基于核心素养的教学设计与评价反思——以“椭圆的几何性质”为例

山东 尹燕花

一、问题的提出

基于核心素养的教学，要求教师在教学活动中，让学生在掌握知识与技能的同时，理解知识的本质，感悟其中所蕴含的数学思想，掌握思想方法.学生数学思想方法的形成，需要在教师的启发和引导下，通过学生独立思考感悟，逐渐养成良好的思维品质.如何进行教学设计，才能把握数学的本质，渗透数学思想方法，提升学生的核心素养，是当下教师需要思考和面对的问题.本文以椭圆的几何性质为例，阐述如何在解析几何的教学设计中，体现基于核心素养的教学设计理念.

二、课前分析

椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、对称性、顶点(特殊点)、离心率.学生已经熟练掌握直线和圆的方程，椭圆的定义及其标准方程，有一定的观察分析和推理论证的能力；但第一次接触到通过方程研究圆锥曲线几何性质的方法，缺乏研究此类问题的经验，研究思路不清晰.学生第一次系统地运用代数与几何相结合的方法研究曲线的性质.如何在教学中渗透数形结合、函数与方程等数学思想方法，并为研究双曲线、抛物线的几何性质、运用“以数解形”的方法解决几何问题提供研究方向和方法指导，让学生在感知图形和观察抽象的过程中提升直观想象和数学抽象的素养，对形成研究圆锥曲线的核心思想方法具有举足轻重的地位.

三、教学实录

1.情境创设，引出课题

通过多媒体先后向学生展示并介绍国家大剧院和开普勒行星运行轨道.

师：国家大剧院是新“北京十六景”之一的地标性建筑，它的外观呈半椭球形，设有歌剧院、音乐厅、戏剧场以及艺术展厅、餐厅、音像商店等配套设施，它的设计集美学、声学、光学、力学等方面的优点于一体，2008年12月19日获“鲁班奖”，被评为世界十大奇特建筑之一，2009年10月28日入选新中国成立60周年“百项经典暨精品工程”.通过观察国家大剧院在水面上的投影，会发现它就是我们之前研究的椭圆，那它多长、多宽、多扁呢？

开普勒发现行星的轨道呈椭圆形，研究它在发射卫星和导航制导等方面价值重大.那么椭圆形的轨道有什么样的性质特点呢？

【设计意图】借用两个具体实例向学生展示椭圆几何性质的应用，反映时代要求，体现科学价值，同时激发学生的爱国热情和学习激情，提高学生对本节课知识的渴望程度，体现教育立德树人的导向.

【课堂效果】以两个具体事例作为情境，引出本节课椭圆几何性质的课题，既激发学生的学习兴趣，又使得学生的爱国热情高涨，为本节课的高效学习奠定基础.

2.复习回顾，探究新知

探究一 椭圆的范围

2.1椭圆的范围

问题1：你能由图形观察出椭圆的范围吗？

问题2：你能根据椭圆的方程推导出这个结论吗？

【设计意图】本节课是学生初次接触圆锥曲线的几何性质，在老师的引领下，师生一起研究第一条性质——范围，让学生体会由图形观察发现性质，再由方程经过严密推导得出性质的研究方法，体会数形结合，函数与方程等思想的内涵；同时也为描点法作图提供了参考，发展学生数学抽象和直观想象的核心素养.

【课堂效果】学生通过观察椭圆的图形准确得到了椭圆的范围，又在老师的引导下，推导出了椭圆上点的横、纵坐标的范围.教师及时做出点评，总结出研究曲线几何性质的两种方法：①几何法(几何直观)②代数法(方程推导)，为研究椭圆的其他几何性质的研究方法做好铺垫.

2.2椭圆的对称性和顶点

【合作交流 探究新知】根据以上研究方法，小组合作探究对称性和顶点.

师：请同学们类比研究椭圆范围的方法，完成下面两个问题：

问题3：椭圆具有怎样的对称性？仔细观察方程的特点，证明对称性.

问题4：研究曲线上的某些关键点，可以确定曲线的位置和变化趋势.你觉得椭圆上会有哪些关键点？

【设计意图】学生掌握了研究圆锥曲线几何性质的方法，将关于对称性和顶点的问题交给学生，让学生以小组合作探究的形式发现问题，解决问题，培养学生探究的意识和合作交流的团队精神.发展学生数学抽象和直观想象的核心素养.

【课堂效果】①学生小组合作探究椭圆的对称性和顶点问题，教师在巡视过程中参与其中，引导启发学生通过代数法推导椭圆的性质，最后请小组代表展示各小组的研究成果.教师及时做出点评和表扬.

②在学生展示对称性的过程中，教师利用几何画板向学生动态展示椭圆上任取点P(x,y)，点P关于x，y轴和坐标原点的对称点P′(x,-y)，P″(-x,y)和P‴(-x,-y)也在椭圆上，它们伴随点P的运动而在椭圆上运动，结合“点动成线”让学生理解所取点P为任意点的重要性，进一步加深理解椭圆的对称性.

③得到关键点后进一步给出长轴和短轴的定义，补充说明对称轴是焦点所在直线和焦点连线中垂线，这是椭圆的固有性质，不受坐标轴的影响.

问题5：同学们，认识了长轴和短轴，你能从图中找到a，b，c对应的几何性质吗？

【设计意图】了解了椭圆以上几何性质，进一步提出问题，考查学生知识掌握程度的同时发展数学抽象和几何直观方面的素养.

问题6：同学们继续思考，已知椭圆的四个顶点，能否快速找到焦点位置呢？

生：以短轴端点为圆心，以长半轴a为半径作圆，与长轴的两个交点即为椭圆的两个焦点.

【设计意图】对椭圆中焦点三角形做更深入的研究，开拓学生的知识面，提升学生思维能力.

【考一考】

①说出下列方程对应图形的对称性.

②快速画出下列椭圆的简图.

【课堂效果】学生能快速地回答对称性，并能利用性质准确地做出椭圆的简图，说明学生已经掌握了椭圆的范围，对称性和顶点，并能灵活使用.

2.3椭圆的离心率

师：观察第②题中两个椭圆的图形，它们有什么不同呢？

师：椭圆的形状受哪些因素影响呢？

大家拿出手中的道具(纸板、图钉、绳子)，从椭圆的定义出发，多画几个椭圆，然后思考椭圆形状受哪些因素影响？最后小组讨论，形成你们组的最终结论，并向大家展示你们集体的智慧.

【探究一】学生活动：小组合作，利用椭圆的定义画椭圆，从中寻找哪些因素决定椭圆的形状.(小组合作讨论，相互交流，小组展示)

学情预设：学生会得出两种结论，①a，b影响椭圆的形状，②a，c影响椭圆的形状.

生：a，b的大小影响椭圆的形状，a不变时，b越小，椭圆越扁，b越大，椭圆越圆.

师：回答的非常好，我们能直观地感受到改变a，b可以改变椭圆的形状.

【课堂效果】教师对学生加以肯定，这是从几何直观得到的结论.教师利用几何画板动态展示“椭圆长轴和短轴变化时形状随之变化”的过程，使学生能够生动形象的感知.

从表1结果可知，浮选金精矿中主要有用元素为金、银，可在后续浸金工艺中回收，铅含量为3%，达到了综合回收的要求。

师：在刚才动手画椭圆的过程中，哪个小组得到了不同的结论呢？

生：我们做了几个不同的椭圆，发现改变绳长可以画出不同的椭圆，改变图钉的位置也可以画出不同的椭圆，所以我们认为a，c决定椭圆的形状.

师：回答得非常完美.同学们的这些结论都非常正确，体现了同学们超强的几何直观和数学抽象素养，大家从不同的思考角度得到了不同的结论.下面同学们继续思考a，c如何影响椭圆的形状变化呢？

【探究二】a，c如何影响椭圆扁、圆程度的变化？学生继续小组合作，相互交流.

【设计意图】以活动为载体，学生在动手画椭圆的过程中，积累感性经验，通过实践、思考，为进一步上升到理论认知做好准备，同时发展学生的直观想象和数学抽象素养.

生2：c不变时，a越大椭圆越扁，a越小椭圆越圆.

生3：a和c越接近，椭圆越扁，a和c相差越大，椭圆越圆.

【课堂效果】教师用几何画板动态展示学生1和学生2的成果：通过变动焦点的位置，改变c的大小，验证学生1的正确结论，通过变动长轴顶点的位置，改变a的大小，验证学生2的正确结论.

师：同学们，我们分析了前两种结论，它们只改变其中一个因素.那么，第三种结论中a和c都发生变化了，大家再探讨一下，第三种结论是否准确？能否找到表示a和c差量的数据关系呢？

生1：a与c的差越大，椭圆越圆，差越小，椭圆越扁.

生2：a与c的比值越接近1，椭圆越扁，比值越大，椭圆越圆.

【课堂效果】比较两个数大小，我们通常采用做差或做商的方法，两位同学的思路都是值得肯定的.教师利用几何画板，在同一坐标系中输入“c=3，a=4”和“c=7，a=8”作出两个椭圆的图形，学生可以形象地看到差值对椭圆形状起不到决定性作用.教师再利用几何画板，向学生展示c与a比值不变的情况下，c与a变化得到一系列形状相同、大小不同的“相似”椭圆，验证了学生2的结果是正确的.

师：c与a的比值对应着教材中的离心率.同学们请看定义，思考它有怎样的范围.

师：请一位同学来总结一下这个比值对椭圆的扁圆程度有什么影响呢？

【设计意图】通过之前的探究，学生可以基本掌握c与a对椭圆形状的影响情况，再通过学生的总结，加深理解.

生：e越接近于0，则c越小(师：小到什么程度呢？)，趋近于0,椭圆越接近于圆；e越接近于1，椭圆越扁.

离心率大小焦点偏离程度扁圆程度e越大(e→1)越大越不圆(越扁)e越小(e→0)越小越圆e=0不偏离圆

【课堂效果】学生清晰地总结了离心率对椭圆扁圆程度的影响，教师肯定学生之后，利用几何画板向学生清晰展示焦点在偏离中心的过程中，离心率大小和椭圆扁圆程度的变化，教师引导学生体会“离心”两字——偏离中心，它是刻画椭圆轨道与理想圆环的偏离程度的量(从几何图形感知)，使离心率得到升华，突破了本节课的难点.

【练一练】下列两个椭圆哪个更扁一些？

【课堂效果】学生能快速准确地完成，对离心率完全理解，难点得到突破.

【设计意图】向学生介绍离心率在物理学中的发展过程，数学上的离心率与物理学中的偏心率是同一个量，拓宽学生的知识面，通过跨学科知识进一步加深对离心率的认识.

【构建体系 完善认知】

请根据本节课所学椭圆的几何性质，完成下列表格.

标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)图形范围对称性顶点坐标离心率

【设计意图】激活学生已有的认知结构，在理解性质的基础上，利用类比思想研究椭圆,让学生感知不同坐标系下椭圆的性质，加深知识理解的同时培养学生归纳总结的能力，体会类比思想，发展学生逻辑推理素养.

3.典例剖析，深化理解

例1已知椭圆的方程为4x2+9y2=36.

(1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率；

(2)根据椭圆的几何性质，利用描点法画出该椭圆的图形.

参考数据：

x00.511.522.53y21.971.8917.31.491.110

【设计意图】通过例题的练习和讲解进一步强化椭圆几何性质的应用，使学生从感性认识上升到理性认识，同时在做题过程中领会函数与方程的数学思想.

4.总结提升，形成体系

【设计意图】引导学生从知识、数学思想与方法和数学核心素养三个方面总结、反思，深化知识的形成过程，形成本节课完整的知识体系，掌握研究椭圆的方法和思路，感受研究几何对象的基本规律，使学生有意识地运用数与形的一致性思考，为后续其他圆锥曲线几何性质的研究奠定基础.

四、教学反思与评价

授课结束后，现场的专家、老师们对本节课给予了充分的肯定，主要从以下几个方面加以评价：

1.适当的情境选择，高站位的价值观导向

本节课利用国家大剧院和行星运行轨道作为情境引入，既源于生活，又给学生确立了学以致用、德才兼备、全面发展，为实现中华民族伟大复兴的中国梦而学习的方向，学生要掌握扎实的专业基础知识和最前沿的科学文化知识，造福国家人民.开篇完美的体现了“立德树人”的导向性.

2.敢于放手给学生，注重创新能力的培养

本节课是学生初次接触圆锥曲线的几何性质，教师带领学生学习第一条性质后，放手给学生，时机恰当，不会让学生无从下手，有利于培养学生发现问题、解决问题的能力.史宁中教授说“要培养一个人的创新能力，必须注重过程，启发思考，总结经验，教会反思.”本节课通过对离心率问题的探讨，能够抓住问题的本质，启发新的思考.

3.课堂模式选择合理，注重多媒体辅助教学

利用问题串将本节课的核心知识串起来，教师敢于把讲台还给学生，引导学生动眼观察、动手操作、动脑思考、动嘴讨论，通过探究活动增强学生的数学体验，不光要知道是什么，更要弄明白为什么.难点的突破和重点的突出变得水到渠成.利用椭圆定义推导过程中的纸板和绳，探究影响椭圆圆扁程度的因素；用几何画板动态演示椭圆几何性质，使抽象复杂的问题更加简洁生动，高效地提升了学生直观想象的素养.

4.注重知识的拓展，跨学科知识的融汇

离心率的教学是本节课的一大亮点，在学生不断质疑和争论中形成了离心率的概念，又把离心率与物理学中的偏心率接轨.教学中要注重学生“学习过程的教育”.“过程的教育”是学生探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程.这正是“一核四层四翼”中的综合性的体现，实现了学科间的融合.

5.加强思维训练，渗透学科素养

帮助学生理解才是最重要的.而理解需要学生进行独立思考，学生只有独立思考，才能真正的掌握知识，从而能够真正的掌握技巧，甚至发明技巧，以不变应万变.本节课突出体现了数形结合、分类讨论及类比推理的思想和用代数法解决几何问题的数学方法，在这个过程中加强了学生的数学抽象，直观想象，逻辑推理等核心素养的培养.