挖掘学科本质 发展学生素养——“平行四边形的面积”教学纪实与评析

执教者 哈尔滨市群力实验小学 蒋 莹

评析者 哈尔滨市道里区教师进修学校 栾 燕

教学内容：人教版数学五年级上册第六单元第一课时86-88页。

教学目标：

1.探究并掌握平行四边形面积的计算方法，能正确计算出平行四边形的面积，运用公式解决简单的实际问题。

2.经历观察、猜测、分析、操作、概括、推导等数学活动。渗透转化的数学思想，发展学生的空间观念。

3.在探究的过程中，学生获得积极的情感体验。培养探究精神，激发学习的兴趣，感受到数学与生活的密切联系。

教学重点：平行四边形面积计算公式的推导，能准确地计算出平行四边形的面积。

教学难点：理解平行四边形面积计算公式的推导过程。

准备：平行四边形的纸板，可拉动的平行四边形木框，课件。

准备：平行四边形卡片若干，透明的方格板，格尺，剪刀。

教学流程：

一、沟通联系，复习导入

1.观察情景图，回顾旧知

师：同学们，这是一幅学校门前的平面图，请仔细观察，你发现了哪些平面图形？

生：斑马线是长方形，指示牌是三角形，屋顶是梯形。

师：其实我们生活的空间就是一个图形的世界，看到这么多图形，你会计算哪些图形的面积呢？

生：长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。

2.引出内容，板书课题

师：同学们，这块草坪是什么形状？

生：平行四边形。

师：它的面积怎么求呢？这就是我们今天要研究的内容。

二、动手操作，探究发现

1.大胆猜测

师：同学们，请你们大胆地猜一猜，平行四边形的面积可能怎么求？

生：邻边相乘。

师：你的意思是这条边乘这条边吗？那就是邻边相乘，你又是怎么想的？

生：我们已经学过求长方形的面积的计算方法，是长×宽即邻边相乘，由此我估计平行四边形的面积可以用邻边相乘。

师：你说的也有道理，还有不同的想法吗？

生：底×高。

师：你是怎么想的？

生：我是把这个平行四边形转化成长方形，再根据求长方形面积的公式，得出了平行四边形面积的计算方法。

师：你是依据长方形的面积求法来猜的。还有别的想法吗？

生：数格子。

师：这是研究长方形面积时我们用过的的方法。

2.引发质疑

师：大家提出了不同的方法，接下来就按你们所想的，在这张平行四边形的卡片上，找到你所需要的条件，求出它的面积。（学生活动。）

师：谁来汇报一下结果？

生：底×高，6×4=24平方厘米。

师：他用底×高来计算的，还有其他的方法吗？

生：邻边相乘，6×5=30平方厘米。

师：他算出的是30平方厘米，还有不同的方法吗？

生：数格子。我先一个一个的数出整格有18个，像这样两个不满一格可以拼成一个整格，一共有6个整格，所以是24个格子就是24平方厘米。

师：你们数出的也是24个格子吗？我们一起来看，刚刚这位同学，先数出了共有18个整格，然后利用平移把像这样2个不满一格的正好拼成一整格。在格子图中，像这样所有不足一格的都能找到另外一部分和它拼成一个整格。

师：所以在数格子时，1个格子代表1平方厘米，不满一个格的都可以按半格计算，谁愿意按这种方法再来数一数？

生：我先数出整格有18个，再数半格有12个就能拼成6个整格，所以是24个格子就是24平方厘米。

师：同学们用数方格的方法能够准确数出平行四边形的面积，就是24平方厘米。用底×高计算的结果和它是一样的。是巧合，还是蕴含着一定的道理？小组同学运用你手中的学具，想一想，可以用什么方法来验证平行四边形的面积要用底×高计算。

3.实践推理

师：谁愿意来汇报你的想法。

生：我准备沿着平行四边形的这条高剪开，这时就会把平行四边形分成三角形和梯形，然后把这个三角形平移到梯形的右侧，拼成了长方形，这时我们就可以求出它的面积了。

师：你是这么想的，还有别的想法吗？

生：我想沿中间的高剪开的，把这个平行四边形分成了两个直角梯形，再将它们平移，转化成长方形，长方形的面积我们已经学过，从而就求出了平行四边形的面积。

师：这名同学的想法非常好，接下来就按照同学们的想法，画一画、剪一剪、折一折，开展探究吧！（学生汇报。）

生：我是这样操作的，先沿着平行四边形的这条高剪开，得到了一个直角三角形和一个直角梯形，然后将这个直角三角形向右侧进行平移，直到变成一个长方形为止。这时大家会发现平行四边形的底就是长方形的长，平行四边形的高就是长方形的宽，并且平行四边形的面积与长方形的面积相等。因为我们已知长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

师：这组同学是从顶点做高，剪下来的是个直角三角形，移过去拼成了长方形。有和他一样的吗？还有其他剪法吗？

生：我是沿中间的高剪开的。把平行四边形分成两个梯形，再拼成一个长方形，长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高，长方形的面积就是平行四边形的面积，因为长方形的面积等于长×宽，所以平行四边形的面积就等于底×高。

师：这个小组的几名同学是沿着中间的一条高剪开，把这两个直角梯形，拼成了一个长方形。

师：刚才同学们无论是从顶点剪，还是从中间剪，都是沿高剪开。我们知道平行四边形有无数条高，就有无数种剪拼的方法，但是所有的方法，都是把平行四边形转化成长方形。

师：刚刚我们把这个平行四边形转化成长方形的时候，什么变了？什么没变？

生：形状、周长变了，底、高、面积没变。

4.运用转化

师：我们看转化后长方形的长和宽，相当于平行四边形的底和高，并且长方形的面积和平行四边形的面积是相等的，因为长方形面积的求法是用长乘宽，所以求平行四边形的面积就用底乘高。（课件演示。）

师：下面同桌之间互相再把这个过程完整地说一说。

师：谁愿意把这个转化过程，再给大家讲一讲。（学生展示。）

生：我先沿着这个平行四边形的一条高剪开，这时得到了一个直角三角形和一个直角梯形，然后我把这个直角三角形向右侧一点一点地平移，直到拼成了一个长方形为止。转化后这个长方形的长就相当于平行四边形的底，这个长方形的宽相当于平行四边形的高，并且拼成的长方形的面积和原来平行四边形的面积是相等的。因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

师：如果我们用字母“S”表示平行四边形的面积，用字母“a”表示平行四边形的底，用字母“h”表示平行四边形的高，那么平行四边形面积公式用字母表示可以写成S=ah。

5.分析错因

师：通过大家的分析、推理，我们探究出了平行四边形的面积可以用底乘高来计算。

师：同学们还记得吗？课前有同学猜测用邻边相乘来求平行四边形的面积，通过我们研究，这种方法是错的。那么问题出在哪里了？邻边相乘的得到的又是什么呢？下面小组同学交流交流。（学生汇报。）

生：因为斜边不是高所以用邻边相乘求不出平行四边形的面积。

师：非常好，你能看着图形在头脑中想象出斜边和高的关系。

师：我们来看这个平行四边形的框架，同学们注意观察，什么变了？什么没变？（教师拉动平行四边形木框）发现了吗？我们再来看一遍！什么发生了变化，而什么没变？

生：形状变了。

师：这位同学发现了形状的变化！还有吗？

生：高变了。

师：高是怎么变的呢？

生：高变长了。

师：同意吗？什么也发生了变化？

生：面积也发生了变化，变大了。

师：那什么没有发生变化呢？

生：周长没变。

师：你的意思是它的每条边的长度都没变。

师：那么邻边相乘得到的是什么呢？

生：这里的邻边相乘其实就是长方形的长乘宽，得到的是长方形的面积。

师：是的，经过拉动这个平行四边形的框架，把它变成了长方形，邻边相乘其实求出的是这个长方形的面积，它的面积要比之前平行四边形的面积要大。

师：因此邻边相乘，不是计算平行四边形的面积的方法。我们把错误方法擦掉。

6.回顾总结

师：回顾我们刚才的研究过程，同学们首先提出自己的想法，然后不断地思考、实践、探究、验证最终获得正确的结论。研究出怎样求平行四边形的面积。同学们在探究的过程中，运用到了转化的思想。大家这种大胆质疑、勇于探索的学习品质让老师佩服。接下来就让我们用学到的知识来解决问题。

三、运用新知，理解内化

1.利用平行四边形的面积公式求出草坪面积。

2.算出下面每个平行四边形的面积。（列式不计算。）

师：这节课同学们利用转化的思想研究出平行四边形面积的计算方法，在以后的学习中我们还会用这种思想解决更多的问题。

评析：

本节课教师抓住数学的本质，挖掘隐藏在教学内容背后的数学思想方法，驱动学生进行数学思考，让学生感受数学的神奇和美好。注重对学生核心素养的培养，尤其是转化的思想，将未知转化成已经学习过的知识来研究平行四边形的面积，为今后探究其他图形的面积计算做铺垫。

1.着力于学科本质的理解，注重知识间的相互勾连

《数学课程标准（2011版）》提出，数学教学重要的是让学生在学习过程中，掌握相应的数学思想和方法，培养他们能够用数学的眼光看待世界。所以在教学中我们要把握数学本质，融入数学思想，突出数学思考，在“增知识”“长见识”“悟道理”的过程中，逐步发展学生的数学核心素养。

本节课，蒋老师充分尊重学生的知识储备，从而准确定位本节课的教学目标：利用转化的思想进行迁移类推，让学生经历“猜测—质疑—验证—分析”的探究过程。

全课蒋老师利用三个环节来渗透转化思想：

第一个环节：数小方格，感知转化。借助面积是1cm2的小正方形方格板数出平行四边形的面积。让学生感受到了平行四边形的面积可以转化成多个1cm2的小正方形，从而得出平行四边形的面积。

第二个环节：剪、拼操作，运用转化。在研究平行四边形的面积时，引导学生沿着平行四边形的任意一条高剪开，拼成面积相等的长方形，因此，学生推导出了求平行四边形面积的计算方法。通过这个活动，学生体会到了转化就是将未知变成已知，转化思想在学生学习数学的过程中应用十分广泛。

第三个环节：公式推导，还原转化。在上个环节中，学生已经得出了平行四边形面积公式，但是学生的认知是停留在直观层面上的。将平行四边形转化成长方形后，它们的面积不变，我们还要把长方形还原成平行四边形，找出前后两个图形之间的共同点，进一步理解长方形面积公式与平行四边形面积公式之间的内在联系。通过这样的还原转化，使公式推导水到渠成。每个环节的设计与处理，都可谓：随风潜入夜，润物细无声，学生在实践活动中无时无刻不感受着转化思想的实用价值。

2.着力于关键问题的确立，注重学生思维的纵深发展

数学课堂应该凸显思想的味道、思维的味道、思考的味道。所以关键问题的确定至关重要，它能够有效地促进学生学习能力的形成。本节课几个核心问题的设立，成功地将学生的思考引向深入，层层递进中发展学生的思维。

问题设计一：“同学们，请你大胆地猜一猜，平行四边形的面积可能怎么求？”学生根据已有知识大胆猜测，充分尊重学生的知识储备，后续的教学也是围绕学生猜测的结果进行验证，最终获得正确的结果。这种大胆质疑、勇于实践的精神将是学生今后面对生活时需要具备的品质之一。

问题设计二：“同学们想一想，我们在把平行四边形转化成长方形的过程中，什么变了？什么没变？”引导学生探求把平行四边形转化成长方形后，前后两个图形之间的联系是什么，找到求平行四边形面积的计算方法。通过“变与不变”的角度，引导学生从面积和形状两个角度观察思考问题，感受几何图形中变与不变的微妙，经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。

问题设计三：“同学们用数方格的方法能够准确数出平行四边形的面积，结果是24平方厘米。用底×高计算的结果和它是一样的，是巧合呢，还是蕴含着一定的道理？那么道理何在？而邻边相乘这种方法一定存在问题，问题出在哪里呢？”这个问题的提出，对于学生来说是具有挑战性的。“知其然，还要知其所以然。”为什么平行四边形的面积可以用底乘高来计算。还要知其错误的根源”，后面教师利用活动的平行四边形框架演示，帮助学生清楚地理解了临边相乘算出的是平行四边形拉成长方形的面积，因为高发生了变化，所以面积也发生了变化。一正一反的对比学习，更让学生对正确的知识记忆犹新，学生的思辨、质疑能力也得到了充分地锻炼和提升。

教师精准确立的问题拓展了学生的思维广度，提高了学生的思考深度。他们在剪一剪、拼一拼、画一画的活动中积累基本活动经验，在小组合作、汇报交流中互相质疑和补充。学生的思维在有效的学习中不断碰撞，从而达到深度学习。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”一节课在每个人的实施中都会各不相同，但是有一点是相通的，那就是：钻研教材，分析学情，挖掘数学思想，还原数学本质，让师生共同感受学习的美好！