基本事实的教学实践与思考*——以“探索直线平行的条件(1)”为例

钟 鸣 (江苏省无锡市西漳中学 214171)

初中数学“图形与几何”领域中的9条基本事实的教学，在一线教学中给执教者带来很大的困惑.这9条基本事实是反映“图形与几何”领域最基本的规律或特点的、经过长期实践的检验得到普遍认可的、无需证明的事实.正因如此，它们的教学不同于常见的几何内容教学.无需证明怎样让学生理解？怎样设计教学才能让学生理解其基本内容、基本作用和基本地位？笔者在设计和执教苏科版初中数学教材七下“7.1探索直线平行的条件(1)”时，进行了两次不同的教学实践，通过对比，对此有了一些基本认识，作一分享，求教方家.

1 对基本事实的分析

基本事实是“公理”的演变.公理是经过人类长期反复的实践检验为真实的、不需要由其他命题证明的命题和原理.从本质上看，公理是某个演绎系统的初始命题，是推出该系统内其他命题的基本命题，在该系统内不需要其他命题来证明它.为了降低教学难度适应初中生认知水平，在初中数学“图形与几何”中，把一些重要的但证明的难度较大的定理也作为公理，并且用“基本事实”一词代替“公理”，体现了“教育数学”的理念.初中数学“图形与几何”部分的“基本事实”在苏科版教材中的分布如表1：

表1 苏科版初中数学“图形与几何”中基本事实分布表

从“基本事实”的来源看，它具有可感知性(借助于感觉器官可以感知)、真实性(借助于实践经验或动手操作可以验证其合理性)、基础性(能作为数学某个子系统的初始命题)[1].这就要求基本事实的教学要注重：设计自然有效的探究活动,经历“再创造”的数学化过程；目标定位侧重于“数学思考”“问题解决”“情感态度”；重视基本思想的感悟和基本活动经验的积累.

2 教材解读

“探索直线平行的条件(1)”是苏科版教材七年级下册第7章第一节第一课时，主要知识内容是“同位角概念”和“基本事实5”.

“同位角”的产生有着确定的根源.两直线相交产生4个角，区分为两组对顶角、4个平角，他们之间存在确定的数量关系，“知一求三”是其典型特点，所以只要选择一个角作为代表即可.两条直线被第三条直线所截，当我们关注两个交点处的时候，就可以选择2个角作为代表来进行研究.这2个角相对于三条直线的相对位置的特点，就决定了“同位角”“同旁内角”“内错角”三类角的产生.本节课主要研究第一类角——同位角.

“基本事实5”的“可感知性”“真实性”有着现实的基础.学生所熟悉的用三角尺和直尺画平行线，其数学抽象的本质就是构造“同位角相等”的基本图形.木条作为学具使用，学生具身参与，更突出了“可感知性”和“真实性”.教材先以“用三角尺和直尺画平行线”为问题情景1，让学生感受对应角的相等数量关系可以得到两直线平行，再以“转动木条”为问题情景2，强化感受不等的两角不能得平行，相等的两角可以得到两直线平行，从而对这两角进行观察、比较、认识，在命名这组角的基础上归纳直线平行的第一个条件，即基本事实5：“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.”

3 问题困惑

在实际教学中，很多教师往往感到很无奈，在问题情景1中学生从画平行线到注意到对应角的关系很困难，最后还是由教师给出.更甚者，认为这就是一个基本事实，直接告诉就好，把时间花在对同位角的辨别以及基本事实的应用上更实在、更有用.

事实上，我们需要深入思考：

①本节课探究的意义何在？因为，哪怕直接给出这一事实，然后让学生多练练，掌握这个基本事实是没有问题的.

②对于这节课而言，课时目标定位重点是“知识技能”层面还是“数学思考”“问题解决”“情感态度”层面？

4 教学实践

4.1 教学实践1

活动1 请你用三角尺和直尺画出两条平行的直线.

设计意图此前学生在小学数学学习过程中利用三角尺和直尺画平行线，在初一第二学期学习第六章《平面图形的认识(一)》时也经历过用三角尺和直尺画出平行线，操作经验丰富，以此作为生长点探索直线平行条件更加自然.

实际状况：学生能很快画出平移直角的图形，平移其他角的情形需要教师提醒.出现这样的状况说明学生没有把两直线平行跟平移角的类型联系起来，只是凭着以往的经验直觉以及直角的方便，而忽略了平移角的其他类型.如果此时就问为什么两直线平行，学生会一头雾水.

问题1刚才的操作过程中，如果要保留一些必要的几何元素，你认为保留哪些呢？能画出图形吗？

设计意图从数学活动中抽象出几何图形，是培养“空间观念”的具体方式，是“数学化”的过程.从情景中抽象出数学元素，然后寻找突破口解决问题，是学习数学的必要本领.

实际状况：学生只保留了两条平行线.此时需要教师还原操作过程，让学生发现直尺的作用，从而能完成“两条直线被第三条直线所截”的几何图形的抽象过程.

问题2有了直尺所代表的第三条直线的加入，这个图形中多了哪些几何对象？

设计意图将学生的观察点向角的方向转移，也为同位角的产生前提(两直线被第三条直线所截)做好铺垫.同时有了上述两个问题的铺垫，学生自然而然地想到了与角有关，即直尺不动，三角尺在平移过程中，其对应角的大小不变.也就是说画平行线的过程实际上是画相等角的过程.

问题3图中的∠1=∠2(即对应角相等，图略)，它们的度数分别是60°，30°，90°，45°，那对于其他角度的这样的对应角相等，是否也有上面的结论呢？

设计意图从特殊到一般地进行推广，带领学生经历归纳猜想的过程，体验归纳推理，在这个过程中培养学生的创新意识.

活动2 (操作验证)如图1，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b和c，逆时针转动木条a,观察：在木条a的转动过程中，∠1与∠2的大小关系发生了什么变化？木条a和b的位置关系发生了什么变化？

图1

设计意图活动1是从正面、从特殊角度去感受对应角相等、两直线平行.活动2的目的从反面感受当任意角∠1与∠2不相等时，两直线a，b会有交点，只有∠1与∠2相等时，两直线a，b才平行.如果说学生在活动1的感受还是模糊的，那么到活动2时感受应该是很强烈的：直线a，b是否平行，与∠1，∠2的大小关系有关.

活动3 (认识两角)下略.

4.2 教学实践2

活动1 (摆一摆、画一画)教师手里有两根木条，演示不同的摆放方式.

问题1从数学的角度，画出对应的几何图形，你有何发现？

设计意图本节课是第7章《平面图形的认识(二)》的章始课，有着“瞻前顾后”的作用，“瞻前”是指找到本节课的生长点，“顾后”是指本节课为后续学习提供什么.本节课的生长点可以认为是七下第6章《平面图形的认识(一)》中基本几何元素的认识和表示，两直线的位置关系：两直线相交出现对顶角，而且对顶角相等，这里其实已经隐含了两直线和对顶角之间的关系，特别是两直线相交的四个角中有一个角为直角，那么这两条直线垂直，更是由角的数量特征得到了两直线之间的特殊的位置特征，这都为本节课的学习做好了准备.

实际状况：学生能够根据教师的不同摆放方式，顺利画出两条直线的不同位置图形.也能够自然地意识到位置与夹角有关，但是在清晰表达上需要教师的引导和纠正：两条直线的位置关系与它们相交产生的角的数量特征有关.

问题2再加入一根木条b，画出对应的几何图形(图2)，请问木条a与b有怎样的位置关系？(平行或是相交)

图2

设计意图不断地由实际物体抽象出几何图形，就是对学生空间观念的一种强化，也为学生建立位置关系和角数量关系之间的联系提供了暗示.一方面多了一条直线，就多产生了另外两组对顶角，总共4组对顶角8个角；另一方面，木条a与木条b不同位置关系的时候，四组对顶角关系也不同.这样就在两条直线的位置关系和四组对顶角的数量关系之间，设计了一种暗示：它们之间有联系.

问题3什么时候直线a,b是平行的，什么时候又是相交的呢？

问题4在四组对顶角里各选择一个代表，如图3，不妨记木条a,c相交成∠1，并固定木条a，c，木条b与c相交成∠2，在转动木条b的过程中，你有什么发现？

图3

设计意图木条转动过程带来了角的大小变化，这样的一个设计更直观地让学生感受到正是∠1与∠2的大小关系影响了两木条a与b的位置关系，基本事实呼之欲出，从而自然地要对这组对应角进行研究.

活动2 (认识两角)

问题5从上图抽象出几何图形，∠1与∠2产生的前提是什么？(直线a,b都与直线c相交)

问题6形成几个角？(8个)

问题7这8个角对于这三条直线来讲又有不同的位置，为了便于说明，我们把直线c称为截线，直线a与b称为被截线.说说∠1与∠2有怎样的位置特征？8个角中还有这样的角吗？

问题8你能用同位角叙述刚才得到的结论吗？

设计意图从探究需求中自然引入两角，观察位置特征，需要对三条直线进行描述，自然地，给出三条直线的名称会比较好描述，根据对应角的位置特征取名同位角也是水到渠成.至此基本事实已经得出：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.

活动3 (想一想、议一议)

问题9我们在小学以及初一下学期的数学学习中，都经历过用三角尺和直尺画平行线的过程，你现在能告诉我为什么这么画两直线就平行吗？

设计意图学习往往是螺旋式上升的过程，之前对两直线平行的认识只是停留在操作层面和直观感受上.通过获得的基本事实再反观之前的学习，验证之前操作的正确性，学会利用基本事实解释画图操作的有条理说理.

3.3 对比思考

显然，两种不同的教学实践都没有直接给出基本事实，课堂教学的目标重点都不是纯粹地在概念和基本事实的知识层面，而是通过探究让学生感受基本事实的合理性，通过设计自然有效的活动，让学生学习活动的数学和再创造的数学.“个体发展过程是群体发展过程的重现”，活动设计的自然是指既要符合个体的心理特点、认识规律，也要符合群体发展的基本规律；活动设计的有效是指只有经过学生自己的具身探索、体验，经过自己的“再创造”才能被真正地接受和掌握[2].就如同在游泳中学会游泳、在骑自行车中学会骑自行车，应该让学生在“再创造”数学中学会学习数学.在这节课中，两种实践都是在这样的过程中让学生真实地经历和感受形与数之间的关系，促进学生数学思维深度参与，这就是本节课探究的意义所在.

两种实践都是通过数学活动、对数学活动的数学抽象、特殊到一般的归纳猜想和操作验证的过程去感悟基本事实的合理性，在这个过程中形成几何直观、建立空间观念、发展合情推理与演绎推理能力、发展形象思维与抽象思维.学生在独立思考、合作探究、观察演示和操作画图中，体会了数学的基本思想和思维方式，思维参与是深度的.目标定位都侧重于“数学思考”“问题解决”和“情感态度”层面.

教学实践1与教学实践2的设计差异主要是同样的教学素材出现的顺序不同，顺序的不同有着不同的实际效果.教学实践1更能让学生对“基本事实5”经历“从‘初步感知’开始逐步明晰，到最终‘深刻认同’”的过程，但是对“为什么非得选取这样的角”却始终心存疑问，无法满足初中生好奇心的天性需求.教学实践2解释了“同位角”的产生根源，解决了“为什么非得选取这样的角”的疑惑，更能贯通学生数学学习的前后联系，形成对数学学习的整体理解，但是对“基本事实5”的理解体验的深切程度却没有教学实践1高.

事实上如果将两种教学实践进行恰当的组合，同时在时间控制上作出合理安排，将会有更好的效果.例如，将教学实践2的活动1替换到教学实践1的活动3，或者将教学实践1的活动1中的问题1和问题2替换到教学实践2的活动3中.

4 基本事实的教学建议

由此看来，基本事实的教学不能因为基本事实的不证自明和直观真实就一带而过、直接给出，必须重视以下几点.

4.1 重视深切体验

基本事实教学要重视探索过程中的深切体验.基本事实中蕴含着基本的数学思想，“基本思想”是最能够体现数学本质特征的思想，包括数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想.在基本事实的探索过程中，从生活实践的现实抽象成数学事实的抽象思想，通过数学推理确认数学事实合理性的推理思想，运用数学事实解释生活现实的建模思想，构成了一个从生活到数学再回归生活的完整闭环.

基本事实的“可感知性”和“真实性”正是在这一闭环中获得深切体验，数学基本思想也得以渗透，学生的思维参与必然是深度的.这样的经历，最终沉淀为宝贵的数学基本活动经验，成为学生后继数学学习的重要基础，成为数学能力和素养成长的重要滋养.

4.2 重视具身认知

基本事实教学要重视“做数学”的具身感知.认知是包括大脑在内的全身心的认知，顾泠沅先生的四个基本教学原理告诉我们，学习绝不仅仅是思维过程，而是外周行为结构和中枢的心理结构之间的互化过程，来自环境的知识、经验、体验可以转化为学习者的认知结构、情意状态和行为结构.

将学生熟悉的工具转变为学具，学生在动手操作中思考操作背后的数学原理，充分发挥学生活动的自主性，在亲身参与中获得成长，在宽松和谐的氛围中全身心投入，增强学生对基本事实的“可感知性”和“真实性”的确认，在内心深深锚定，为“基础性”奠定坚实的基础.

4.3 尊重学生天性

基本事实教学要重视学生学习过程中的自然天性.学生天性总喜欢问“为什么”，而对“为什么”的解释必然涉及一些公认的事实，总有逻辑起点.但是基本事实本身就是逻辑起点，尊重学生天性，给出满足学生天性需求、为学生所接受的解释，显得尤为重要.

在为学生揭示基本事实从生活实践中自然提炼的过程中，带领学生经历数学化的过程.通过设计逻辑自然的探索过程，在每一个数学专用语(概念或原始概念)出现的关键环节，带领学生思考或者为学生提供合乎情理的解释，满足学生的好奇心和求知欲，解答学生天性中“为什么”的疑问.

当然，本文是表1中基本事实5的教学实践基础上作出的思考，其他基本事实的教学如何实施，还需要后继逐一实践研究.也希望能引起同行关注，共同探讨.