巧用三角板，培养好建模

王春燕

【摘要】三角板是学生学习数学的常用工具，本文从三角板的拼组、平移、旋转和构造等方面引导学生进行探究性学习，在掌握数学知识内容的同时，让学生体验、理解和应用建模思想，在“重新发现”和“重新组合”知识的过程中培养学生的创新精神和实践能力，培养学生良好的建模思想。

【关键词】三角板;建模; 创新;实践

三角板是学生学习数学的常用工具，一副三角板，由于它的边和角的特殊性，蕴含丰富的数学知识。由于贴近生活，联系实际，研究生活中的数学、体现数学与生活的紧密联系是数学新课程改革的重要内容之一，因此，以三角板为背景的中考试题倍受命题者的青睐，大量出现在各地的中考试题中，以三角板的平移、旋转、构造为主要内容的题型也层出不穷。三角板通过叠、拼、平移、旋转等手段，能构画出一道道立意新颖、构思巧妙的数学题。

建模是解决实际问题的一种强有力的数学手段，建模过程包括模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验及模型应用，整个过程对学生的数学综合能力是一个深挖掘、广开发的过程。我们从三角板的拼组、平移、旋转和构造等方面引导学生进行探究性学习，在掌握数学知识内容的同时，让学生体验、理解和应用建模思想，在“重新发现”和“重新组合”知识的过程中培养学生的创新精神和实践能力，培养学生良好的建模思想。

一、三角板的叠放

三角板是两个特殊的直角三角形，教学时抓住边的特征及角度的特征，充分利用直角三角形的一些性质，如直角三角形斜边上的中线是斜边的一半;直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，直角三角形的面积法;三角板中的特殊角度：30°、45°、60°、90°等。

平时教学过程中，可以让学生像“搭积木”一样，用拼三角板的方法画出的各种特殊角或者判断能否拼出哪些特殊角。

例：用拼三角板的方法能画出哪些特殊的角。

师：同学们能用三角板画出哪些特殊角？

生：30°、45°、60°、90°……

师：除了这些角度，用一副三角板还能画出哪些特殊的角？请小组进行合作探究。

生：75°、105°、120°、135°……

师：很好！那么用拼三角板的方法能画出的最小度数是多少度？

生：15°

师：用拼三角板的方法画出的特殊角有没有规律呢？

生：老师，我们小组探究发现：用拼三角板的方法能画出的最小度数是150，而我们会画角的和倍，就可以画15的倍数的角。

师：说得真好！请你们四人小组上台用三角板画出15倍数的特殊角（小于平角的角）。

四人小组上台展示，孩子们报以热烈的掌声。

接着给出学生活动：判断下列角度是否能用拼三角板的方法画出？

75°、80°、95°、155°、175°

同学们很高兴地运用刚才探索得到的结论进行了正确的判断。

学生在运用三角板叠放中进行探究性学习，提高了学习数学的兴趣，体验了三角板的数学模型思想。如果学生能够建立三角板模型，像“搭积木”一样，在叠放中寻找三角板的模型，这样不仅能够帮助学生深化对数学知识的理解，还能让学生感悟其中的建模思想而且能够增强他们的探究欲望，提高学习效率，培养和发展他们的创新实践思维能力。

二、三角板的平移

三角板的平移是一种全等变换，学生熟练运用三角板平移的性质：平移前后图形的形状和大小不变（两个图形是全等形）;对应线段平行且相等、对应角相等，仔细辨别出哪些是变量，哪些是不变量，以不变应万变，同时抓住图形的位置关系，培养建模思想。

“有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿和记忆;有效的数学学习过程应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略”。教师可通过典型例题引导学生发现三角板模型，感悟三角板的操作变化，引导学生分析三角板的运动过程，明确不同时段重叠图形形状的变化情况，将几何中的平移知识，代数中的函数知识有机地进行结合，引导学生抓住问题中的内在联系进行探究。在教学过程中，通过学生观察平移前后的图形变化，向学生渗透建模思想，培养学生观察能力和归纳推理能力.。

三、三角板的旋转

三角板的旋转是一种全等变化，学生熟练运用三角板旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等。熟练运用三角板边的特征及角度的特征，建立模型思想。引导学生仔细辨别哪些是变量，哪些是不变量，抓住全等三角形的对应线段相等得以解决，培养学生的观察能力、建模思想、几何知识综合运用能力。

例  2014年广东省中考数学试卷第16题

如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于             .

解：

∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'，∠BAC=90°，AB=AC=，

∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC'=∠C'=45°，

∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，

∴AD=BC=1，AF=FC'

=sin45°AC'=AC'=1，

∴图中阴影部分的面积等于：S△AFC'-S△DEC'=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1.

通过此题引导学生找出三角板的模型，让学生掌握旋转的性质以及三角板特殊的边角关系等知识，通过三角板特殊的边角关系，得出AD，AF，DC′的长，培养学生建模思想。

四、三角板的構造

学生眼中有图，心中有三角板模型后，有些图形可以通过作垂线段，构造直角三角形，从而构造出三角板的模型。再利用勾股定理和直角三角形含30°角的性质;在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解决几何问题或者三角函数问题。

通过作垂线段构造两个直角三角形，相当于一副三角板，进而借助三角板特殊的边角关系解决问题。

在数学教学过程中，通过让学生对问题全过程的参与与自我尝试，以探究式的方式进行数学学习，建立模型思想，不仅掌握了丰富的数学知识，还提高了学生学习数学的积极性，激励学生乐于研究探索问题的起源和发展过程，抽象并建立良好的数学模型，使学生的创造力得到了发展，增强了学好数学的信心，从而有利于培养独立思考的品质和探索精神，提高分析问题和解决问题的能力。

【参考文献】

[1]北京师范大学出版社数学室编著.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2] 李树臣.数学建模才是学生最重要的素养[J].山东教育，2017（9）.

[3] 郭韶.初中数学思想与方法渗透数学的五条路径[J].学科空间，2017（01）

（责任编辑：邓羽婷）