立足通性通法 探寻背景本质 发展核心素养——2021年高考数学全国乙卷第12题的多视角探析及教学启示

广东 闫 伟

2021年全国高考数学试题继续保持着以“一核四层四翼”的《中国高考评价体系》为依托，遵循《考试大纲》，聚焦学科主干知识，突出考查关键能力，凸显基础性、综合性、应用性和创新性，彰显学科核心素养的命题导向，对今后的数学教学和复习备考有很好的借鉴意义.下面以2021年高考数学全国乙卷理科第12题为例，进行评析,并提出合理的复习备考建议，启发学生在实践中反思，在反思中体验，在体验中感悟，在感悟中提升.

1.试题呈现

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A.a

2.试题评析

2.1 聚焦关键能力 落实素养考核

本题以对数式和根式为载体，考查实数的比较大小.这类题型往往题干简洁，但综合性强，综合考查对数的运算性质，函数的单调性，不等式的性质等知识.能力层面突出考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力；逻辑推理、数学运算是学生发展所需要的两大重要核心素养，本着“核心内容重点考查”的命题指导思想，命题者在这方面有所侧重，突出对学生的数学思想方法、运算能力、数学应用能力等数学素养的考核，作为压轴题，凸显了区分甄选功能.

2.2 鼓励学生多视角思考

本题入手较宽，不同的考生可以有不同的切入点，不同的解法体现不同的思维，下面列举5种解法，仅供参考.

视角1：基于函数单调性的视角

视角2：基于函数模型增长差异的视角

评注：视角2根据a,b,c三个式子的结构特征，分别构造了三个函数，根据三个函数的图象增长程度的差异来确定a,b,c的大小关系，解题过程简洁、直观，需要学生熟悉各类函数图象的变化规律.

视角3：基于定积分的视角

评注：解法3在本质上和解法2是一致的，前者是根据三个函数图象的增长快慢来确定a,b,c的大小关系，直观形象，本解法则是通过构造函数将a,b,c转化为定积分，被积函数在所给区间上的关系是确定的，再利用定积分的保号性质确定结果，实现了由图象到数学语言的精确表达.

视角4：基于“高观点”的视角

先给出高等数学中两个常见函数的泰勒展开式：

由②式可以估算得

对比三个式子显然可得a>c>b，故选B.

评注：视角4是利用高等数学中两个常见的泰勒展开式直接对a,b,c进行估算确定结果，作为压轴小题，具备高等知识背景，我们可以适当借助高等数学的有关结论进行求解，在“高观点”下会使得解答过程一目了然，实现高效解题.

视角5：基于放缩的视角

先由1.012=1.020 1>1.02，可以确定a>b，根据选项排除A,D选项，只需比较a和c即可.

2.3 探寻背景 总结提升

因此，在平常学习中，我们要有意识地加强对常用结论的推导与证明，对试题进行深度地发散研究，探索隐藏在题目背后的奥秘，将研究的问题引向深入，挖掘题目的真正内涵，能够找到解决这个问题与解决其他问题在思维上的共性；这样我们才能领会到试题的本质，真正做到触类旁通，举一反三，从而达到做一题会一类，甚至通一片的目的.

3.延展应用 拾级而上

对数均值不等式在近些年的各类试题中应用非常广泛，熟练掌握这些结论并合理运用在导数与不等式相关的问题上，可以极大简化推理运算过程，实现高效解题，下面举例说明.

评注：在本题中运用对数均值不等式左侧部分的变形，把含有lnx的超越不等式化成多项式的形式，有效避免了对参数a的讨论，极大地简化了推理论证过程.

例2.已知函数f(x)=ex-mx，设x1,x2是函数f(x)的两个不同零点，证明：x1+x2>2.

评注：此题也可以利用极值点偏移问题解决，但借助指对互化及对数均值不等式证明更简明扼要.

4.教学启示

高考全国卷对指、对、幂函数值的比较大小问题的考查，重点是作差(作商)比较法、指数对数的运算性质、函数的单调性、函数的图象分布规律以及放缩法等知识与技能，以及与导数、不等式等交汇知识 ，对于此专题的教学及备考，需要关注以下几点：

4.1 重视指、对、幂函数的性质以及函数值大小比较的通性通法

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出: 在数学高考命题中，考查内容应围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、性质、方法的理解和应用，强调基础性; 注重数学本质和通性通法.近些年来全国各套高考试卷对指、对、幂函数值大小比较的考查, 主要集中在指对互化，指、对、幂函数的运算性质、图象、单调性以及不等式性质等内容，难度有加大的趋势，偶尔作为压轴题出现.因此，在日常教学中，应重视指、对、幂函数的性质、图象的掌握以及常见的大小比较方法如作差、作商、单调性法、图象法、放缩法等方法的训练，用以夯实基础知识，掌握基本技能，方能在考试中“行稳”.

4.2 适当增加二级结论的训练以快速灵活地解题

从本题的几个主要思路可以看出，若利用视角4中的方法解题，学生会较为快速比较a，b，c的大小，也就是利用高等数学中的泰勒展开式这一结果来解题，类似这样的结果在我们高中阶段统称为二级结论，如对数均值不等式,指数均值不等式,ex≥x+1，lnx≤x-1(x>0) 及其变形结论等都是常用的二级结论；在平常的解题教学中，如果我们能引导学生，提高综合分析能力，规范好常用二级结论的应用条件和应用范围，那么这些常用结论能帮助学生解题尤其是压轴小题时会更加得心应手，在时间非常紧凑的高考考试当中占据极大的优势.

4.3 重视对历年高考试题的研究，凸显真题价值