加强直观教学，让问题更直白

2021-11-05邱言贵

小学教学参考(数学) 2021年10期

关键词：直观教学小学数学

邱言贵

[摘要]几何直观能够将抽象的数学知识通过直观的图形形象地表现出来，使复杂的数学问题变得简洁明了。在数学教学中，教师可以遵循一定的技巧和原则绘图，借用几何直观让学生的思维更加清晰。

[关键词]小学数学;直观教学;问题直白

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）29-0090-02

对于小学生来说，数学知识抽象，难以理解，学习难度较大。那么，其中抽象的知识、定理、问题，能否以一种较为直观的方式展现在学生的眼前呢？答案是“能。”教师可以借助直观教学，运用直观图帮助学生理解数学知识。

一、借助直观图，化抽象为具体

对于小学低学段的“数的认识”以及“加减法”等内容，教材上都配有一些直观的图形，目的是让知识变得更加直观明了。由此可见，直观图能在学生学习时发挥很大的作用。在处理一些抽象、复杂的数学问题时，学生也可以借助直观图把题目中抽象的数量关系直观化，实现从“抽象”到“具体”的转化。值得注意的是，在讲解例题时，教师展示直观图后应当引导学生对比直观图和题目，引发学生思考。

【案例1】教师带领学生探究问题“两个自然数a、b相乘，如果a增加3或者b增加5，a、b两数的乘积都比原来增加了60，那么a、b两数的乘积是多少？”

生1：要算a、b两数的乘积，是不是应该先分别求出a、b的具体值？

生2：现在知道a的增加量和b的增加量以及它们增加后对应的乘积的增加量，a的增加量乘上b的增加量是不是就是乘积的增加量？可是也不对啊，3×5=15，并不等于60。

（教师借助三个直观图来帮助学生读懂题目）

师：我们以图1的长方形的面积来表示自然数a和b的乘积。如果a增加3，就会得到图2。如果b增加5，就会得到图3。同学们对这三个图形有什么解释或者疑惑吗？

生3：可以看出，图中空白部分的面积就是a、b两数的乘积，而阴影部分的面积就是乘积的增加量，而且图2和图3中阴影部分的面积相等。如果a增加了3，b也增加了5，增加部分又会是什么样的呢？

师：这个问题问得非常好，同学们可以尝试画出这种情况下的图形。

生4：我画了一个图，如图4所示，空白部分的面积还是a、b两数的乘积。如果a增加了3，b也增加了5，那么就会得到三个阴影部分，其中完全涂黑的部分的面积就是刚刚计算出的3×5=15。而剩下两个阴影部分的面积就是题目中所说的两种情况增加的面积。

师：这位同学帮助我们找到了刚刚的思维误区。现在同学们找到这一道题的解决办法了吗？

生5：对于图3，已知阴影部分的面积和阴影部分的宽，可以求出阴影部分的长，也就是a为60÷5=12。再来看图2，已知阴影部分的面积和它的宽，也可以求出它的长，也就是b为60÷3=20。那么，a、b两数的乘积就是12×20=240。

生6：虽然只用了三个式子，但是这三个式子得来不易啊！

師：生5的解题过程完全正确。如果今后题干发生了变化，在a增加3的同时b也增加了5，我们就可以观察图4来解决数学问题。

未知数会把问题抽象化，使整个数学问题看起来异常神秘。因此出题人经常会在命题时使用未知数。而学生借助直观图，可以清楚地看到题目中蕴藏的数量关系，让问题变得具体、直观。没有画图之前，学生连题目都读不懂，而画图之后，学生不仅能读懂题，还找到了解题方法，甚至还分析了题目的变式问题。

二、借助直观图，化深奥为具体

小学生的直观思维比较发达，抽象思维还有待发展。在和数学打交道的过程中，学生会经常接触一些数学思想和数学方法，有些数学思想和数学方法过于深奥，学生理解得不透彻，不会运用。教师借用直观图就可以使这些深奥的数学道理变得具体，让学生在看图时“一看就懂”，从而理解解题步骤或数学内容。

【案例2】教师带领学生探究问题“乌龟和鹤总共有9个头、28条腿，那么乌龟和鹤各有多少只呢？”

师：我们还是用假设法来解决这个问题。假设这9只动物都是鹤，那么总共有9×12=18（条）腿。实际上一共有28条腿，假设的比实际的少了28-18=10（条）腿。1只乌龟比1只鹤多2条腿。那么乌龟的数量是10÷2=5（只），鹤的数量是9-5=4（只）。

生1：为什么要假设动物都是鹤呢？可不可以假设动物全部都是乌龟呢？

生2：为什么还要算多出来的腿的数量？根据多出来的腿的数量怎么就能推出另一种动物的数量呢？

生3：感觉步骤好多，不仅要假设，还要计算、对比，记起来很麻烦。

（大部分学生对这一方法都持怀疑的态度，为了让学生更好地理解这种方法的内涵和步骤，教师画了三个图来帮助学生理解）

师：首先，我们假设这9只动物都是鹤。先把它们的头画出来，用9个圆圈表示，如图5所示。已知1只鹤有2条腿，我们就给动物添上2条腿，如图6所示。一起来数一数，总共有多少条腿呢？总共有18条腿，可是题目说有28条腿，还有10条腿在哪？这10条腿是乌龟比鹤多的腿，说明这9只动物不都是鹤。1只乌龟比1只鹤多了2条腿。把这些多的腿数加上去，就可以得到乌龟的数量了。先给第1只动物加2条腿，再给第2只动物加2条腿。已经加上了4条腿，总共要加10条腿，一直加下去直到加完。如图7所示，很明显，乌龟的数量是5，鹤的数量是4。一起数一数它们的头数和尾数，看看是否满足题目的条件。

鸡兔同笼问题有两种常用的解法，一种是假设法，一种是列方程法。方程思想在小学阶段引入得较晚，大部分学生偏向于使用假设法来解决问题。但是假设法的步骤比较多，且内容理解起来比较困难。在学生练习时，教师在旁边观察，发现大部分学生都是先画图再计算。教师邀请学生讲解自己的解题思路时，他们也都是边看图形边讲解。学生离不开图形，爱上了图形。慢慢地，学生掌握了假设法的精髓，不再依赖画图了。直观图是良好的学习工具和教学工具，恰当、准确地使用它，便能收获化深奥为浅显的效果。

三、借助直观图，化复杂为简便

学生手上有了图，面对复杂的问题就有了思路。

【案例3】教师带领学生探究问题“爸爸今年43岁，儿子今年11岁，几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？”

师：有没有同学自告奋勇，解决一下这道题？

生1：因为每过1年，儿子就会长大1岁，爸爸也会长大1岁，所以儿子和爸爸之间的年龄差没有变化。首先我们可以求出儿子和爸爸的年龄差为43-11=32（岁）。几年后，爸爸的年龄是儿子的3倍，爸爸的年龄比儿子的年龄多出了2倍，32÷2=16。因此爸爸的年龄是16×3=48（岁），过了48-43=5（年）。

师：解答正确。可是老师觉得你的思维有点跳跃。你能不能通过其他方式让我们了解你的解题思路呢？

生1：我在解题的时候画了一个线段图（如图8）。

[年龄差][儿子：

爸爸：] [ ][ ]

图8

师：我们通常把这类问题叫作“年龄问题”或者“倍数问题”。我们来看一道更为复杂的数学题。爸爸今年的年龄是儿子的4倍，3年前爸爸和儿子的年龄和是39岁。爸爸和儿子今年各多少岁？

生2：我也画出了一个线段图来解决这道问题（如图9）。3年前儿子和爸爸的年龄和是39岁，经过3年，爸爸和儿子都增长了3岁。现在爸爸和儿子的年龄和是39+3×2=45（岁）。看线段图，儿子今年45÷（4+1）=9（岁），爸爸今年4×9=36（岁）。