高考全国卷求离心率的题型及解法归类

李定平

(广东省佛山市顺德区罗定邦中学 528300)

圆锥曲线的离心率问题是高考中的一个难点和热点.因为离心率是刻画圆锥曲线形状的一个基本量，能考查考生对圆锥曲线形状最本质的理解，考查数学抽象、数学建模、数学运算等数学核心素养，灵活多变,综合性强.

一、已知焦点三角形中边角关系

1.已知焦点三角形中的角

2.已知焦点三角形中边的关系

解析1 (几何法)设|BF|=t，则由已知可得|AF|=4t.由双曲线的定义可得|AF′|=2a+4t, |BF′|=2a+t.在△AFF′和△BFF′中,由余弦定理，得(2a+4t)2=(4t)2+(2c)2-2×(4t)×(2c)cos120°，(2a+t)2=(t)2+(2c)2-2×t×(2c)cos60°.即(2a)2- (2c)2=-16at+8ct,(2a)2- (2c)2=-4at-2ct.

故选A.

二、由渐近线求离心率

①

②

三、其它题型

基本思维方法是用坐标法把已知条件化归为a，b，c的关系求离心率.

数学是思维的体操，引导学生如何思考才是提升数学核心素养的根本途径.所以把离心率问题归结为一个思考方向(往哪方面想)，两条路径(如何达到)，三种题型.真可谓“思想方法是王道”.