.1  在数学应用中的类型[4]

一般来讲，反证法常用来证明的题型有命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题;或者直接证明难以下手的命题，而从反面可以使问题迎刃而解.

4.2  在实际生活中应用的类型

比如在演讲比赛中，参赛者常常利用反证法的推理形式去论证某一论题的合理性、真实性.又比如在法庭上律师在为当事人进行辩护时，也常常采用反证法，以及有关问题的判断、现象的解释、歌咏比赛等许多实际生活中的实例都常常应用反证法来证明问题的真实性.

5  反证法解决问题的具体步骤[6]

第一步：是“假设命题的结论不成立”，亦可理解成假命题结论的反面成立.但此时，要考虑结论的反面可能出现的情况.如果结论的反面只有一种情况，那么只须否定这种情况就足以证明原结论是正确的;如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能情况全部列举出来，并且一一加以否定后，才能肯定原结论是正确的;

第二步：“从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾”其中的矛盾，可以是和已知矛盾，也可以和定义、公理、定理、性质等矛盾，这样都足以说明假设错误，原命题正确;

第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

6  利用反证法时应注意的问题

反证法虽然是一种常规证明问题方法，并且具有很多优越性，但使用时必须注意：

第一：不要一味强用反证法，非但如此，有些问题往往不用反证法倒容易推出;

第二：应用反证法推出的矛盾一定要明显;

第三：应用反证法一定要注意推理正确.

第四： 应用反证法时，一定要注意强调正确地提出反设，注意将命题结论的反面的各种情形都否定，不能遗漏[5]。

第五： 应用反证法时，必须正确地“否定结论”，因为这是运用反证法的前提.

第六： 应用反证法时，在推理过程中，一定要使用已知的条件，否则，要么推不出矛盾结果，要么不能判定所推出的结论是错误的[7]。

参  考  文  献

[1]胡晓年.谈谈反证法[J].才智，2010，98.

[2]朱慧.反证法在中学证明题中的应用[J].教育教学论坛，2010，53.

[3]张安平.反证法证明数学问题的重要方法[J].中国城市经济，2010，179.