探究高考数列求和问题的解法

许 欣 廖小莲

(湖南人文科技学院数学与金融学院 417000)

数列问题是高中数学中非常典型且常见的一类问题，数列题型形式多样，灵活多变，解法多样，外延性非常强，常常可以跟不等式、函数、方程等问题结合在一起，如果不能灵活掌握解题方法，就会陷入束手无策的局面，因此备受各类考试命题者的青睐.而解决数列问题需要一定的逻辑思维，夯实基础就显得尤为重要，数列问题在全国Ⅰ卷及全国Ⅱ卷以大题形式存在，求解方法却不局限于最常见的公式法，如错位相减法、裂项相消法、分组转换法等方法经常会被用到.本文结合近几年高考真题，探究高考数列求和问题的解法，让学生在解答数列求和问题时游刃有余.

一、直接求和法

直接求和法是将数列用化归法写成等比、等差数列的形式，然后使用等差数列求和公式或等比数列求和公式进行数列求和.

例1 (2020年新高考Ⅰ卷14题)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为____.

于是有ak=cm=c2k-1=3(2k-1)-2=6k-5.

从而{an}的前n项和为Sn=6(1+2+3+…+n)-5n=3n2-2n.

二、错位相减法

错位相减法适用于等比等差数列乘积型数列，在应用过程中应当注意首项是否对应正确，等比数列公比q为一个常数时要讨论是否为1的情况，并且相减后的等比数列部分应当为n-1项，满足这些条件的数列便可用错位相减法求和.

例2 (2020年全国Ⅰ卷理17题第(2)问)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2,a3的等差中项.若a1=1，求数列{nan}的前n项和.

解析令Sn为数列{nan}前n项和，由前可得an=(-2)n-1，进而可得Sn=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.

三、倒序相加法

倒序相加法是：如果一个数列{an}中，与首项末项“等距离”的两项的和相等，那么求这个数列前几项和就可以用这个办法.这个方法是解决数列求和问题的一种经典方法，等差数列的前n项和就是通过倒序相加法推导出来的.

①

②

化简,得Sn=(n+1)2n.

四、裂项相消法

裂项相消法就是把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到数列求和的目的.

五、分组转换法

分组转换法是指可以将数列进行分析后得出它的规律，根据它的规律写出一个适合该数列的通项，再将其进行求和.

例5(2016年全国Ⅱ卷理17题)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1,S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.求数列{bn}的前1000项和.

因此，数列{bn}的前1000项和为1×90+2×900+3×1=1893.

六、数学归纳法

数学归纳法是利用第一归纳法和第二归纳法对要求的数列进行算术计算，按照第一归纳法和第二归纳法的步骤，两步缺一不可，第二步必须归纳总结.

例7 (2019年新高考浙江卷17题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=4,a4=S3，数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

解析(1)设数列的公差为d，由题可得a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d.

解得a1=0,d=2，从而an=2n-2,n∈N*.

所以Sn=n2-n,n∈N*.

由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列,得(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn).

上面我们列举了数列求和问题的六种解法，利用近年高考真题对各种求解方法进行了分析，以便帮助高中学生更好地掌握数列求和的方法.