磁流变弹性体基声子晶体的弹性波可调拓扑传输研究

李潘玉 ， 游世辉 ,2， 李 维 ， 曾宪任 ,3， 张圣东 ,3

(1. 湘潭大学 土木工程与力学学院， 湖南 湘潭 411105； 2. 枣庄学院 机电工程学院， 山东 枣庄 277000；3. 九江学院 机械与材料工程学院， 江西 九江 332005)

量子霍尔效应[1-2]、量子自旋霍尔效应[3-4]和拓扑绝缘体[5-7]的发现为研究者们在凝聚态物理中探索新的拓扑状态打开了新的大门，并刺激了人们寻找类似的拓扑系统。随着超材料的兴起，声学超材料在声波的精确控制[8]、声学拓扑绝缘体[9]、声学拓扑隔离器[10]、拓扑谷传输[11]等方面的探索引起了广大学者的高度关注。这些拓扑边界保护特性不受边界缺陷和材料杂质的影响，形成拓扑边界的一种方法是引入有源分量或外场等打破时间反演对称性[12-14]，或者旋转陀螺仪打破时间反演对称性[15]；另外一种是类比量子自旋霍尔效应实现拓扑边界态[16-17]，Lu等就利用量子谷霍尔效应通过打破空间对称性来实现声波的拓扑谷传输。2015年，Xiao等[18]利用能带反转和拓扑相变，首次在声学系统中引入拓扑概念，构造了结构中心截面镜像对称的圆管状声子晶体，并通过改变结构参数来实现禁带的拓扑性质的变化，发现了在两种不同拓扑性能的声子晶体组合的边界处有界面态的存在；同年，Wang等[19-20]通过打破超材料板的空间反演对称性，实现了对称和反对称兰姆波二重简并能带打开—闭合—再打开的能带反转的拓扑相变过程；2016年，Lu等[21]首次在基于声子晶体研究领域中引入电子系统中的谷态的概念，通过旋转具有C3v对称性的元胞来构建谷自旋，达到实现量子谷自旋霍尔效应类比；同年，陈延峰课题组构造了钢柱—空气声子晶体，找到了Γ点处的偶然双狄拉克点并通过调整钢柱半径实现了能带反转；2017年，Zhang等理论证明了在不加流速背景下通过声子晶体构造声学赝自旋偶极子和四极子，实现了声波的拓扑传输；同年，Vila等[22]设计了二维弹性六角晶格,采用模拟和实验的方法，通过不同节点上引入质量差，成功地打开了位于布里渊区中k点的狄拉克点，并观测到了不同构型的元胞界面处的边界态。

然而传统的声学超材料在结构设计完成后不具有带隙可调的性质，因此无法满足不同工作环境的要求，限制了其应用范围。随着对超材料的研究更加深入，带隙可调的声学超材料成为了研究者们热衷研究方向。Goffaux等[23]通过旋转二维声子晶体中的正方形散射体的角度对带隙的宽度进行调控；Wang等[24]通过调节以为方柱形波导的方柱几何尺寸调节带隙；Peng等通过改变晶格与散射体形状来调节带隙.；Zhou 等[25]提出了多包覆层局域共振单元结构,并讨论了包覆层数量及厚度对带隙的影响。以上方法的局限性在于声学超材料制备完成后无法对带隙实现主动调控，智能材料的引入实现了对声学超材料参数的主动调控。Yeh[26]以电流变弹(electrorheological elastomer)材料作为基体，环氧树脂作为散射体组成二维声子晶体，通过研究发现外加电场对带隙的宽度和位置产生影响；Yang等[27]设计了薄膜声学超材料,用薄膜上电极与另一侧网状电极构成电容器,通过调节电容两端电压改变薄膜的共振频率和相位从而实现声波传输过程中带隙的主动调节；磁流变弹性体(magnetorheological elastomer，MRE)是由柔软弹性基体嵌入磁性颗粒制成的智能材料，具有实时响应、可逆性好和结构简单等优点[28-29]。这种材料能承受大应变和表现出磁弹性效应，如磁致应力、变形和模量的变化。目前，磁流变弹性体已经应用于声子晶体和超材料。Chen等[30]将MRE薄膜覆盖于铝制环上设计了一种磁—声超材料，Xu 等[31]使用MRE 包覆层共振单元实现了三维局域共振声学超材料的设计，两者均可以通过改变外部磁场调节声学超材料的频率带隙；刘少刚等[32]使用MRE设计了单、双包覆层的声学超材料元胞结构,也可通过磁场改变调节带隙以及传输谱特性。Wu等[33]计算了二维环氧树脂中嵌入磁流变弹性体材料声子晶体的能带结构；Xu等[34-36]研究了由磁流变弹性体和方铅柱组成的二维声子晶体中波的能带结构，基于二维声子晶体模型设计了周期排列的磁流变隔振支座，采用有限元法研究了弹性波传输特性和振动能量分布，结果表明通过外加磁场可以调控带隙宽度和频率位置；还研究了在不同变形和外加磁场作用下多孔磁流变弹性体声子晶体的能带结构。Bayat 等[37-38]通过在磁流变弹性体板上设置周期排列的圆柱孔或周期交替的正交椭圆柱孔，构成一种磁场可调的声子晶体板，结果表明外加磁场对带隙宽度和频率位置有显著的影响。

虽然研究者们在声学拓扑绝缘体和声子晶体带隙的主动调控方面都做出了深入的研究并取得了大量的成果，但是在弹性波拓扑通道的非接触式智能调控的研究却比较少。本文在前人研究的基础上，通过用磁流变弹性体作为基体材料，铁质的三脚杆作为散射体，通过构造谷赝自旋态能带反转，在k点必然简并狄拉克点的两条能带间实现了拓扑相变，通过利用拓扑相变导致的拓扑边界态实现了弹性波的精确引导，并可以通过对外加磁场强度的调节完成对拓扑传输通道频率范围的非接触式调控。

1 模型与方法

1.1 声学超材料结构

1.1.1 材料参数

本文使用的硅橡胶密度ρs=800 kg/m3，拉梅常数λ=24.67 MPa，μ=0.772 MPa，磁流变弹性体材料计算采用经典的磁偶极子模型，橡胶和铁粉颗粒密度分别为ρr=1.2×103kg/m3，ρFe=7.89×103kg/m3,泊松比取0.47[39]，外磁场作用下MRE材料剪切模量按照式(1)变化[40-41]。

(1)

表1 三脚杆散射体材料参数表Table 1 Material parameters of tripod scatterer

1.1.2 元胞结构

如图1，定义晶格常数a=1 cm，图1(a)中等边三角形与菱形的边长为l=p×a(参数p用来改变元胞的填充率,文中不说明的情况下默认p=0.25)，通过去除图1(a)中的两个三角形和两个菱形得到图1(b)中的声学超材料元胞结构。散射体为三脚杆，在基体中以六角晶格排列，三脚杆宽度w=0.05 cm，杆长h=0.23×l。

(a)

1.2 有限元法和平面波展开法

有限元法基于集中质量法思想[42]，将连续介质中的质量集中到有限的点或者面上，将无限自由度转化为有限自由度求解。能带结构的计算收敛性不受声子晶体中不同介质弹性常数差的影响，在计算大弹性常数差声子晶体能带结构拥有比平面波展开法等其他方法更高的计算精度和较好的收敛性。本文使用多物理场仿真软件COMSOL Multiphysics对声学超材料的能带结构进行计算以及对拓扑边界态的频域传输现象进行仿真，图2为声子晶体元胞的离散集中质量示意图，引入了547个集中质量，边界上的格点是周期性分布的，以便于周期性边界条件的引入。为了在COMSOL Multiphysics计算元胞能带过程更方便的进行参数化扫描，定义参数k范围为0～3，将0～1定义为覆盖不可约布里渊区M-K边缘的波数；1～2定义为覆盖K-Γ边缘的波数；2～3定义为Γ-M边缘的波数。

平面波展开法利用晶体结构的周期性，将弹性系数和密度等参数按照傅里叶级数展开，结合Bloch定理，将弹性波波动方程在倒矢空间以平面波叠加形式展开，将波动方程转化为求解本征值问题，从而得到能带结构[43]。平面波展开法在计算固/固声子晶体能带结构已经非常成熟，具体求解可以参考文献[44]，本文在2.4节中应用基于MATLAB平台的平面波展开法来计算不同磁场强度下拓扑通道传输频率验证了有限元法计算结果的准确性。

图2 离散集中质量思想示意图(547个集中质量)Fig.2 Discrete concentration mass method diagram(547 concentrated masses)

2 计算结果与讨论

本章2.1～2.3节首先通过对无外加磁场下元胞、超元胞色散关系以及其构成的拓扑边界态的研究，证实了设计结构中弹性波拓扑传输通道的存在性，接着在2.4节中研究了通过外加磁场来改变声子晶体基体材料—磁流变弹性体的剪切模量来实现弹性波拓扑传输频率范围的非接触式主动调控；在2.5节中研究了对于弹性波拓扑传输的其他被动调控的方式。

2.1 元胞色散关系与能带反转

通过有限元法计算图1元胞的色散关系如图3，图中圆圈标记的点为受元胞结构和晶格对称性保护的K点必然简并狄拉克点。通过旋转元胞中单个散射体三脚杆以一定的角度α(文中没有特别说明的情况下α=25°)，打破元胞的镜像对称性，获得分离不同拓扑相的可控带隙，狄拉克点打开并在第8、第9条能带之间形成禁带。通过以两种相反的方式打破元胞的空间对称性如图4，并计算其色散关系如图5、图6，绘制出两种不同破坏对称性方式形成的禁带上下边界位移场与受力(图7)，图7(a)为图4(a)破坏方式形成禁带的上边界对应的位移场与受力，可以看到旋涡具有顺时针的手性；图7(b)为图4(a)破坏方式形成禁带的下边界对应的位移场与受力，旋涡具有逆时针的手性。图7(c)、图7(d)分别对应图4(b)破坏方式形成禁带的上下边界位移场与受力，其上边界旋涡具有逆时针的手性，而下边界具有顺时针手性；可以判断从k点简并狄拉克点从打开—闭合—打开，第8、9能带之间发生了能带反转。为了进一步证明8、9能带之间发生了能带反转，参照文献[45]引入了非零谷陈数的观点。通过k·p微扰法，可以得到有效哈密顿量

(2)

(3)

那么，可以通过积分布里渊半区的局部Berry曲率来计算能带的拓扑电荷

(4)

图3 声学超材料元胞能带图Fig.3 Band diagram of acoustic metamaterial cell

(a) 左三脚杆逆时针旋转α

图5 图4(a)元胞对应的能带图Fig.5 Band diagram corresponding to the unit cell of Fig.4(a)

图6 图4(b)元胞对应的能带图Fig.6 Band diagram corresponding to the unit cell of Fig.4(b)

2.2 超元胞拓扑边界态确定

定义图4(a)为P型元胞，图4(b)为Q型元胞，在COMSOL软件中分别研究如图8的两种类型的超元胞，在固体力学模块下将超元胞模型的上边界与下边界设置为周期性边界条件，其他边界设置为自由边界进行模拟计算。基于2.1节的能带反转导致的拓扑边界态，通过绘制两种类型的超元胞能带图，发现在P×5+Q×5型杂化超元胞频率为2 223 Hz与2 345.4 Hz处(图10中实线线框标记)出现了拓扑边界态，而这种边界态在P×10型超元胞能带图(图9)中是没有出现的。由边界态对应的位移场图与能流图(图11)可以看出，在两种不同的元胞结合的边界处发生明显的响应，而其他位置的响应被抑制，且高频处的旋涡与低频处的方向相反，进一步证明在两种不同类型元胞的交界处存在拓扑边界态。

P×10型超胞

P×5+Q×5型超胞

图9 P×10型超元胞能带图Fig.9 Supercell band diagram of P×10

图10 P×5+Q×5型超元胞能带图Fig.10 Supercell band diagram of P×5+Q×5

2.3 弹性波的拓扑通道传输

利用拓扑边界态设计如图12(a)的直线型弹性波拓扑传输通道，在通道的一端用线激励激发频率响应，通道另外一端设置检测端口，通过在COMSOL中进行频域仿真计算，发现在拓扑边界的频率范围内，弹性波在设计的拓扑通道内无散射定向的传播，通过计算透射谱(图12(b))，得出弹性波在拓扑边界态范围内的传输损失比较小，这也证明了拓扑边界态通道对背散射基本抑制的定向传播。为了进一步说明拓扑通道的传输特性，设计如图13(a)的Z型通道，在通道一端设置线性激励，通过频域仿真与透射谱计算，可以发现边界态范围内的弹性波可以很好的绕过转角，沿着Z通道继续向前传播，而且透射率(图13(b))基本没有受到转角的影响。图14为两种不同路径下弹性波传输位移图，通过在Z通道中间位置设置频率为拓扑边界对应的频率值激励得到图14(c)与14(d)对应的位移场分布情况，表明了基于拓扑边界的弹性波拓扑通道的单向传播特性。

图11 拓扑边界态位移场与受力图Fig.11 Displacement field and force diagram of topologicalboundary state

(a) 直线型弹性波拓扑通道模型

(a) Z型弹性波拓扑通道模型

(a) 直线通道弹性波传输位移图

(c) Z型通道弹性波传输位移图

为了说明拓扑边界态对于缺陷的免疫特性，分别在直线通道和Z型通道中引入缺陷(如图15)，然后再次对通道在拓扑边界态范围内的频率传输进行仿真计算，由绘制的位移图与透射谱(图16)可以发现，即使通道存在物理缺陷，但是对于弹性波的传输几乎没有影响，由此可以证明拓扑传输通道对于缺陷具有免疫性。

(a) 引入缺陷直线拓扑通道透射谱

2.4 拓扑通道传输频率范围的非接触式主动调控

通过改变外加磁场强度的大小对磁流变弹性体基体的剪切模量进行调控，以达到对于拓扑通道传输频率范围的非接触式智能调控。通过用有限元法和平面波展开法计算0～800 A/m磁场强度下拓扑通道传输频率，两种方法计算结果(图17)基本一致，误差在20 Hz以内。由计算结果发现随着磁场强度的增加，磁流变弹性体基体的剪切模量增加，拓扑通道的上下边界频率均向高频移动，禁带宽度也随着磁场强度的增加而变宽(图18)，通过这种变化关系可以对弹性波拓扑传输状态进行智能调控。为了进一步证实磁场强度对于拓扑通道传输频率的主动控制性，通过计算直线型拓扑通道与Z型拓扑通道在不同磁场强度下的透射谱(图19、20)，发现拓扑通道传输频率对应的部分随着磁场强度的增加向高频移动，传输频率范围也随着磁场强度增加而增加。

图17 磁场强度与拓扑通道传输起止频率关系

图18 磁场强度与拓扑通道传输频率范围关系

图19 不同磁场下直线型拓扑通道弹性波传输透射谱

图20 不同磁场下Z型拓扑通道弹性波传输透射谱

2.5 拓扑通道传输频率范围的被动调控

通过COMSOL研究了三脚杆旋转角度、三脚杆材料密度、填充率等对拓扑通道传输频率的影响，可以为给定传输频率范围拓扑声子晶体的结构设计提供参考。

2.5.1 三脚杆旋转角度对拓扑通道传输频率的影响

通过计算三脚杆旋转转角从0°～60°的能带图并绘制拓扑通道上下边界的频率变化图如图21，发现随着转角的增大，带隙上边界向高频移动，带隙下边界朝低频移动，禁带的宽度也随着转角的增大而增大；但当转角超过26°以后，带隙上边界频率开始朝低频移动，禁带宽度也随之变窄。

图21 三脚杆旋转角度与拓扑通道传输起止频率的关系

2.5.2 三脚杆材料密度对拓扑通道传输频率的影响

改变三脚杆散射体的密度也会对形成的拓扑通道传输频率范围产生影响。将三脚杆的材料分别设置为表1中的材料，其他参数不作改变。计算不同材料作为散射体时元胞的色散关系并绘制拓扑通道起止频率随密度的变化关系图，可见随着三脚杆材料密度的增加，拓扑通道传输频率范围整体向低频移动，且带隙下边界的下降趋势大于上边界，带隙宽度增加。

图22 三脚杆材料密度与拓扑通道传输起止频率的关系

2.5.3 填充率拓扑通道传输频率的影响

先保持参数p=0.25不变的情况下通过改变三脚杆的宽度增加填充率，计算色散关系并绘制禁带上下边界与三脚杆宽度的变化关系如图23，可以看出随着三脚杆的宽度增加，填充率变大，禁带起止频率朝高频移动，禁带宽度也随着增加，当填充率达到0.1(w=0.093 cm)以后，禁带宽度随着填充率增加而减小。然后保持w=0.05 cm不变，通过改变参数p的大小改变填充率，计算色散关系并绘制禁带起止频率与参数p之间的关系图(图24)，可以看出，随着p增加，填充率增加，禁带起止频率整体朝高频移动，禁带宽度增加，当填充率达到0.1(p=0.28)以后，禁带宽度开始随着填充率的增加而减小，与改变w得出结论一致。

图23 三脚杆宽度与拓扑通道传输起止频率的关系

3 结 论

(1) 设计了一种以磁流变弹性体作为基体，铁质三脚杆为散射体的声学超材料元胞结构，通过旋转单个三脚杆的角度，打破了其空间对称性，模拟了量子谷霍尔效应，使k点简并的狄拉克点完成了打开—闭合—打开的过程，实现了不同谷赝自旋之间的能带反转，从而发生拓扑相变，并通过引入非零谷陈数的观点验证了k点简并打开并产生了谷赝自旋态。

图24 参数p与拓扑通道传输起止频率的关系

(2) 利用拓扑边态设计了直线型和Z型弹性波拓扑传输通道，通过仿真计算证明了拓扑通道对弹性波传播的背散射基本抑制和对缺陷免疫的传输特性，实现了对弹性波的精确引导；可以根据实际需要设计不同的弹性波传输路径，使弹性波绕过受保护的对象，也可以使弹性波高效传输至指定目标,在降噪及减振方面有着广阔的应用前景。

(3) 可以通过改变外加磁场强度大小来改变磁流变基体材料的剪切模量以达到对拓扑通道的传输频率范围进行非接触式主动调控。磁场强度增大，可传输频率范围朝高频移动，并且可传输频率范围随着磁场强度的增大而增加，可以适应复杂环境下的多种噪声及振动的控制要求。

(4) 通过研究三脚杆的旋转角度，材料密度以及填充率与拓扑通道传输频率范围之间的关系，可以为弹性波拓扑通道传输频率的被动调控提供相应的参考。