浅谈“量变与质变”

范志国

(辽宁省盘锦市盘山县教师进修学校 辽宁 盘锦 124107)

数学史上最早使用“量变引起质变”方法解决数学问题的当属我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的方法计算圆周率，用刘徽自己的原话就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他的思想后来又得到祖冲之的推进和发展，计算圆周率的近似值在世界上很长时间里处于领先地位。

刘徽从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值。用规则图形面积替代非规则图形面积，使不可能变为可能，当量变的积累充分时就能实现，这就是“量变引起质变”，它是数学史上思想和方法的一次伟大飞跃。以后微积分的诞生，即把曲边形的面积微分成矩形面积之和也是运用了“量变引起质变”思想和方法。还有极限、导函数、双曲线的渐近线等都是“量变引起质变”思想方法的体现。在数学教学过程中教师一定要注重培养学生以“量变引起质变”的观点来看问题和解决问题，来提高学生的数学能力和素养。例如小学数学圆面积的推导是把圆分割成两个半圆，再把这两个半圆分割成数目相同的扇形，扇形数目越多越好也就是分割得越细越好，分割得越细，扇形的圆弧越接近直线，再把两组扇形对插在一起，这样就把圆割补成了一个近似的矩形，分割得越细就越接近矩形，分割得越细圆的半径就越接近矩形的高，就可以用直线来代替曲线，这时矩形的长就是圆周长的一半而圆的半径就是矩形的宽，从而得到了圆的面积公式。这就是量变引起质变，用量变引起质变的方法就能把曲线围成图形的面积变为规则图形面积，面积就可求了。教学过程中教师务必把圆割补成矩形展示给学生，或者师生共同操作完成。因为它相对圆面积公式来说更重要，圆面积公式只是一个知识点，而它是一种方法一种思想，有了思想方法就能解决新的更复杂的问题。再例如直线与圆的位置关系中切线与割线的关系就清晰明了了，即割线与圆的两个交点间距离无限缩小为0时，割线变为切线了这就是质变，所以经过圆外一点的直线如果与圆有交点，切点可以看成两个重合的交点，那么这点到两个交点的线段长乘积就是一个定值，定值为切线长的平方，而切线长的平方又等于这点到圆心距离的平方减去半径长的平方。当这点移动到圆内时，这点到两个交点的线段长乘积依然是定值，而这定值随着这点位置的质变也质变为半径长的平方减去这点到圆心距离的平方；两个圆的位置关系是由这两个圆的圆心距离决定的，两个圆的圆心距离发生了质变，两个圆的位置就发生了质变，当两个圆的圆心距离在大于两个半径之差到小于两个半径之和的范围内时，两个圆相交，当两个圆的圆心距离大到两个半径之和时，两个圆外切，再大就外离，当两个圆的圆心距离小到两个半径之差时，两个圆就内切，再小就内含；瞬时速度、加速度这些抽象的概念也就好理解了。如此等等。

量变积累引起的变化能预示结果的趋势和走向。比如有些数列，通过对前几项数值与项数关系的观察就能得到它的通项公式。如果是良性的质变，我们就应促进其质变，比如数学教学中公式、法则的运用就是培养学生严格按照规章制度做事，走入社会就要遵纪守法。我时常对那些随心所欲做题的学生说：“你现在不按公式、法则做题，我给你画X，你将来走入社会不按法律做事，等到公安局的给你画X，你的命就休矣了”：如果是恶性的质变，我们就要防止、阻止其质变，就是防微杜渐，“勿以善小而不为，勿以恶小而为之。”就是防止量变引起质变，以免“积重难返”。伟大的中国共产党的缔造者和领导者——伟大领袖毛主席就十分重视共产党的廉洁成长，时刻防止腐败的滋生，防止越演越烈，以免腐败量变的积累导致亡党亡国，避免历史的周期律重演。在伟大领袖毛主席的领导下中国共产党历史上坚决铲除了各种腐败的滋生，将腐败消灭在萌芽之中，先后处决了谢步升、黄克功、刘青山、张子善等各类腐败分子，保持了中国共产党长期的廉洁性，使中国共产党成为最廉洁，最有号召力，最有战斗力的伟大的光荣的正确的党。

伟大领袖毛主席所著的光辉名篇《论持久战》中深刻地分析了中、日两国的各种因素得出了伟大的真理就是日本必败，中国必胜。取得胜利的战略方针就是全民族全面建立统一战线对日抗战，积各种小胜于大胜，逐渐改变中、日力量的强弱关系，促进中、日力量强弱关系的质变。既批驳了那些看不到量变能引起质变的悲观失望的亡国论者，又批驳了那些不注重量变积累的速胜论者。以后几年的抗战实践充分证明了《论持久战》是伟大的，完全正确的。这就是“量变引起质变”应用在军事上的光辉典范。在数学知识体系的探究、发展、形成过程中诞生了许多数学思想和方法,这些思想方法概括总结为哲学观点用来指导各学科及生产实践，“量变引起质变”就是其中一个重要的哲学观点。