一类三阶矩阵特征向量的特殊求法

江苏省南通理工学院基础教学学院 王欣欣

柯朗曾说：“分析和构造是数学的基本要素之一,正是互相对立力量的相互作用才构成了数学学科的生命和崇高价值。”由此可见，创造性的推理活动在数学的思维过程中是非常必要的，它可以使我们更深刻地理解数学，进而拥有建构数学对象的方法。而数学对于同一类问题，有时会赋予人们不同的解决方式，从而吸引人们去发掘和探索其未知天空的广袤。

矩阵理论作为数学的一个重要分支，具有极为丰富的内容。其中，大部分科学与工程问题都可以归结为矩阵计算的问题，对于求解矩阵的特征向量，常规方法为解方程组（λE-A）x=0，而不同的学者对于这类问题提出了自己的见解。文献[3]中，通过对给定矩阵的多项式函数和种子向量进行分析，直接求得矩阵的特征向量。文献[4]中，通过对特征矩阵进行初等变换,给出了矩阵的特征根和特征向量的同步求法。本文则采用行列式的方法求解一类三阶矩阵的特征向量。

一、相关定理

定理1 若λ1≠λ2≠λ3，则先求矩阵A 的对应于特征值λ1=α 的一个特征向量，则对于λ2=β，λ3=γ 对应的特征向量求法类似。

由于特征向量为非零向量，故可以分以下三种情况：

（1） 若以下三个条件同时满足：

则A 的对应于λ1=α 的一个特征向量为：

（2）若以下三个条件同时满足：

则A 的对应于λ1=α 的一个特征向量为：

（3）若以下三个条件同时满足：

则A 的对应于λ1=α 的一个特征向量为：

注：如果（1）（2）（3）同时满足，那么任选其一作为相应的特征向量即可，其结果是相同的。

以下给出（1）的证明，而对于（2）（3）的证明与（1）类似，在此不再赘述。

其特征值为λ1=α，λ2=β，λ3=γ，且。

若同时满足定理1 中（1）的三个条件，则对应于特征值λ1=α 的特征向量应为：

由式（4）以及λ1=α 为A 的特征值可得：

则（10）式可变为：

定理2 若λ1=α，λ2=λ3=β，且时，求对应于λ1=α 的一个特征向量的方法同定理1，对应于λ2=λ3=β的特征向量分以下两种情况：

定理3 若λ1=λ2=λ3=α，求对应于λ1=α 的一个特征向量的方法分以下两种情况：

二、例题

解：A 的特征多项式为：

所以A 的特征值为λ1=0，λ2=-1，λ3=1。

应用定理1 可得：

则A 的对应于特征值λ1的一个特征向量为：

则A 的对应于特征值λ2的一个特征向量为：

则A 的对应于特征值λ3的一个特征向量为：

解：A 的特征多项式为：

所以A 的特征值为λ1=2，λ2=λ3=1。

应用定理2 可得：

则A 的对应于特征值λ1的一个特征向量为：

则A 的对应于特征值λ2的一个特征向量为：

解：A 的特征多项式为：

所以A 的特征值为λ1=λ2=λ3=-1。，满足定理3 中的（1）。

则A 的对应于特征值λ1的一个特征向量为：

解：A 的特征多项式为：

则A 的对应于特征值λ1一个特征向量为：

则A 的对应于特征值λ3的一个特征向量为：

则A 的对应于特征值λ3的一个特征向量为：