算法多样化，一个美丽的误导

郑大明

義务教育数学课程标准和与其配套的教材，为了突出问题解决的策略性知识的学习与掌握——解决一个问题不限于一种思路或者一种办法，提出了“算法多样化”。但在 “新课改”和“三课四学”的实践中发现，“算法多样化”这个说法给师生带来了许多的误会和纠结。特别是算法“多样化”与“优化”的争论，算理与算法的混淆，使得一线教师十分苦恼。

一、问题的提出

1.关于“算法多样化”的研究

为了把研究学生学习计算的算理算法的状况搞清楚，笔者先在中国知网上输入“算法多样化”这个短语，出现了333条结果（如表1）;再在百度上输入“算法多样化”这个短语，搜索到119 000条信息。看来，学术研究上明显不足，一线教师的关注度更高。

最早一篇关于“算法多样化”的文章是北京师范大学刘坚和张春莉老师在1999年2月以数学课程标准研制小组名义发表在《教育研究与实验》上面的《关于我国数学课程标准研制的初步设想》，该文提出了“重视心算，加强估算，淡化笔算，引进计算器，算法多样化”的主张。往后的文章就是专家和一线教师围绕“算法多样化”进行的解读或者实践研究的经验介绍，也有很多人提出了算法“多样化”与“优化”的讨论。

2.课程标准关于“算法多样化”的主张与删减

《义务教育数学课程标准（实验稿）》关于“算法多样化”的主张如表2所示。

此外，在教学方法多样化、问题解决策略多样化、评价多样化等方面，还给出了较多的提示和建议。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》删除了“算法多样化”主张。教学实施建议第七条“教学中应当注意的几个关系”中，关于“面向全体学生与关注学生的个体差异”的条文中提到：“在教学活动中，要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平;问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平。”这里没有出现“算法多样化”的字样，只在“解决问题”和“教学评价”中，适度使用了“多样化”等词语。

因此，在新修订的数学课程标准中对“算法多样化”的处理方式应引起高度重视。

二、问题的表现

课程标准中 “算法多样化” 的删减没能引起教师的注意，但是“算法多样化”给课堂教学带来了深远的影响。以北师大版教材为例，不少教师存在混淆算法与算理的问题。

【案例1】北师大版教材一年级上册“有几瓶牛奶·9加几”（如图1）

很多教师都认为，学生要通过教材这个例题掌握以下几种算法。

1.摆小棒法：（1）一根一根地摆，摆出14;（2）9根加1根，合成10根，再与4根合并为14根;（3）5根与5根合成10根，再与余下的4根合成14根。

2.圈图法：9根与1根圈在一起得到10根，再与4根合成14根;5根与5根圈在一起，先得到10根，再与4根合成14根。

3.数数法：从9后面接着数，10，11，12，13，14，连续数5个数。

4.凑十法：把5分成1和4，1和9凑成10，10加4得14。

5.计数器法：个位上先拨9个珠子，再拨1个，变成10个;满十向十位进一;再在个位上拨余下的4个珠子，得14。或者看教材上画的圈珠子图片，个位上14颗珠子，圈出10个向十位进一，余下4个珠子，得14（与计数器上不一样，学生无法操作）。

6.讲述法：把5分成4和1，9和1凑成10，10加4是14。

对于教材中编排的“智慧老人问：‘还有别的方法吗？”，教师和学生都毫无头绪。

【案例2】北师大版教材二年级上册“回收废电池·两三位数加法”（如图2）

很多教师都认为，学生要通过教材这个例题至少掌握四种算法。

1.口算法：先加整十数，122加70;再加个位数，192加7，得199。

2.数线图法：先画出122加70，再画出192加7，得199。

3.计数器法：先拨122，再拨77，得199。

4.竖式法：先写122，相同数位对齐，写上149，然后依次从个位加起;个位满十的要向十位进一，得271。

【案例3】北师大版教材三年级下册“队列表演·笔算两位数乘法”（如图3-1、图3-2）

三年级的两位数乘法是非常重要的知识，但是教师认为这样教给学生的算法太复杂，学生很难把握，所以普遍教学以下算法。

1.数点子法：按排数，12排;再按列数，14列。即每排14个，一个一个地数，得出12个14的总数是168。

2.分点子数法：（1）将其中一个数分成两个一位数，用原有的方法算出答案。如把12排分成2个6排，数出6个14是84，2个84就是168。（2）把14列分成2个7列来数，7个12是84，2个84是168。（3）把12排分成10排和2排来数，得到一个整十数140与2个14，和是168。（4）把14列分成10列和4列来数，得到整十数120与4个12，和是168。（5）横竖先各取10个点子，分成4个点阵来数。第一个点阵，10个10是100;第二个点阵，2个10是20;第三个点阵，4个10是40;第四个点阵，2个4是8;四个点阵的数合计168。

3.拆数法1：把两位数拆成两个一位数的积。（1）14×12，把12看成6和2的积，14乘6得84，84再乘2得168。（2）14×12，把14看成7和2的积，12乘7得84，84再乘2得168。

4.拆数法2：把两位数拆成整十数和一位数的和。（1）14×12，把14看成10与4的和，10乘12得120，4乘12得48，120加48得168。（2）把12看成10与2的和，14乘10得140，14乘2得28，140加28得168。

5.拆数法3：把整十数拆分出来先算。14×12，把14看成10与4的和，把12看成10与2的和。10乘10得100，2乘10得20，4乘10得40，2乘4得8。100加20，再加40，再加8，得168。

6.口算法：14×12，14×10=140，14×2=28，140+28=168

7.表格法：

100+40+20+8=168

8.竖式法：

从以上三个教学案例可以看出，教师的准备和教学十分认真，但是给学生讲完这些算法后，学生的感觉完全可以想象。

三、问题的解决

因为“算法多样化”的误导，计算教学产生了“后遗症”：教师怕没有落实“新课标”的要求而造成了什么损失，于是就糊里糊涂地教，学生就糊里糊涂地学。下面给出一些对策，也提出一些思考。

1.糊涂的算法“优化”，解决了不需要全部掌握的问题

有些教师想出了一条妙计就将其归为“算法优化”。课堂上就常常听到 “这么多算法，你喜欢哪一个？”，学生总会找一个自己喜欢的、最简单的算法。于是，教师就说：“你们真聪明！那就选一个最喜欢的方法来计算吧！”这样，教師就如释重负：因为他们既落实了“新课标”提倡的“算法多样化”精神，也了却了自己的心愿——尊重学生的选择。但是这样的教学效果非常差，中下水平的学生基本上是晕乎乎的，只是按自己喜欢的“竖式”“口算”去解题，那一大堆的小棒以及数线图、点子图就成了学生最不喜欢的“算法”。更有一些教师只在公开课摆摆小棒、拨拨计数器、画画图，平时就直接教学生“口算题”和“竖式题”。家长和教师都认为：算对就好，简单就好，别把孩子搞得“鸡飞狗跳”的。

2.创新的“拓展”设计，解决了计算教学讲不清算理的问题

为了计算教学既生动活泼，又能把算理说明白，有些教师创造性地设计了许多分清计算中的“理”与“法”的办法：巧妙地使用现实情境，先讲“理”再讲“法”;学生先自己看书讨论，等有“法”了再来讲 “理”……效果都不错。

（1）文字法讲算理：如214+35。214是由2个百、1个十和4个一组成的，35是由3个十和5个一组成的， 所以先把4个一与5个一相加得9个一， 再把1个十与3个十相加得4个十，最后把2个百、4个十和9个一合并得249。

（2）图形法讲算理：选一个典型的算式，引导学生画数线、圆圈、点子图……

（3）工具法讲算理：与学生一起摆小棒、拨计数器、打算盘……

（4）情境法讲算理：设计现场、运用实物、讲故事、画绘本、演课本剧……

好的教师都是说：“你们真聪明，用了这么多办法说明为什么要这样算的道理。”而不是 “看，这么多计算方法，选一个自己喜欢的方法做题吧！”相较之下，学生的感受高下立见。

3.真正的“专业”化理解，解决了计算教学的困境问题

为什么要“专业”化理解呢？就是要从数学教学的理论与实践的角度来研究算理与算法的本质，把握好计算教学的尺度，既要学会计算本身，也要掌握解决问题的策略。

首先从知识分类学来研究，搞清楚计算教学中三个关键问题：

（1）什么是算理？

算理，就是计算的道理。按照知识分类学理论，算理属于陈述性知识，是用来回答“为什么”的。与其相联系的还有一个回答“是什么”的陈述性知识，即常说的算式的“意义”。回答“为什么”之前，往往先回答“是什么”或者“怎么样”。比如：

教师问：“3只猫加上4只猫，是几只猫？”

学生答：“用加法算，把它们合起来数，结果是7只猫。”

教师问：“那3只猫加上4只狗，是多少呀？”

学生甲说：“不知道。”

学生乙说：“还是用加法算，把它们合起来数，就是7只动物。”

教师表示很奇怪：“怎么有人说不知道，有人又算出是7只动物了呢？”

学生甲说：“我不知道加起来是猫还是狗呀。”

学生乙说：“我也不知道是猫是狗，但是老师没有问是什么，我觉得它们都是动物，就把它们合起来数，得到7只动物了。”

教师很高兴：“大家觉得他们说得对吗？该不该鼓掌？”全班掌声雷动。

教师说：“看来无论算得出还是算不出都有道理。只要大家开动脑筋，就不会做错题了。”

那么，专业上提到的算理是什么意思呢？算理，就是用来解释为什么可以这样计算的一种事实、规则或者规律。

案例1中，在解释为什么“9+5=14”时，教材所用的方法有“数小棒”。第一种数法是从9接着数5个数，正好得14;第二种数法是先从5里面数出1根，和9根凑成10根，还余下4根，再合起来就得14根。算完了，算对了，这就是用摆事实的方法说清楚了为什么“9加5得14”。

计数器主要是解释为什么“满十要进一”。计数器每个数位上都有10个珠子，个位上的1个珠子表示1个“一”，十位上的1个珠子表示1个“十”。当这个计数规则确定后，就能说明“9+5=14”的道理了。个位上有9个珠子，再数1个珠子，个位就放满10个了，还有4个珠子没地方放。于是就规定用十位上的1个珠子来代替个位上的10个珠子，另外的4个珠子就可以放到个位上去了（注：新修订的一年级数学教材的处理方式破坏了这样的规则）。这样一来，无论是“9+7”还是“8+6”，都可以解释“满十进一”的做法了。因此，算理是可以“以此类推”的，没必要每道题都讲一遍。

案例2和案例3的数线图、点子图、表格等主要都是用来说明计算“122+77=199”“122+149=271”“14×12=168”等算式的计算道理的，但不是每道计算题都必须使用这些方法才可以算出得数。

低年级常用的这些讲算理的方式和思维方法，专业上叫作“实物直观”“几何直观”“情境直观”等。高年级的计算中用来说明计算道理的除了这些“直观”方式，还有“五大定律”“商不变的规律”“等式性质”等。

（2）什么是算法？

算法，就是计算得出结果的做法。按照知识分类学理论，算法属于程序性知识，是用来回答“怎么做”的。计算是一种行为过程，它既包含思考过程也包含观察过程和操作过程，需要在现实计算活动中总结出怎么做的程序、步骤与方法，即先做什么和怎么做，后做什么和怎么做，然后按照这个程序、步骤、方法就可以完成所有类似的计算。比如案例1的算法就是“接着数”和“先数1个凑成10，再把余下的数相加”两种算法。算法都可以在图和计数器上表示出来，也可以用小棒摆出来，从而说明道理。

案例2的算法就是“相同数位对齐，从个位加起，满十进一”，可以用画数线图、拨计数器等方式说明这种算法正确的道理。

案例3的算法有两层意思：第一层是先用两位数乘两位数的其中一个数，用拆分为“两数的和”或者“两数的积”的方法，转化为“两位数乘一位数”和“两位数乘整十数”的连乘或者乘加混合的算式，然后用学过的方法计算;第二层是采用“竖式法”记录前面部分算法的计算过程，这样更容易看清楚计算的过程，从而提高计算正确率。因此，教材主要使用点子图、表格等介绍与展示这些不同算法的合理性。

（3）算法真的多样吗？

算法是可以多样的，但不是教师理解的那么多。算法的多样，源于解决问题的思维起点的多样化。比如案例1中的“接着数”和“先数1个再凑10”就是不同的思维起点，虽然都是数数，但是数数的方式有差异，也就是说两种算法有所不同。

如果教师把用来讲算理的方法全部当成了用来计算得数的方法，那很多学生就不愿意去摆一摆、画一画、演一演，这样，学生的思维能力、积累活动经验能力、实践能力和创新能力等就得不到相应的培养。

因此，教师需要认真研究教材中的算理与算法，正确地把握计算教学的本质，教给学生解决问题的策略性知识，从而提高数学教学质量。

（责编 金 铃）