基于椭圆函数展开法求Klein-Gordon方程的行波解

韩冰冰

（盘锦职业技术学院 基础部，辽宁 盘锦 124000）

近年来，非线性方程在自然科学与工程应用方面占据非常重要的地位。其中求解非线性方程的精确解是一项具有重要现实意义的科研工作[1]。同时，非线性方程解的唯一性问题一直都是科研工作者的关注热点[2]。尤其是求解非线性方程的方法有很多，包括双曲正切函数展开法[3]、sine-cosine方法[4]、齐次平衡法[5]以及试探函数法[6]等。尽管这些方法能够求解非线性方程的孤波解或者冲击解，但对于周期解的解析并不是都适宜[3-6]。针对这一问题科研工作者提出了许多新的求解方法。例如，杨娟等人通过Riccati展开法和复变换获得非线性分数阶Sharma-Tasso-Olever方程和时空分数阶耦合Burgers方程的精确解[7]。熊淑雪等人利用复变换和整合分数阶导数方法求出了分数阶JM方程的新精确解[8]。王辉采用tanh函数方法对耦合Kaup-Kupershmidt方程求解，通过行波约化和Riccati方程进行方程转化最终求得显式行波解[9]。目前，寻找非线性方程新形式的精确解仍然是一件很有意义的工作。为寻求非线性Klein-Gordon方程的更多的周期解，将Jacobi椭圆函数展开法作进一步推广，得到了该方程许多丰富的行波解，然后通过参数取值得到了该方程的一些特殊的精确解，包括三角函数解、双曲函数解及它们的混合解，使以前的一些结论得到了有效推广。

1 Jacobi椭圆函数的概述

1.1 Jacobi椭圆函数的性质

Jacobi椭圆函数的定义和性质可以参看文献[10]，其中sn（ξ,k）称为Jacobi椭圆正弦函数，cn（ξ,k）称为Jacobi椭圆余弦函数，dn（ξ,k）称为第三类Jacobi椭圆函数，用到Jacobi椭圆函数的以下性质：

1.1.1 转化关系

1.1.2导数关系

1.1.3 平方关系

1.1.4 极限关系

当k→0时：

sn（ξ,k）=sin（ξ）,cn（ξ,k）=cos（ξ）,dn（ξ,k）=1,

ns（ξ,k）=csc（ξ）,cs（ξ,k）=cot（ξ）,ds（ξ,k）=csc（ξ）,

sc（ξ,k）=tan（ξ）,nc（ξ,k）=sec（ξ）,dc（ξ,k）=sec（ξ）,

sd（ξ,k）=sin（ξ）,cd（ξ,k）=cos（ξ）,nd（ξ,k）=1

当k→1时：

sn（ξ,k）=tanh（ξ）,cn（ξ,k）=sech（ξ）,dn（ξ,k）=sech（ξ）,

ns（ξ,k）=coth（ξ）,cs（ξ,k）=csch（ξ）,ds（ξ,k）=csch（ξ）,

sc（ξ,k）=sinh（ξ）,nc（ξ,k）=cosh（ξ）,dc（ξ,k）=1,

sd（ξ,k）=sinh（ξ）,cd（ξ,k）=1,nd（ξ,k）=cosh（ξ）

其中0≤k≤1是Jacobi椭圆函数的模数。

1.2 Jacobi椭圆函数的展开法

非线性发展方程的一般形式可写为

式中的F是关于变元u,ut,ux,utt,uxt,uxx,...的多项式。引入行波变换

其中k1和c是非零的待定常数，ξ0是任意常数。将（2）代入（1）得到关于u（ξ）的常微分方程

设方程式（3）具有如下形式的行波解

2 Klein-Gordon方程的其他形式的解

2.1 Klein-Gordon方程的行波解

考虑非线性Klein-Gordon方程

将式（2）代入式（5）,整理得到

将式（4）代入式（6）。当Hi（ξ,k）选取不同的Jacobi椭圆函数时，计算得到不一样的非线性Klein-Gordon方程行波解。本研究根据以下4种情形进行计算：

2.1.1 情形一

令H1（ξ,k）=sn（ξ,k）,H2（ξ,k）=cn（ξ,k）,H3（ξ,k）=dn（ξ,k）时，得到

对式（7）求二阶导数得到

对式（7）求立方得到

将式（7）、式（8）、式（9）同时代入式（6）整理得到

在式（10）中令sn（ξ,k）lcn（ξ,k）mdn（ξ,k）n（l,m,n=0,1,2,3）系数均为零，解得式（5）的以下六个解：

2.1.2 情形二

令H1（ξ,k）=sd（ξ,k）,H2（ξ,k）=cd（ξ,k）,H3（ξ,k）=nd（ξ,k）时，得到

u（ξ）=a0+a1sd（ξ,k）+a2cd（ξ,k）+a3nd（ξ,k）

按照情形一的计算步骤，计算得到以下六个式（5）的解：

2.1.3 情形三

令H1（ξ,k）=ns（ξ,k）,H2（ξ,k）=cs（ξ,k）,H3（ξ,k）=ds（ξ,k）时，得到

u（ξ）=a0+a1ns（ξ,k）+a2cs（ξ,k）+a3ds（ξ,k）

按照情形一的计算步骤，计算得到以下六个式（5）的解：

2.1.4 情形四

令H1（ξ,k）=sc（ξ,k）,H2（ξ,k）=nc（ξ,k）,H3（ξ,k）=dc（ξ,k）时，得到

u（ξ）=a0+a1sc（ξ,k）+a2nc（ξ,k）+a3dc（ξ,k）

按照情形一的计算步骤，计算得到以下六个式（5）的解：

根据所求得的行波解，利用Maple 7软件绘制解的波形图。以u1（x,t）图形为例，u1（x,t）的波形图见图1。

图1 解u1（x,t）的波形图：ξ0=0,c0=2,α=1,β=1,c=1,k=,x=1

2.2 Klein-Gordon方程的其他形式的解

上述得到的非线性Klein-Gordon方程的24个行波解，如果考虑它们的极限情况，即当k→1时，Jacobi椭圆函数退化为双曲函数；当k→0时，Jacobi椭圆函数退化为三角函数。

2.2.1情形一

当k→0时，非线性Klein-Gordon方程，即式（5）的24个行波解退化为以下三角函数形式的解：

2.2.2 情形二

当k→1时，得到的非线性Klein-Gordon方程（5）的24个行波解退化为以下双曲函数形式的解：

3 结论

本研究以Klein-Gordon方程为例，介绍了Jacobi椭圆函数的性质和展开法，利用该方法求得非线性Klein-Gordon方程一系列新的精确周期解，并且充分考虑到极限情况，得到的三角函数及双曲函数的解，从而揭示了求解非线性Klein-Gordon方程精确行波解的理论和技巧。此外，该方法具有一定的普遍性，可以用来求解更多的非线性发展方程，例如非线性Schrodinger方程、KP方程、Ginzburg-Landau方程等。