紧抓真题本质 扎实复习备考——2021年全国甲卷试卷系统分析与思考

四川 王昌林

为了高考数学复习尽可能高效与精准，适当的试卷分析及总结归纳也是非常必要的.每一届高考考生都具有其自身的差异性与共同特质.高考数学复习是一项复杂而又精细化的工作，需要高三数学教师细致的规划，指导学生进行系统化复习，及时查漏补缺，紧跟高考数学的改革方向和社会热点问题.因此，对高考数学试卷的系统分析是指导复习备考的重要路径.

一、2021年全国甲卷试卷的特点

2021年全国甲卷贯彻落实高考内容改革总体要求与德智体美劳全面发展的教育方针；突出关键能力的考查；体现高考数学的科学选拔功能和育人导向作用.试题突出数学本质，重视数学思维，坚持素养导向与能力立意的命题原则；倡导理论与实际联系，学以致用，其中以我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果设计为真实问题情境，体现数学的实用价值.

平稳过渡是高考命题的首要目标，试题创新为第二选择.试卷稳步推进改革，科学把握数学题型的开放性与数学思维的开放性，稳中求新，全面体现基础性、综合性、应用性以及创新性的考查要求.试卷有效的区分不同能力层次的考生，有利于高校选拔人才以及引导中学数学教学.从试卷的结构来看，继续延续了近年来的模式；从试卷的难度来看，简单题注重基础知识的考查，中档题注重知识的运用，难题则注重方法技巧的掌握.

二、试卷分类分析

从考查的知识来看，考查的知识点与往年相比无太大变化，例如解答题部分仍考查的是数列、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与导数，选考部分仍是极坐标与参数方程、不等式选讲七个板块，圆锥曲线与导函数题仍然是最难的.具体分析如下：

(一)梯度区分，展现人文关怀

试卷入手较为容易，入口较宽，可以有效降低考生面对高考的焦虑情绪.其中选择题第1至第6题、填空题第13至14题、解答题第17至18题、第20至21题的第(1)问以及第22至23题等较为常规.从高考数学命题的宗旨来看，这些试题就是高考数学“送分”题，解答题通过分步设问的方式降低难度，让基础相对薄弱的同学有成就感，同时也让优秀的同学脱颖而出，充分展示了高考数学命题者对高考考生的人文关怀.

(二)立足基础，注重通性通法

立足基础，即立足于“四基”和“四能”.试卷十分重视基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验即“四基”与发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力即“四能”的考查.如试卷考查了集合运算、复数运算、向量运算、三角函数运算等基础知识与方法；同时也对三视图、条件命题、圆锥曲线的定义以及几何性质进行了考查.这些问题基本都在较为靠前的位置，但若是不能发现问题的一般性与特殊性，会浪费较多时间.

【案例1】已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为

【评注】本题为理科第5题，根据双曲线的定义及条件，表示出|PF1|,|PF2|，再结合余弦定理，即可得出答案.命题者的目的和意图很明确，从方法上来看就是考查双曲线的定义，题干常规，问题背景公平；从数学思想的角度来看，就是考查考生数形结合与方程思想；从能力角度来看，就是想要考查考生分析问题和解决问题的能力.可见，高考数学注重对考生“四基”“四能”的考查.

(三)聚焦本质，凸显数学思维

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学定义、法则、结论的发生、发展过程和本质”.形式化固然是数学的基本特征之一，在数学教学中，学习形式化表达是一项基本要求，但不能仅仅局限于形式化的表达，更应强调对数学本质的认识，否则灵活多变的数学思维活动，即数学思维“热烈”的火花，将会淹没在“冰冷”的形式化大海之中.试卷由“知识立意”到“能力立意”，再到“素养立意”，并逐步发展考生的数学核心素养和数学思维品质，并将这种发展趋势体现于近年的高考数学试题中，且不断加大考查的力度，特别是把注意数学思维的考查体现得更为充分.

【评注】本题为理科第12题，其以函数奇偶性的概念为载体，求二次函数的值.考查考生灵活应用知识解决问题的能力以及对奇偶函数概念的理解与掌握情况.案例2可从周期入手，也可从定义入手，关键在于对已知条件的转化，突出考查数学思想，如化归与转化思想、数形结合思想、方程思想等.同类型的试题有理科的第7题，第16题，文科第12题等.

(四)综合考查，注重核心素养

从本质上讲，数学核心素养是学生经历了数学学习之后，会用数学的眼光看世界，会用数学的思维分析世界，会用数学的语言表达世界，即“三会”.而在史宁中教授所讲的“三会”中，最为核心的为抽象、推理和模型.抽象为推理提供心理物质前提，推理使得对象更为深刻，得到一般的模型，最后再将模型运用于现实中，体现了从现实到数学，再由数学到现实的思维路径.在高考中，通过对逻辑推理和理性思维的考查，充分展现考生对于推理和论证的确认、分析、评价、展示的全过程，从而衡量其批判性思维的发展水平.而对于理性思维的考查，突出体现在综合分析问题的过程之中，通过复杂情境的设计增强题目综合性，考查考生是否能够根据已知信息，从合理的角度思考问题，用合理的方法解决问题.

【案例3】抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M与l相切.

(1)求C，⊙M的方程；

(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切，判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.

【评注】案例3为理科第20题，文科第21题.体现试题文理科的一致性，试卷在解答题部分进一步呈现文理科合卷的趋势，这是向新高考“看齐”.第(1)问较为简单，却蕴含重要的结论与推广，是命题者对考生的关爱，案例的第(2)问所蕴含的彭赛列闭合定理使得第(2)问更具内涵，当然试题难度相应增加，若是不能准确的选择恰当的方法以及具有良好的数学核心素养，考生想要完成第(2)问的解答并非易事.该试题从知识上考查抛物线的定义和几何性质，直线与圆、抛物线的位置关系；从核心素养来看，考查考生的数学运算、逻辑推理以及直观想象数学核心素养等.

(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；

(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

【评注】案例4为理科第21题.作为全卷的压轴题，对学生的创新能力具有较高要求.从试题构成来看，试题不偏不怪；从试题背景来看，试题具有高等数学背景与函数模型背景.试题函数结构优美，xa与ax组合具有结构上的对称呼应，绝大多数考生能解2x=x2，但若是xa=ax具有两个解则就不再那么简单了.试题看似简单，但并非很容易入手，需要转化讨论.总而言之，试题对考生化归与转化能力的考查要求较高，具有较强的选拔性.

(五)新颖创设，重视迁移创新

新颖创设，即创设新颖的试题情境.迁移，即将所学习的数学知识应用在新的情境下，并成功的解决问题；创新，是在迁移的过程中体现的，表现在对非常规问题的解决或结构不良问题的解决等，这些问题的解决，往往需要一定的创新意识.数学学科高考在试题设计、素材选择等方面不断探索创新，力求创设新颖的情境，提出新颖的问题，希望以此为导向，引导基础教育培养考生灵活、合理地应用数学知识与方法解决问题的能力，进而促进其创造性思维能力与创新意识的提高.

【案例5】已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【评注】案例5为理科第18题，是半开放的结构不良试题.此类问题有利于引导考生在解决问题的过程中，根据具体情境，从多个角度分析，考虑多个可能，寻找不同路径，提出多种解决方法，以考查考生思维的系统性、灵活性、深刻性、创造性.案例5以等差数列中的通项公式、前n项和等知识为载体，从给出的三个条件中选出两个作为条件，则另外一个为结论并证明该命题成立，考生可任选一种方式作答.当然，组合的不同对应的难度亦不相同，这就要求考生要找到“性价比”高的组合方式，充分考查考生认识问题、分析问题以及解决问题的能力.显然，这是一道考查考生知识迁移和创新的试题，值得细细品味.

(六)真实取材，关注社会热点

高考是我国的基本教育制度，是立德树人落实机制的关键环节和重要组成部分.如何通过数学“立德”和“树人”呢？在高考命题中，要通过试题情境的设置、真实问题的提出、利用学科知识解决问题的过程，达到五育并举，助力德智体美劳全面发展目标实现.试卷关注时事热点，关爱青少年健康，增强数学知识与思想方法的实际运用.例如：

(1)2021年是“十四五”开局，也是我国在脱贫攻坚工作取得全面胜利后推进乡村振兴的重要节点，还是建党100周年之际.理科第2题、文科第2题以我国在脱贫攻坚工作取得全面胜利和乡村振兴为背景，培养学生爱国主义情怀，唱响时代旋律.

(2)理科第4题、文科第6题以中学生视力健康为背景命制试题，呼吁广大青少年要关注视力健康，同时也呼吁社会关注青少年视力健康问题.

(3)理科第8题以三角测量法为背景设计测量珠穆朗玛峰高度差的试题，情境真实且突出理论联系实际，要求考生能正确应用线线关系、线面关系以及点面关系等相关几何关系，从而构建计算模型.

(4)理科第17题，文科第17题是以工厂机床生产为背景设计的独立性检验试题.命题者让考生正确运用独立性检验对日常生产生活中的实际问题作出合理的推断和预测.

三、对开展试卷分析的思考

(一)基于试卷分析开展复习备考策略制定的实践价值

基于试卷分析，开展复习策略的制定，其价值不仅在于帮助教师制定复习策略，而且对于促进学生进行试卷分析也有着积极意义.一位教师若没有试卷分析习惯，那么其课堂教学肯定是缺乏明确方向且没有灵魂的.教师若仅仅是讲授知识，长此以往，教学水平不会有长足的进步，其课堂教学也将变得机械无味，这对学生必然是极为不利的.事实上，数学活动是一种文化传承，教师热爱数学，钻研数学，善于分析，勇于探究、合作与创新，其品质和精神必然能潜移默化的感染学生，从而引领学生自觉开展试卷分析.

(二)自觉开展试卷分析，锻炼“把脉”能力

教师要自觉开展试卷分析，使其从一种“任务”变为一种“觉悟”.通过不断地提高试卷分析的水平，最后达到准确的“把脉”，以及抓住试题命制的“筋脉”.很多高考题看似平常，实际上却意蕴丰富，试题都是经由命题专家精心思考编制出来的，有很大的教学价值和研究空间.试卷分析，可以说就是教师的一项基本功.学习数学的目的，在于分析和解决问题.善于试卷分析，善于利用具有导向意义的试卷，如诊断试卷，高考试卷等，精心研究分析其“脉”，在分析的过程中梳理“脉络”，寻找命题的关键点，并结合具有指导性意见的文件，如中共中央、国务院等官方机构印发的《深化新时代教育评价改革总体方案》等，来制定日常教学与复习备考策略.

(三)积极推动学生进行试卷分析