正视实验误差，让数学学习真实发生

江苏省江阴市城西中心小学 吴 静

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“设计必要的数学活动，让学生通过观察、实验、猜测、推理、交流、反思等，感知知识的形成和应用。”数学实验是为了获得某种数学理论、检验某个数学猜想和解决某类数学问题，借助一定的物质手段，在数学思维活动的参与下所进行的一种数学探索活动。数学实验是一种常见的数学学习活动，学生以数学实验为载体进行数学探究，逐步建构数学知识或验证数学猜想，能促进数学理解力和创造力的提升。随着课改的不断深入，数学实验被越来越多的一线教师采纳和运用。然而，数学实验中出现的误差往往会使教师陷入尴尬的境地，使得教师对数学实验教学心存畏惧。

一、问题：实验误差的教学现状和分析

教师在面对数学实验误差时，主要有以下三种情况：

1.“规避”误差

教师对实验过程中出现的误差有清晰的认识，但考虑到实验误差可能会对学生的数学学习产生负面影响，在设计教案时有意通过控制实验变量、改变实验要求等方式，直接规避实验误差，不让学生有看见误差的机会。

2.“忽略”误差

实验过程中，学生已经发现误差，但教师往往因分析误差影响教学的进程和学生判断，采取视而不见的态度，直接忽略误差，出示标准数据。

3.“应付”误差

学生发现并提出实验误差，教师无法给予学生合理的解释，而用“误差在实验中是客观存在的、无法避免的”“出现实验误差是正常现象”等语言应付，不做深究。

透过以上教学现象，可以看出教师面对实验误差时，存在惧怕心理，教师对实验误差的成因和教学价值缺乏应有的认识。

二、明晰：实验误差的成因和教学价值

正确认识实验误差，了解实验误差产生的原因，明晰其蕴含的教学价值，对于优化实验过程，促进学生数学理解都有着重要意义。

（一）实验误差的成因

实验误差是实验中一个量的观测值或计算值与真实值之间的差距。实验误差具有客观性、生成性和可控性的特点。导致实验误差的因素有很多，实验方式、实验工具、实验程序、操作和观察方法等都会造成实验误差，特别对具象的、现实的实验素材进行手工操作时，误差是难以避免的。

（二）实验误差的教学价值

表面看，实验误差会阻碍教学进程，混淆学生的认知，影响学生的判断。事实上，实验误差中蕴含着丰富的教学价值，对学生的数学学习有着积极的推动作用。

1.培育实验精神

物理学家丁肇中认为：“需要培养实验的精神，不论是研究自然科学，研究人文科学，还是在个人行动上，我们都要保留一个怀疑求真的态度。”实验误差是培育实验精神的有效物质载体。妥善利用误差，能帮助学生树立怀疑求真的实验态度。

2.优化实验要素

基于实验误差，组织学生进行成因分析，有助于教师和学生对实验素材、实验过程、实验要求等要素的主动改良和优化，使实验操作更规范，实验结果更合理。

3.提升思维品质

对实验误差的分析，能引发学生的深度思考，不仅能使学生主动改变和修正原有的想法，增进数学理解；还能寻找更为合理的实验方法和路径，发展实践能力和创新能力。

三、实践：利用实验误差组织教学的操作路径

教师要正视和利用实验误差，让内隐的思维可见，帮助学生发现误差背后的原因并及时加以改进、优化实验过程，不断提升思维品质。

（一）觉察误差：数据从“内隐”走向“外显”，让思维可见

小学数学教学中的实验，比较常见的是基于合情猜想而进行的验证性实验，其主要目的在于 “证实”，而非“证伪”。长期受到这种数学实验文化的影响，即便在实验中出现了误差，大部分学生也会选择相信猜想，把真实存在的误差当作是自身学习中的错误，自动调整和修改实验数据。这种对误差“视而不见”的现象，不仅不利于学生形成严谨、科学的实验精神，还会使学生错失深入思考的机会。因此教师在组织数学实验时，要谨防这种“虚假”实验，引导学生正视实验误差，让每一个测量的数据都能被觉察、看见，从而推动思维的发展。

1.明确要求，提供方法支持

看见实验误差，需要以规范的操作为前提。实验前，教师要出示实验要求，提供实验工具和实验材料、明确规范实验流程，避免学生出现实验错误。例如，在教学“三角形的内角和”时，教师要在学生基于已有经验猜想“三角形内角和是180°”后，出示实验要求：（1） 标一标，在课前准备好的任意三角形（可以是画的，也可以是剪下的三角形）上标出3个内角，做好记号；（2）想一想，你有什么办法验证自己的猜想，再动手实验；（3） 填一填，三角形的内角和是（ ）°。注意：操作规范、正确，并如实记录实验数据。为了确保实验的有效性，教师要在课前对学生任意画的、剪下的三角形进行检查，确保符合标准。

规范的数学实验活动，能有效排除无关干扰，凸显数学实验中真正的误差，进而帮助学生聚焦误差，引发深度思考。教师要认识到数学实验误差的成因具有多样性和复杂性，根据数学知识特点进行问题的预设，制订实验规范，为误差的显现提供外在的方法支持。

2. 夯实基础，依托经验支撑

为了防止出现错误的实验数据，教师不仅要检视实验工具等外在因素，还要从源头出发，夯实数学实验所必备的基础知识和技能。如教学“三角形内角和”前，要帮助学生回忆和固化量角的基本方法，包括量角器的摆法和读刻度的方法。学生在量角经验的支撑下，按“规定”实验，就能关注到与猜想不同的实验数据，并就此深入探究，形成对实验误差的正确认识。

3. 鼓励求真，给予心理支援

实验误差能否被接纳与实验者的实验态度、实验精神高度相关。学生实验精神的养成，需要教师给予足够的心理支援，教师要做好两方面的工作：一是要积极营造“纳错”文化氛围，引导学生正确看待学习中出现的问题，认识到错误资源的价值，并能在错误中探寻学习方向和方法；二是要帮助学生形成求真务实的实验态度，尊重实验结果，接纳各种不同的实验数据。实验中，教师更要提醒学生如实记录实验数据。

（二）辨识误差：认识从“模糊”走向“清晰”，让思维可立

小学生的抽象思维能力尚处在发展阶段，对直观、可见的事物抱有一种执念。当实验数据和实验猜想出现不一致的情况时，绝大多数学生会受表象的迷惑，相信实验数据而放弃原有的想法。对学生而言，接受误差是从感性思维走向理性思维的一次飞跃。教师要把握机会，引导学生理性看待实验结果和实验猜想之间的矛盾，分析实验数据背后的原因，正确认识实验误差的意义。

1.多样呈现，形成“冲突点”

同一个实验，不同学生得到的实验结果是不完全相同的。教学时，教师要充分利用差异资源，设置认知冲突，引导学生聚焦实验数据，进行合理分析，正确认识实验误差。如教学“可能性大小”时，教师先出示装有3个红球和3个黄球的透明袋子，让学生猜测“任意摸一个球，摸到哪种颜色的可能性大？”随后进行摸球实验验证猜想，通过先猜想后实验的方式引发学生的认知冲突。最后，引导学生对大量的实验数据进行分析，感受摸球实验中“摸到红球或黄球”的不确 定性。

2.多方辨析，澄清“混淆点”

实验误差和实验错误是两个不同的概念，澄清实验误差和实验错误，有助于学生形成更为严谨的实验态度，同时能发展学生的思辨能力。教师要舍得花时间，呈示各种不同的数据，组织学生进行辨析。如学生通过测算验证三角形内角和为180°时，出现了179°、180°、173°等不同的实验数据，教师要适时提问：“对于179°和173°这2个不是180°的内角和，你有什么想说的？”在学生初步判断出173°是错误数据后，对三角形三个内角进行再次测算，确认其是实验过程中测量和读数错误导致的。而179°是在实验过程中受材料、观察角度的影响出现的误差，难以避免。通过以上辨析，学生对实验误差和实验错误有了一定的鉴别能力，为后续结论的得出扫除了认知障碍。

3.多元对话，构建“认知点”

学生对实验误差的理解需要从比较接近精确结论的模糊认知，走向对误差合理范围的基本框定。教学中，教师要追问实验误差的出现是否正常，引导学生通过多元对话，理解和分析实验误差。如，在学生利用工具测算圆周长和直径的比值后，教师要组织学生讨论2个问题：（1）刚才我们的猜想圆周长和直径的商是固定不变的，可是实验得到的商都不一样，这是怎么回事？（2）你认为实验误差能不能避免？为什么？

（三）利用误差：理解从“浅表”走向“深刻”，让思维可变

实验误差一定程度上会让学生的思维浅表化，影响学生的数学判断。教学中，教师要利用实验误差这一资源，引导学生进行由表及里、由浅入深的思考，让思维变得更加深刻、精准和有创意。

1. “深”处走——逼近知识本质，让思维变得更深刻

实验误差有时会成为学生数学学习路上的“绊脚石”。教师要引导学生从数学的角度化解问题，完善实验过程，提升学生的思维品质。如教学“三角形三边关系”时，经常会遇到学生用“两边之和等于第三边”的小棒围出了三角形的情形。教师清楚把小棒作为“线”进行实验必然会出现实验误差，因而设计了小棒由粗变细的多个实验活动，但学生遵循“眼见为实”的准则，拒绝承认小棒变细后就不可能围成三角形的事实。

面对这个问题，教师不妨引导学生从“现象观察”走向“数据分析”。事先在操作小棒上标示具体的长度，当学生出现认知偏差时，引导学生通过数据的计算和分析，判断小棒围成三角形的可能性，用数学眼光看问题。

2. “宽”处行——拓宽认知视域，让思维变得更精确

实验误差的有效控制，本质上是对实验数据再优化的过程，有助于发展学生的数据分析能力，让学生的思维得到发展。教学中，教师在学生收集大量实验数据的基础上，引导他们选取更合理的实验量表示实验结果。如教学苏教版数学四年级下册的教学活动课“怎样滚得远”时，当小球滚动距离普遍存在差异的情况下，可以统计班级所有学生得到的数据取平均值作为标准数据，进而缩小实验误差。

优选统计量表示实验数据，是将实验误差控制在合理范围内的有效办法。在采用这一方法时，教师应渗透统计的思想，引导学生做好两件事：一是不要受单个实验数据的制约，而要扩大实验样本，收集尽可能多的实验数据；二是根据数据的实际情况灵活选择平均值、众数等统计量表示实验数据的总体水平。只有这样，才能合理控制实验误差，使实验结果真正为数学学习服务，提高学生思维的准确性。

3. “高”处看——打破思维局限，让思维变得更灵活

误差有时是创新之源，能帮助学生克服思维定式，寻找到最佳的实验路径。教师要充分利用实验误差，引导学生另辟蹊径，从不同角度、不同侧面思考以寻求新的突破。如当学生用先量角再计算的实验方法探究“三角形内角和”却出现误差时，教师可以通过提问：“求三角形内角和就是把三角形3个内角度数合起来，除了用先量后合的方法求内角和，还可以用什么方法呢？”引导学生反向思考。实践证明，很多学生受到启发，想到先把三角形的3个内角合起来再量度数的方法，并选择用折角、撕角、画角等实验方法加以证明。

综上所述，实验误差是数学实验的必然产物，教师要看到实验误差背后的教学价值，通过引导学生觉察误差、辨识误差和控制误差，使思维变得更加理性、深刻和灵活，让数学学习真实发生。