本体性知识演绎：追求更为合理的知识理解逻辑

浙江省温岭市横湖小学 王巧玲

我们很多时候都采用“约定”的方式来为学生营造概念理解氛围。然而，在知识爆炸的信息时代，随着学生年龄的不断增长、独立思辨能力的逐渐提升，孩子们总会质疑：“为什么会是这样？”“一定是这样吗？”因此，我们在日常教学中必然要引导学生理解这些“约定”背后的道理，追求更为合理的知识理解逻辑，使学生知其然，更知其所以然。

一、有无相间，体现缓坡教学

问题：为什么研究因数和倍数的时候要说明范围是非零自然数，不能是小数或者是分数吗？

在学生的认知中，在四年级下册学习“乘除法关系”时，乘号两边的数都叫因数。但书本例题中，8 和2.5不能称为26 的因数的原因是什么？教材是通过红色字体列出“注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）”。但我们总不能用“这是规定”“我们约定不研究非零自然数之外的其他数”之类的理由，强制确定研究范围吧！因此，教师应该读懂教材，引导学生质疑“为了方便”这四个字的意思—— 如果研究范围扩大，会给我们带来怎样的不方便？在此基础上，我们不妨以12÷2=6为例开展教学，让学生思考：如果考虑小数，还可以列出12÷（ ）=（ ）？学生想出：12÷0.2=60，12÷0.02=600，12÷0.002=6000……结果是12 的因数有0.2 和60；0.02 和600；0.002 和6000……因数的个数变成无限，给研究因数带来了很多不便。至此，我们可以引导学生感知出无限数量的因数不利于我们研究因数和倍数的特性，也将直接影响后面的质数与合数等其他内容的学习，所以应该予以规避。

二、虚实结合，打通思维断层

问题：直线比线段长吗？

在教学“线段、直线、射线”一课后，练习中出现上述长度比较的练习。其实，这一本体性知识的演绎要回顾小学阶段“空间与图形”板块中一直忽视的基石——点、线的形成过程。我们可以引导学生将乒乓球、篮球、地球都想象成一个点，由此建立“点”的认识的前提条件——点是没有大小的，只要满足基础形象都可以进行想象加工。之后，我们让点开始运动，让学生用手势描绘点的运动轨迹，从而认识到“线是点运动后留下的轨迹，有直的线，也有曲的线”。接着，我们可以遵循数形结合的方式，将线的长度与自然数的认识相映照——先画5 厘米的线段，再延长画7 厘米的线段，再延长画9 厘米的，这时想一想数有没有最大？反观线有没有最长？由此得出射线无限长的发现；再朝相反方向重复上述步骤，由此得出直线也是无限长。有了线段、射线和直线的形成过程的体验，学生就会深刻明白点动成线（线里有无数个点，每个点都可以作为端点）、直线包含射线和线段的道理，更领悟到线段可以表述为“在一条直线上取两个点，这两点之间的一段就叫作线段”。因此，线段是直线的一部分，直线包含了线段，两者是部总关系，基于整体大于部分的逻辑推理，直线应该要比线段长。我们相信，经过这样的形成过程体验和周密的逻辑推理，学生对于约定背后的道理肯定能自我演绎且逻辑过程完整。

三、情意交融，突出知识本质

问题：为什么小数点的末尾加上0，大小也不变？

在教学“小数的性质”一课时，很多老师借用教材中提供的直尺和格子图等素材，引导学生经历如下图所示的推理过程。但我们认为，教材基于直尺相等长度的三种表示方式的转化逻辑链长且脆弱。另外，教学过后的调查显示，约80%的学生用直接记忆结论的方式解决生活中的具体问题，并未运用情境中的转化经验，对本单元的核心——数位顺序表也理解不深。其实，部分学生在学习这一内容之前，就已经对如“12 元=12.00 元”有了一定的了解，所以本课的难点应该是通过数位顺序表理解添“0”、去“0”后小数不变的本质是数的位值没有发生变化，引导学生结合数位顺序表深入研究，使其在添“0”、去“0”后判断数的大小变与不变的过程中体会十进位值制思想。

基于这一难点定位，我们可以创设问题：“在一个数的末尾添上1 个‘0’，得到的数是原来的（ ）倍？”面对这一问题，有些学生认为是10 倍，也有学生认为它们是相等的，教师都可以让他们举例说明。随后，教师引导学生猜测在小数的末尾添上“0”后会有什么变化，由整数自然地过渡到小数，再展开操作验证。验证成功之后，教师再引导学生探究：“同样是在末尾添上‘0’，小数和整数发生的变化是不同的，你能完整地表达出来吗？”在学生口述的过程中，教师借助数位顺序表展示，指出在末尾添“0”，整数和小数的数位分别发生了什么变化，再借机追问：“添‘0’之后，原来的数在哪一位？现在在哪一位？”之后，引导学生借助数位顺序表展示数的大小变化过程，将数位的变化过程清楚、明白地展现在学生面前。学生通过移一移生动形象地理解了“在整数末尾添‘0’之后，整数其他数位上的值都发生变化”“在小数末尾添‘0’，所有数位上的值都不发生变化”这一过程。如此教学，既借助了数位顺序表形象地展示了移动过程，又使学生了解了数的大小变化的本质是数字的位值发生了变化，从而让学生更深刻地理解了小数的性质。

四、辨析合力，学后灵活致用

问题：求近似数只有“四舍五入法”“进一法”和“去尾法”吗？

用“四舍五入法”求近似数，在四上“大数的认识”单元里有详细介绍：是“舍”还是“入”，要看省略的尾数部分的最高位上的数是小于5 还是等于或大于5。四下运用“四舍五入法”求小数的近似数，是教材中最后一个学生用此方法解题的学习内容。继续追溯，早在三年级“用估算解决问题”中，就有“比较接近”这个词语出现，教师为了方便解题，开始自主教学用“四舍五入法”解题。然而，在学生对方法熟练掌握的同时，我们更应该让学生明确原数与精确值之间的关系，从而理解使用“四舍五入法”求近似数广泛应用的意义。比如，举例两则信息：超市收银和医院收费。为什么超市收银用“四舍五入法”？为什么上海普陀区的一家医院收费采用五舍六入法（5 和5 以下全部舍，不收费；6 和6以上进位）？借助连续数据3.21～3.29 进行对比教学（如下表）。

求近似数方法3.21～3.29 求近似数的情况 与精确数相减四舍五入法（超市）3.21 ≈3.2 3.22 ≈3.2 3.23 ≈3.2 3.24 ≈3.2 3.25 ≈3.3 3.26 ≈3.3 3.27 ≈3.3 3.28 ≈3.3 3.29 ≈3.3 0.05五舍六入法（医院）3.21 ≈3.2 3.22 ≈3.2 3.23 ≈3.2 3.24 ≈3.2 3.25 ≈3.2 3.26 ≈3.3 3.27 ≈3.3 3.28 ≈3.3 3.29 ≈3.3-0.05对比发现：四舍五入法之后的结果比精确数多0.05，五舍六入法的结果比精确数少0.05

两种求近似数方法的误差都是最后一位保留数位的一半，而方向正好相反。此时，学生明白了两种方法的实际意义，“五舍六入法”更能体现出国家让利于民的惠民政策，而超市的收费方式在关注方便的同时，更要突出对顾客的公平公正，“四舍五入法”更加合适。求近似数的方法可以多样，除了满足实际需要，更要有数学原理，也就是在体现实用性的同时，更要关注科学性。这样的想法和思考通过有效的对比让学生有了感悟，将知识点背后的隐性知识通过显性活动慢慢悟出。

新课程改革着重于教学理念的更新，大力提倡“情境、合作、探究”的教学模式，但与之相比，对于小学数学里一些传统的学习内容的创新性演绎则往往维持现状，未做深究，这并不利于教师对教材背后的数学道理进行深入理解，自然也更不利于学生缓坡学习路径的构建、核心素养的培养。作为新时期的数学老师，我们应该努力挖掘蕴涵于教材中的数学道理，立足课堂，培养沟通数学内在联系的能力。希望通过本篇文章，能对同行们有所启示，让我们继续努力向前！