桥梁结构优化的评价指标

冯 阅，罗立胜，布鲁诺·布里斯杰拉

（1.海南大学土木建筑工程学院，海南 海口 570228；2.福州大学土木工程学院，福建 福州 350000）

结构优化是工程结构研究方面求出最优方案的一种设计方法，其目的就是在于寻求既安全又经济的结构形式.伴随着计算机技术的巨大进步，结构优化技术与商用结构分析软件的结合已在实际工程中得到了广泛的应用，并在过去的几十年中这种方法已被结构设计师作为一种重要的工具，同时它也迅速成为结构设计过程的一个组成部分［1］.结构优化一般可以分为尺寸优化、形状优化和拓扑优化三个层次［2］.尺寸优化是以结构设计参数为优化对象（如板厚、梁高等），它是在结构类型、材料、布局和轮廓形状一定的情况下，对各个组成构件的截面尺寸进行优化［3］；形状优化则是以结构外形或者孔洞形状为优化对象，然后对其结构的边界曲线或内部的几何形状进行优化；而拓扑优化则是以材料分布为优化对象，并在设计空间内寻找材料分布的最佳方案［4］.在优化过程中，尺寸优化和形状优化要求结构的连接方式保持不变，而拓扑优化则允许结构产生新的孔洞和连接，并且可彻底改变其构型［5］.

当结构优化技术被应用到桥梁工程中时，通过尺寸优化技术，可以对桥面板的厚度、主梁截面高度、梁肋厚度、拉索的截面面积以及墩台基础的截面尺寸等进行优化，在刚度约束下最小化结构体积，从而减轻结构自重和节约工程材料；通过形状优化和拓扑优化，可以对桥梁结构形态、桁架的形式、桥塔的截面形状、拉索的布置、箱梁底板挖空的大小和位置等进行优化，在给定的空间范围内进行桥梁整体或构件的找型，从而得到受力合理和造型又有启发性的结构形式［6］.然而，在优化过程中，设定不同的初始条件和改变体积约束等会得到不同的优化结果，这些结果都是当前约束条件下的最优设计.如在体积约束下最大化刚度的拓扑优化中，设定的体积约束，即挖空率（Volume Reduction）不同，优化程序都能给出剩余体积内材料的最佳分布，使得结构刚度最大.随着设定的体积挖空率不断增大，结构的刚度可能不断变小，应力和变形也逐渐增大，达到规范规定或材料的极限.从节省材料的角度考虑，设计师希望体积越小越好；而站在结构受力性能的角度，如满足抗震设计、减少内部应力、使应力分布更均匀等，挖空率太大并不有利，所以如何在节省材料和结构受力之间找到一个最优的平衡点，这对设计师来说是一个考验.以往最终的选择很大程度上依赖设计师的判断，没有一个量化的指标.为解决这一问题，本文提出一个寻找桥梁结构优化中最优设计的评价指标（GOI），通过所建立的数学公式，对每个优化结果进行计算，给出具体的指标值，这为设计师找出最优设计提供了一个直观有效的方法［7］.另外，由于结构优化在实际桥梁结构中的应用实例并不多见，因此本文介绍了几个优化的例子，这些例子在验证优化指标有效性的同时，也为设计师进行桥梁结构优化设计提供了参考.

1评价指标

桥梁结构受力性能一般是通过应力和位移来反映，因此，评价指标首先是将优化后的应力和位移与优化前的应力和位移进行对比，将应力指数RI（σ）和变形指数RI（d）作为结构受力的量化值，RI（σ）和RI（d）分别代表了桥梁的应力变化和位移变化，它们是以百分数来表示的：

其中，i是不同体积约束下的优化结果；σ0和σi是优化前后桥梁结构的最大应力或平均应力值；d 0和d i是优化前后桥梁的最大位移值.

体积挖空率（VR）作为材料节省率的量化值，需要将其与结构受力联系起来.鉴于应力和位移随着VR的增加而增加，因此将应力指数和变形指数都除以VR，以此来反映两者随VR的增加速率.考虑到增加速率越大，则受力性能下降越明显，因此用1减去增加速率，以此来构造应力和位移水平的优化指标OI（i）.

实际设计时决策者可能有所偏好，比如偏向结构受力性能更好，或者希望更多地节省材料，因而引入了体积惩罚因子β.惩罚因子一般在0～3之间取值，其对优化指标值的影响示于图1.从图1中可以看出，系数1/(VR)β随体积增大呈曲线下降，β越大，下降段越趋平缓.与β=1比较，当β取值小于1时，下降段的值整体提升；当β取值大于1时，下降段的值整体降低并趋于水平；而当β=2时，曲线趋近于0.当β=1时，优化指标项VR∙1/(VR)β是其值为1的水平线；当β取值小于1时，VR越大，该指标项的值也越大；β=0.5时，其值呈指数增长.因此，惩罚因子介于0和1之间时，表示倾向于更高的材料节省率；而值大于1时，则表示倾向于更好的受力性能.

图1 惩罚因子对优化指标值的影响

综合考虑应力和位移指标，赋予两者相同的权重，取平均值并对数据进行标准化处理，得到最终的评价指标（GOI）：

2钢拱桥尺寸优化

威尼斯宪法桥是一座钢拱人行桥，它是由建筑师主导的，建筑师为了追求建筑造型而致使其结构不尽合理，因此存在争议［7］.该桥采用了开口星形截面，刚度不足，在非对称荷载下它可能产生较大的变形；此外，1/16的矢跨比亦会使其产生巨大的水平推力，从而导致基础位移［8］.为了改善其结构的受力性能，在此建立了参数化有限元模型（图2），在桥梁截面的两底拱中引入了预应力钢索（钢索直径为60 mm），并施加从5×10-4到15×10-4的不同初始应变；同时，采用尺寸优化技术，从初始点出发，以目标函数和约束函数的导数信息（即灵敏度分析）为基础构造搜索算法，并利用导数信息确定搜索方向和步长，以获得新的设计点，如此反复，直至收敛.

图2 威尼斯宪法桥的有限元模型

本实例以全桥钢结构总体积为目标函数，以截面构件尺寸为设计变量，以桥梁最大应力（欧洲规范S355钢，屈服应力355 MPa）和最大竖向位移（跨径80.8 m，取千分之一跨径81 mm）为约束，进行尺寸优化，并将优化结果列于表1中.当初始应变为8×10-4时，总体积最小，材料节省率为36%，但是位移达到极限；初始应变为10×10-4时，总体积减小23%，应力达到极限.采用上述评价指标，根据最大应力、最大位移和VR值，将其代入公式（3），可分别得到应力和位移指标值，通过取两者的平均值，即可得到不同初始应变下的优化指标值（GOI），从而可最终确定初始应变（10×10-4）的最优结果.

表1 尺寸的优化结果

图3 不同初始应变的优化指标值

3混凝土壳人行桥的拓扑优化

在设计混凝土壳人行桥时，壳结构通常会被设计成面积最小的鞍形以承受双向压力，从而使其能充分利用混凝土的良好抗压强度来防止结构开裂［9］.然而，在找形过程中，由于壳的厚度、二阶位移和弯曲刚度等多种原因，本不希望的弯矩和相应的拉应力在壳体中会不可避免地出现［10］；因此，为了进一步消除壳体中的不良弯矩和拉伸应力，从找形得到的一座混凝土壳人行桥出发，建立了ANSYS参数化模型（图4），并进行拓扑优化.考虑到加强壳体的自由边可以减少壳体找形中出现的不良应力，故在原有有限元模型的基础上，每个壳体定义了三个不同的模型.

图4 混凝土壳人行桥有限元模型

模型I：对整个壳体进行拓扑优化；

模型II：对壳体边缘0.20 m宽的壳体不进行拓扑；

模型III：对壳体边缘0.20 m宽的壳体不进行拓扑，同时采用加筋梁单元对其进行加筋.

给定不同的体积挖空率，即5%、10%、20%和30%，以最小化壳体的柔度为目标函数，对壳体的形状进行拓扑.本实例是采用SIMP材料模型（带惩罚因子的各向固体同性微结构材料插值模型）来进行拓扑优化，同时假定宏观结构设计域的每一点是由微结构材料构成，并引入一种假想的相对密度在0～1之间的可变材料，将结构拓扑优化问题转化为材料的最优分布问题来进行求解.通过识别低伪密度的壳体区域来去除这些区域的材料，以此来更新壳的几何形状，并对拓扑前后模型的静力性能进行对比.随着VR的增加，拓扑给出了不同的形状（如图5）.从图5中可以看出，荷载传递路径是沿着壳体边缘从壳体的支撑点传到基础的，因此远离壳体自由边的内部区域被逐渐挖空，挖空区域沿着桥梁中线逐渐延伸和扩展，当VR达到30%时，这些区域趋向于彼此合并，并把壳体分割成两部分；同时，壳体的拉应力逐渐消失，压应力相应增大，位移也有所增加.

图5 混凝土壳人行桥不同VR的应力云图

为了确定最优设计，采用评价指标，绘制了不同VR下三个模型随β值变化的优化指标值，如图6所示，模型III的优化指标值总是比模型I和II的优化指标值高，这说明加强壳体的自由边对壳体受力性能有明显的改善.当β=1时，模型III中VR（30%）的优化指标值最大，逐渐增大β值，意味着倾向于更好的受力性能；当β=3时，VR（20%）的优化指标值最大.综合考虑，VR=20%的方案更优，其优化指标值在不考虑β时比VR=30%的方案的优化指标值稍小，但在倾向于更好的结构受力性能时，其值最大.另外，VR=20%的方案不像VR=30%的方案那样将壳体分割成两部分，而是维持了壳体的完整性，模型III体积挖空率为20%的效果示于图7.

图6 不同VR下三个模型随β值变化的优化指标值

图7 模型III体积挖空率为20%的效果图

4组合梁桥的拓扑优化意大利皮亚韦桥是一座全长500 m的多跨梁桥，共5跨，每跨跨径100 m.该桥原设计是采用钢筋混凝土结构，在大部分的基础和桥台已施工后，因建造经费问题而一度停工，待其再建时却发现已施工的基础难以满足新的抗震设计规范要求［11］.因此，为保留已建成的下部结构，只有减轻桥梁的上部结构重量［12］.新的设计是用钢箱梁代替钢筋混凝土结构，并通过拓扑优化技术，将钢箱梁的翼缘部分进行挖空，这样就在保证桥梁承载力与刚度的同时降低了上部结构的自重.

采用有限元软件ANSYS，建立参数化模型，同样采用SIMP方法，以结构柔度为目标函数，在体积约束下最大化结构的刚度.给定不同的VR，从15%逐渐增加到90%，对钢箱梁的翼缘部分进行拓扑.在优化过程中，随着VR的增加，呈现出不同的优化结果（如图8），从初始的两个小椭圆孔洞逐渐扩大至一个大椭圆孔洞，与此同时，结构的应力水平不断增大，包括最大应力和平均应力，挠度也在增加.

图8 意大利皮亚韦桥不同VR下的应力云图

为了确定最优设计，采用评价指标，以获取桥梁最大应力、跨中最大位移和VR值，将其代入公式（3），可分别得到应力和位移指标值，通过取两者的平均值而绘制了不同VR下优化方案随β值变化的最终指标值（GOI），如图9所示.该方案将单个孔洞和双孔洞分开考虑，实线为双孔洞方案，虚线为单孔洞方案，从中可以发现，当β值不大于1时，双孔洞方案中VR=40%的优化指标值是最高的；当β值大于1时，双孔洞方案中VR=0的优化指标值是最高的.由于优化的目的是减轻上部结构自重，因此最终选择了VR=40%的双孔洞方案，所建成的实桥图片如图10所示.

图9 不同VR下优化方案随β值变化的优化指标值

图10 建成的实桥图片

5结语

结构优化在桥梁工程中的应用大多处于探讨阶段，应用实例不多，关于在多个优化结果中寻找最优设计的实例也并不多见，真正涉及到这类问题的应用实例仅有两个典型的例子，即谢亿民与澳大利亚BKK建筑事务所合作设计的“中空壳管人行桥”［13-15］，以及Zordan等［16］对意大利一座组合梁桥所进行的优化设计.基于作者的认知，目前并没有看到与评价指标相关的研究成果被发表.然而，随着结构优化技术在桥梁工程中应用的推进，这类问题会逐渐增多起来，并会成为设计师经常要面对的一个难题.本项目提出的优化指标是通过建立数学公式，对不同的优化方案给出具体的量化值，这为设计师找出最优设计提供了一个直观有效的方法.所给出的三个优化实例，在将其用于验证指标有效性的同时，也为我国桥梁工程师在进行优化设计时提供了参考.