柔性管缆限弯器等效弯曲刚度研究

丁乐声，陈金龙，张 聪，卢青针，岳前进

（大连理工大学a.海洋科学与技术学院；b.盘锦产业技术研究院，辽宁盘锦 124200）

0 引 言

在海洋油气、海上风电[1]等资源、能源的开发中，海底电缆、管道等柔性结构有着大量应用。细长结构的海洋柔性管缆在复杂的海洋环境载荷下极易发生过度弯曲、疲劳等破坏模式[2]。因此，美国石油协会（API）在其颁布的标准中指出，应在与刚性结构连接的柔性管道、海缆上安装弯曲限制器[3]，并且不同环境荷载下不同柔性管缆的限弯器需要分别设计。

限弯器主体是多节圆筒相互嵌套的周期性结构，当柔性管道或缆与限弯器形成的组合体弯曲至限弯器的锁合半径时[4]，其各节互相接触、锁合而提供更大的弯曲刚度，阻止柔性管道或缆过度弯曲。因此，限弯器的弯曲刚度是其核心设计指标。

限弯器形状复杂，完全独立的几何参数有7个[5]，而限弯器弯曲刚度设计工作涉及公头端部高度、有效节长、母头尾部厚度、材料弹性模量等参数，是一个多参数设计问题。在缺乏有效力学模型时，限弯器设计多依赖经验，导致效率低下。在已有工作中，O'Regan 等[6]首先基于ABAQUS 软件给出了限弯器弯曲分析模型，主要研究螺栓紧固结构对限弯器弯曲强度的影响；Noh 等[7]基于ABAQUS 进行了限弯器与缆的多体接触分析，并对限弯器结构进行了拓扑优化；张聪[8]提出了组合弯曲刚度是限弯器关键力学指标，并给出了基于有限元分析的限弯器等效弯曲刚度计算方法。

为提高限弯器设计效率，需进一步对其等效弯曲刚度开展理论研究与参数影响分析。本文基于欧拉-伯努利梁理论建立了限弯器总体纯弯梁模型，并采用板弯曲理论与Hertz 接触理论建立总体模型中的锁合结构模型，通过简化得出计算限弯器等效弯曲刚度的半经验求解形式，还分析了关键参数对限弯器等效弯曲刚度的影响趋势；然后建立有限元模型验证半经验求解形式与关键参数影响趋势，并在研究参数影响规律时引入高效的正交试验方法。

1 限弯器等效弯曲刚度理论研究

限弯器结构包含如图1 所示的诸多参数。为减少设计变量，考虑到限弯器肩部长度通常与外径保持一定比例关系，本文引入有效节长l，它表示单节限弯器对柔性管缆的有效覆盖长度，分为颈长l1与肩部长度l2，即l=l1+l2；当调节有效节长时只改变颈长以保证与肩部长度相关的外径不变。同时认为限弯器弯曲形变符合小变形、平截面假定，忽略接触区域的摩擦效应，且将材料视为线弹性。

图1 限弯器装配Fig.1 Assembly of bend restrictor

根据上述简化及假设，可以基于欧拉-伯努利梁理论、板弯曲理论与Hertz 接触理论，分别从总体和局部考虑建立限弯器的理论模型，并研究公头端部高度a、有效节长l、母头尾部厚度b三类形状设计参数，以及材料弹性模量E对限弯器等效弯曲刚度的影响。

1.1 限弯器总体纯弯梁模型

限弯器总体由变径圆筒形的子梁结构与锁合结构交替组成，可简化成如图2所示的纯弯梁模型。

图2 限弯器总体纯弯梁模型Fig.2 Global pure bending beam model of bend restrictor

基于欧拉-伯努利梁理论，给出子梁结构纯弯公式如下[9]：

式中，θ1为子梁弯曲转角，M为弯矩，l为有效节长，E为材料弹性模量，I为截面惯性矩。

式中，D为外径，d为内径，则式（1）中的积分可根据形状参数进行计算，简化为

此处引入锁合结构弯曲刚度G，则锁合结构弯曲转角

由式（3）和式（4）可以计算得组合结构的总转角

式中，n为总体中子梁结构数量，再依据梁理论给出限弯器的等效弯曲刚度为

联立式（5）和式（6）可以得到限弯器总体纯弯梁模型为

式中，锁合结构弯曲刚度G将在下一节进行研究。

1.2 局部锁合结构弯曲模型

限弯器局部锁合结构如图3所示。当限弯器锁合时，公头与母头发生接触、传递弯矩。从图中可以看出，公头端部与母头的上半部接触刚度相对较大，其接触变形可忽略不计，故可以假设此处为锁合结构旋转中心，则其转动半径r为公头端部中径；基于此，该过程可简化为两圆环局部接触、弯曲的力学模型。

图3 局部锁合结构Fig.3 Local locking structure restrictor

由几何约束得到锁合结构弯曲转角，即

式中：Δd为形变产生的接触处轴向位移，r为转动半径。当Δd/r较小时可省略高阶量，将式（8）简化为

形变产生的接触处轴向位移由接触形变Δd1、公头端部挠度w1和母头尾部挠度w2三部分组成，即

同时，将公头所受接触力简化为沿公头端部高度a这一径向方程均匀分布的线性荷载q，则

值得注意的是，该荷载在接触面的圆周方向是非连续的。

Hertz接触理论被广泛地用于曲面接触问题计算[10]。忽略掉切向摩擦力并假设接触物体足够大可形成弹性半空间，则引入材料泊松比μ后，限弯器公头端部与母头尾部的接触变形可描述为

环形板弯曲理论可解决公头端部与母头尾部的弯曲问题，其本构方程如式（13）所示[11]：

式中：D为板弯曲刚度[11]，w为挠度，δ为厚度，ρ为径向尺寸，q'为荷载。

局部锁和结构弯曲模型由式（4）和式（9）-（13）组成，但式（13）中含有边界条件不连续的二维重调和方程；下一节将探索其简化形式，以获得形式简单便于工程应用的解。

1.3 等效弯曲刚度的半经验求解形式

当限弯器公头端部及母头尾部的径向尺寸为定值时，根据叠加原理可引入系数k将式（13）线性化；再将母头尾部厚度b与公头端部厚度e代入，得到简化的弯曲模型如式（14）-（15）所示：式中：D1、D2分别为公头端部与母头尾部的弯曲刚度，k1、k2是为了将式（13）线性化而引入的系数，它们分别与公头端部和母头尾部的径向尺寸ρ呈非线性负相关。将式（4）、式（9）-（12）、式（14）-（15）联立得

3.2 测验。测验包括阶段性测验、单元测验或随堂考试等，主要偏重考察学生对历史事实类知识性内容的了解和掌握。考核方式的选择是按照本课程设定的了解、领会、掌握及分析应用等不同教学要求，归置为不同的客观题型，次数不限，考试时间可长可短，授课中或授课告一阶段后，教师都可以进行。测验较之课堂提问覆盖面全且标准客观统一，测验后及时反馈，便利于同学们及时发现自己的问题，强化同学们对基本历史事实的掌握。测验占到平时成绩30%。

进一步将式（16）代入式（7）得到了一种针对模型（14）的解析解，

式中，g为式（3）中颈部截面极惯性矩的倒数，c为式（3）中的定积分常数，l2为肩部长度，H为锁合结构刚度系数，

需要注意，当公头端部及母头尾部的径向尺寸不变时，系数k1、k2即为定值。并且系数k1、k2无法通过理论方法直接获得，可结合有限元方法或试验分析利用式（14）-（15）计算。在获取k1、k2之后，即可通过公式（17）-（18）求解限弯器等效弯曲刚度。

1.4 参数影响规律

通过以上理论研究，可以获得如下参数影响规律：

（1）公头端部高度a是一个公头端部的径向尺寸，式（13）中表示为ρ；由式（13）-（14）可知其与系数k1呈非线性负相关；即公头端部高度a增大时，式（18）中k1减小，从而使H增大，但同时由式（13）可知，a本身增大亦使H减小。综上，由式（17）可知公头端部高度a与等效弯曲刚度呈非线性关系。

（2）由式（17）计算等效弯曲刚度K关于有效节长的导数为

式中，g为颈部截面极惯性矩的倒数，c为式（3）中的常数，H可由式（18）求得，l2为肩部长度。当满足判据式（20），即限弯器为短肩结构时，K'恒为正数，有效节长l与等效弯曲刚度正相关。

（3）由式（17）-（18）可知，母头尾部厚度b和材料弹性模量E与等效弯曲刚度正相关。

2 等效弯曲刚度计算与参数影响分析

本章基于实际的限弯器参数，建立有限元分析模型验证理论研究获得的半经验求解形式和各参数对等效弯曲刚度的影响。在研究上述四类参数影响时引入了正交试验设计方法，以提高效率。

2.1 弯曲刚度计算示例

选择公头端部与母头尾部径向尺寸、材料泊松比相同的两组实际限弯器参数作为算例A 与B，尺寸及材料参数详见表1，算例参数化截面如图4所示。

图4 限弯器算例尺寸Fig.4 Example dimensions of bend restrictor

表1 限弯器结构参数表Tab.1 Parameters of bend restrictor structure

等效弯曲刚度可通过有限元法计算。基于ABAQUS，利用结构对称性对上述算例A与B分别建立参数化的三维模型，并选择悬臂梁纯弯曲加载，对前端施加3 kN·m 的弯矩，对尾端施加完全固定约束，如图5所示。

图5 限弯器相互作用及边界条件设置Fig.5 Interaction of bend restrictor and boundary condition setting

模型共有8个接触对，法向行为选择硬接触算法，切向行为则选择罚函数算法。最后从有限元结果中提取端部转角，并由式（6）计算等效弯曲刚度，结果如表2所示。半经验求解需计算系数k1、k2；算例A 与B 的公头端部与母头尾部径向尺寸相同，因此系数k1、k2也相同。故先基于上文所述有限元方法分析算例A 定弯矩下公头端部挠度w1及母头尾部挠度w2，并根据式（11）、（14）-（15）求得系数k1、k2。最终将表1中各参数代入式（17）-（18）分析算例A与B等效弯曲刚度，结果在表2中给出。

表2 等效弯曲刚度计算结果Tab.2 Calculation results of equivalent bending stiffness

由表2 可知，半经验求解结果与有限元法计算结果的误差小于5%，可有效计算限弯器等效弯曲刚度。且当系数k1、k2已知时，仅需将限弯器参数代入公式即可快速计算其等效弯曲刚度。

2.2 正交试验设计

通常4 因素4 水平的全因素试验，需要进行44次处理，而正交试验设计分析只需要处理42次。故选用正交试验设计[12]方法，分析满足判据式（20）的短肩限弯器；各结构参数水平如表3所示，将参数代入L16（45）正交表[12]，并以有限元分析得到的等效弯曲刚度K作为评价指标进行计算。

表3 限弯器模型主要参数水平Tab.3 Main parameters of the limited bender model

2.3 参数影响程度分析结果

在正交试验的基础上引入指标总和Ji、指标均值ji，以及极差R以判断各个因素对限弯器等效刚度的影响程度。

本试验分析结果于表4给出，四类参数对等效弯曲刚度的影响如图6所示。

图6 四类参数对等效弯曲刚度的影响Fig.6 Influence of four type parameters on equivalent bending stiffness

表4 正交试验法分析结果Tab.4 Analysis results of orthogonal test

对比表4 中各因素极差值发现，材料弹性模量影响最大，其次是有效节长和公头端部高度，母头尾部厚度的影响最小。

如图6 所示，随着公头端部高度增大，等效弯曲刚度呈先增大后减小趋势；当限弯器为满足判据式（20）的短肩结构时有效节长与等效弯曲刚度正相关；母头尾部厚度及材料弹性模量与等效弯曲刚度正相关。有限元分析得到的四参数影响趋势与理论研究吻合。

3 结 论

本文基于欧拉-伯努利梁理论建立了限弯器等效弯曲刚度的总体纯弯梁模型，采用板弯曲理论与Hertz接触理论建立总体模型中的局部锁合结构弯曲模型；并得出简化的限弯器等效弯曲刚度计算半经验求解形式，同时基于模型研究了公头端部高度、有效节长、母头尾部厚度、材料弹性模量四类参数对等效弯曲刚度的影响规律。然后通过有限元分析以及正交试验设计方法进一步验证与分析，获得如下结论：

（1）通过简化限弯器等效弯曲刚度的总体纯弯梁模型，可以得到半经验求解形式；并且半经验求解形式经有限元法验证是有效的。

（2）随着公头端部高度增大，等效弯曲刚度先增大后减小，当限弯器为短肩结构时有效节长与等效弯曲刚度正相关，母头尾部厚度及材料弹性模量与等效弯曲刚度正相关。

（3）通过分析四类参数对限弯器等效弯曲刚度的影响程度，发现其影响主次因素顺序为材料弹性模量、有效节长、公头端部高度、母头尾部厚度。

本文通过引入有效节长概念，将限弯器结构设计简化为四个变量进行研究。事实上，限弯器各部分内径等结构参数，也对等效弯曲刚度有影响。同时，限弯器结构参数在设计时会受到所保护管缆的结构性能的影响，可以在未来进一步研究。