矩阵特征值与特征向量的几何意义

雍龙泉

(陕西理工大学 数学与计算机科学学院， 陕西 汉中 723000)

特征值与特征向量是《高等代数》《线性代数》《矩阵论》中的两个重要概念，目前被广泛应用于动力系统、机器学习、图像处理、数据挖掘等热点领域中[1-3]。现行教材在给出其定义之前缺少引入过程，使得特征值与特征向量的概念抽象难懂，更显得突兀，导致学生接受困难[4-11]。本文以2阶方阵为例，重点阐述特征值与特征向量的几何意义。

(1)

下面从几何上来研究向量y=(y1,y2)T随着x=(x1,x2)T变化的轨迹分布。

1 矩阵A可逆时

矩阵A可逆，即ad-bc≠0。当ac+bd=0时，则方程(1)表示一个椭圆，且椭圆的长轴与短轴分别在坐标轴上；当ac+bd≠0时，则方程(1)还是一个椭圆，此时椭圆的长轴与短轴不在坐标轴上。下面举例说明。

(2)

方程(2)表示一个椭圆，其长轴与短轴在坐标轴上，如图1所示。例1表明，通过该线性变换，单位圆变成了一个椭圆。

图1 线性变换的轨迹

当x位于水平方向，如图2(a)所示；当x位于竖直方向，如图2(b)所示。

此时两个向量共线，即

(a)特征值-1对应的特征向量 (b)特征值2对应的特征向量图2 特征值与特征向量的几何意义

图3 线性变换的轨迹

(3)

方程(3)表示一个椭圆，其长轴与短轴不在坐标轴上，如图3所示。

例2表明，通过该线性变换，单位圆变成了一个长轴与短轴均不在坐标轴上的椭圆。

由于

(a)特征值-2对应的特征向量 (b)特征值4对应的特征向量图4 特征值与特征向量的几何意义

图5 线性变换的轨迹

(4)

方程(4)表示一个长轴与短轴不在坐标轴上的椭圆，如图5所示。

由于

(a)特征值-1/2对应的特征向量 (b)特征值5/4对应的特征向量图6 特征值与特征向量的几何意义

图7 线性变换的轨迹

(5)

这表明，通过该线性变换，单位圆变成了一个椭圆，此时椭圆的长轴与短轴不在坐标轴上，如图7所示。

由于该矩阵在实数域上没有特征值和特征向量，因此Ax与x始终不能重合。

事实上，该矩阵的特征值为

注：本文重点研究特征值为实数时矩阵特征值与特征向量的几何意义；特征值与特征向量为复数时几何意义不明显。

2 矩阵A不可逆时

矩阵A不可逆，即ad-bc=0，这时方程(1)变化为

(6)

下面举例说明方程(6)表示的曲线。

(7)

(a)单位圆变换为线段 (b)点的对应关系图8 线性变换的轨迹

由于

图9 线性变换的轨迹

(8)

由于该矩阵对应的特征值为0，且0为2重特征根。对应的单位化特征向量

3 结语

本文首次以矩阵的可逆性、对称性作为分类原则，通过线性变换的不变量引入特征向量与特征值的概念，能够帮助学生更好地理解矩阵特征值与特征向量的定义。