理法交融打通计算快速航道——以“四舍五入法试商、调商”的高阶思维教学为例

江苏省南京市南师附中树人学校附属小学 林红梅

数学课程标准指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。”这一叙述强调了两点：一是培养运算能力要注意引导学生“理解算理，自主发现算法”，二是要注意与通常理解的运算技能概念的区别。

一、借助情境，引导学生理解运算方法中的“微”

孙晓天认为，运算方法是指基于算理，能“合理、简捷”进行的运算途径。教师可引导学生运用学习过的知识迁移解决新出现的问题。如教学“除法运算”时，当除数不是整十数的时候，我们可以把这个数看成接近的整十数。

细节回放：

（一）四舍法试商

师（出示例题）：这本书有96页，小云每天看32页，几天可以看完？

师：你们会列式吗？

生：96÷32。

（板书：96÷32）

师：你能先估一估吗？

生：结果是3。

师：结果是3，我们是估出来的，我们能不能算一算，看我们估的对不对呢？

师：这个跟我们之前学的计算一样吗？哪里不一样？你有什么好办法？

生1：不一样，之前学得除数都是整十数。

生2：我们可以把除数32看成整十数30。

师：为什么看成30？

生：因为32最接近30。（强调：最接近）

师：如果是31，可以看成多少？33、34呢？

生：都可以看成30。

师：像这样，个位上是1、2、3、4的两位数，我们可以用四舍法把个位上的数舍去，看成整十数。

师：商写在哪一位上，为什么？

生1：商写在个位上，因为96里最多有3个30。

生2：小云每天看32页，96页里面有3个32 ，所以商写在个位上，和6对齐。

（板书：3个32）

师：下面3和谁相乘？

生1：3和32相乘，因为小云每天看的页数是32页，不是30页。

生2（指着板书中的竖式）：原来的除数是32，为了便于试商，我们把32看成其最接近的整十数30，所以商3应该和原来的除数32相乘。

出示竖式（如图1）：

图1

（二）五入法试商

师（出示例题）：这本书有192页，小明每天看39页，几天可以看完？尝试先估后算。

师：39可以看成多少？为什么？那36、37、38呢？

生：都可以看成40，因为这些数最接近40。

师：你们真聪明呀，像这样个位上是6、7、8、9的两位数我们可以用五入法把它看成整十数。

师：请同学们回顾这两道题，当除数不是整十数时怎么办？计算过程中还要注意什么？

先估算，再笔算，最后结合情境理解算理，做到理法融合，引导学生掌握科学的算法，在优化算法的学程中，进一步夯实算理内化于心的基础。由此探求算理与算法有机结合，有利于提高学生“以深度思维为核心”的计算能力与计算正确率。

在教学“四舍五入法试商”这一课时，教师注重对“96÷32=”这道算式运算方法的讲解，结合具体的情境，讲清楚怎样进行试商，当选择四舍法试商的时候，教师引导学生借助情境讲清试商后的计算过程：要用商（3）乘原来的除数（32），而不能用3乘30，因为每天看的是32页，而不是30页，如果用3乘30的话，这本书才90页，不符合情境中的“这本书有96页”这一条件。接着，教师继续引导学生进行新方法的尝试“192÷39=”，学生有了“四舍”的经验，很容易联想到“五入”的方法。如此细致入微的引导，学生自然能够理解四舍五入法试商的运算方法。

二、借助生成，引导学生掌握运算原理中的“微”

算法和算理是运算能力的一体两翼，两者相辅相成。孙晓天认为，算理是指关于什么是运算及如何运算的道理，大体上可分为三个递进的层次，即什么是运算、运算的总体规则及具体的运算规则。在数学课堂上引导学生进行思维碰撞，用问题来驱动学生的求知欲望，用多个事例进行对比，寻找问题根源，从而让学生明白解决问题的道理。

细节回放：

师（出示例题）：四年级（1）班有34人，一共借书272本。四年级（1）班平均每人借书多少本？

师：算式怎么列？

生：272÷34。

（板书：272÷34）

师：你能估一估每人借到几本吗？

生：8本或9本。

师：到底商是多少呢？

生1：8本。

生2：9本。

师：在竖式计算过程中，你发现了什么问题？在竖式上圈一圈。

展示学生作品（如图2）：

图2

生：如果每人借9本，34人要借306本，超过272本，说明初商可能偏大。

师：初商偏大，到底什么原因呢？再次观察竖式（圈出除数34和30）

生：除数变小，因为把34看作30，用30来估商，得到初商9，但是真正乘的时候是原来的除数34×9=306，所以偏大。

师：我们再来看看类似的竖式。仔细观察这4道列好的竖式，他们的初商怎么样了？

出示竖式（如图3）：

图3

生：初商偏大了。

师：是什么原因造成的？

生：圈出除数，发现都是用四舍法试商，除数变小了。

在教学“四舍法调商”这一课时，教师注重对“272÷34”这道算式的运算原理进行指导，重点引导学生围绕四舍法试商后，初商会偏大的问题进行思考，借助学生生成“因为把除数34看成了30，除数看小了，所以才会出现初商偏大”的结论，再次借助情境“一班有34人”，不是30人，所以用初商9乘34之后会超过272本，要想解决这一问题，就需要把初商9调小1变成8，再次计算得出正确结果。这一例题完成之后，教师没有停止教学，继续出示了一组题目，引导学生进一步体会“除数看小，初商偏大，需要调小”这一道理。

三、借助习题，引导学生运用运算思维中的“微”

从学科关键能力的含义来看，运算能力涵盖着抽象、推理、建模等基本的数学思想。运算能力的形成对小学生的整体数学能力的培养与提升起到了基石的作用。进一步分析运算能力，继续发掘运算能力背后的思维，我们又可以发现智慧技能在其中的发展。由此，运算能力不单纯是计算技能，还是在运算能力形成、发展过程中，学生思维和数学素养的整体体现。《义务教育数学课程标准（2011年版）》的课程内容安排及苏教版数学教材的编排体系，对运算能力评价采用分段评价及综合评价两种方式。对运算能力评价内容的选取，折射出对运算能力含义的正确理解。因此，运算能力的练习内容绝不能只选取单一的计算式题，而是要选取能反映出学生对算理的理解、算法的选择与创新、运算策略的运用等综合能力的内容。深度学习和高阶思维要出现评价题， 在教学“四舍法调商”这一课时，新课内容教学完毕之后，为了进一步深化“四舍法调商”知识，教师出示了一道练习题（如图4），进行了两次调商得到结果。

图4

正因师生关系的实质转变，提高了融合算理算法教学的实效性。在计算教学中放缓脚步，着力“理法相融，思维高阶”，让学生“慢探究”“慢建构”“慢思考”，通过“慢教学”，使学困生充分经历数学活动，掌握数学结构，品味数学思想，点燃高阶思维火花，从而提高他们的计算能力。当今数学课堂，对数学教师的角色期待与素养要求提出了高标准，由主宰者到引领者、告诉者到让学者、照搬者到研究者、享用者到研究者等，多重角色新定位。

在“四舍法调商”这一课上，当遇到初商偏大时进行一次调商，之后仍然偏大，这时候学生们的思维产生碰撞，顺着课堂的内容继续思考下去，在第二次调商后，寻找到了正确的答案。学生经历了两次调商的矛盾冲突，自然引发了学生的深度思考，真正做到了理法相融。