赏析立体几何中的创新问题

焦玉梅

(山东省德州市庆云县第一中学 253700)

立体几何的常规题型只要掌握常规知识点并加以理解，即可求得相关问题.但对于创新问题不仅要掌握相关知识，还要能够较好地对问题进行深入思考，才能破解试题.

一、学科交叉

点评本题与赤道纬度相互结合，考查了空间相关点的坐标表示，意在对学生的空间想象能力和推理论证能力进行检测.

二、实际应用

例2 如图2，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1上有一个小孔E，点E到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜(CD始终在桌面上)，则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为( ).

解析由题意知，水的体积为4×4×2=32，如图2.

设正方体水槽绕CD倾斜后，水面分别与棱AA1,BB1,CC1,DD1交于点M,N,P,Q,由题意，知PC=3，水的体积为SBCPN·CD=32.

在平面BCC1B1内，过点C1作C1H//NP交BB1于点H，则四边形NPC1H是平行四边形，且NH=PC1=1.

又侧面CDD1C1与桌面所成的角即侧面CDD1C1与水面MNPQ所成的角，即侧面CDD1C1与平面HC1D1所成的角,其平面角为∠HC1C=∠B1HC1.

点评本题以正方形为载体进行考查，解题的关键是建立等式求得BN的值，再将二面角转化到一个直角三角形中即可求解.

三、数列与立体几何交汇

例3斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1,1,2,3,5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．图5为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形作圆锥的侧面，则该圆锥的体积为( ).

解析根据已知可得所求扇形半径为r=3+5=8，即圆锥母线长为l=8.

点评本题主要根据斐波那契数得圆弧的半径为8，然后根据圆锥侧面展开图计算出圆锥的底面半径和高，从而可得体积.

四、数学文化

例4牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高.明代曹昭在《格古要论·珍奇·鬼工毬》中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬”.现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为100πcm2和64πcm2的同心球(球壁的厚度忽略不计)，在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接线段AB.若线段AB不穿过小球内部，则线段AB长度的最大值是( ).

解析因为外球的表面积为100πcm2，内球的表面积为64πcm2，所以外球的半径为5cm，内球的半径为4cm.

点评本题首先根据题意确定外球的半径以及内球的半径，然后以外球表面上一点A、内球表面上一点B以及球心O作截面，根据线段AB不穿过小球内部得出线段AB与内球相切时线段AB的长度最大，最后通过计算即可得出结果.

五、古代建筑与立体几何

A．正四棱锥的底面边长为6米

B．正四棱锥的底面边长为3米

解析如图8，在正四棱锥S-ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，则SH⊥AB.

故选AC.

点评利用已知条件画出图象，设O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，设底面边长为2a，利用线面角的定义得出∠SHO=30°，根据已知条件得到各边的长，进而求出正四棱锥的侧面积即可.

六、命题角度创新

(1)求证：平面AOD⊥平面ABCO；

又OB⊂平面ABCO，所以平面AOD⊥平面ABCO.

所以M是BD的中点.

点评求二面角的正弦值，可分三步，第一步：求出两个平面的法向量；第二步：求出两个法向量夹角的余弦值；第三步：由二面角范围[0，π]知正弦值为正，由余弦值可得正弦值．本题的命题则拐了一个弯，先由二面角的正切值求得余弦值，从而再确定λ的值.