2020年全国Ⅰ卷理科解析几何第20题的剖析与探究

杨伟达

(广东省广州市花都区第二中学 510800)

一、题目再现

(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点.

考点分析试题分为两问，第(1)问注重基础，以向量的数量积为工具，结合椭圆性质求椭圆方程，难度较小；第(2)问考查直线与椭圆位置关系、一元二次方程、韦达定理、直线方程，突出对数学核心素养的考查.从思想方法和数学素养层面看，本题考查了函数与方程、转化与化归、数形结合、逻辑推理及处理复杂表达式的运算求解等.

二、思路探究及解答过程

1.思路探究

(1)尝试用自己的语言表述题目的已知条件、结论、未知量是什么

(2)常见相关类型题目及解题思路

有关直线与圆锥曲线相交问题常见的方法是联立方程组，利用方程组求解.

(3)思维障碍

本题涉及三条直线，与椭圆相交需要联立方程组，消元转化为一元二次方程，方法简单自然，但涉及运算量较大，不少学生渴望而不可求.

(4)思路分析

第(1)问：b=1，由椭圆的性质及向量数量积可列方程求出a的值；第(2)问：设直线AP和直线BP分别与椭圆相交，求出CD的直线方程，从而判断直线CD恒过定点.

2.解答过程

解法1 (联立方程组+韦达定理)

综合比对，求解方法一样，只是将椭圆问题变成圆的问题，图形变得简单，运算量也变小，但是要进行伸缩转换，还原求值，仅供参考.

三、解题后反思

1.不变的通性通法，突显核心素养

首先，全方位考查直线方程.不管是从点到线还是从线到点，离不开直线与椭圆相交,在涉及过点M求直线方程时常常“缺什么设什么”.即缺少斜率，在斜率存在时不妨设斜率为k，所以直线方程为y-y0=k(x-x0).

再次，直线与圆锥曲线的交点问题常常联立方程组转化为一元二次方程、判别式、韦达定理等.这种“独木桥”式的通性通法在高考中屡见不鲜.特别是消元和运算求解方面要求更高.总之，考查学生运算求解素养依然是高中数学重点考查的素养之一，也是高考突显选拔、分层功能的重要体现.

2.变更条件、编写题组

变式2 已知A,B分别为圆E：x2+y2=1与x轴的左、右交点，点P为直线x=m(m>1)上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.证明：直线CD过定点.