基于学情分析 实施精准教学*——以“对数的概念”为例

刘晓丽 刘 银 (江苏省镇江第一中学 212016)

“教”始终围绕“学”开展，教学中应根据学生的思维发展水平和数学学习规律安排学习探究活动.根据维果茨基的最近发展区理论，教学就是要教师帮助学生弥合当前认知水平与潜在认知水平的差异[1].明确学生当前认知水平是设计教学的首要任务，准确有效的学情分析是定位教学起点、明确教学目标、设计问题情境、预见教学重难点突破口的基础前提.教学过程中，学生的思维一旦在教师创设的思维入口“登陆”以后，思维在各自的“认知平台”上呈“脱缰”之势，教师如何在学生思考出现困难时及时给予指导与帮助，及时把握和调整思维方向，同样都需要教师对学生的反应进行动态的分析[2].时时关注动态学情，学情分析应贯穿于教学过程的始终，乃至于当前学习效果的检测也是下一次课前学情分析的基础.近日，笔者有幸参加江苏省中小学青年教师教学技能大赛并荣获一等奖，回顾整个比赛过程，笔者经历多次同行、专家的指导帮助，多次改进教学设计，收获颇多，以下再现改进成果片段——对数概念的“三次认知”过程与同仁分享，不当之处请批评指正.

1 学生学情分析

本节课的核心任务是认识什么是对数？为什么要研究对数、怎样研究对数、研究对数有什么用．授课对象是高一学生．在从知识结构上，学生已经学习了集合、函数的概念、函数的表示方法以及函数的一般性质，对函数有了初步的认识，在此基础上又有研究指数(根式)这种“新数”的一般方法，有符号化表示无理数的经验，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程；这些都为学生研究对数提供了探究方法和理论基础．在能力水平上，学生已经具备一定的抽象、推理、类比等能力.但对数是一个全新的概念，学生理解起来有一定困难，归纳、类比、概括能力也不足.教学过程中需要教师指导，以使学生习得独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法，学会将已有的经验迁移到新知识的学习上.

2 教学过程设计

引入：法国数学家拉普拉斯曾说：“‘对数’用缩短计算时间的方式,延长了天文学家的寿命”.那么，对数是怎样简化计算的呢？让我们开启“对数”的学习之旅.

2.1 把握新知识孕育点,完成对数概念的第一次认知——直观感知

情境1某种细胞在分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……

由此，若知道了1个细胞的分裂次数x，就能求出分裂后相应的细胞数y=2x；反过来，若知道了分裂后相应的细胞数y，怎样求出分裂的次数x呢？

引例问题：若分裂后相应的细胞数是8，分裂的次数x是多少呢？这里我们不难得到：2x=8⟹x=3，指数3是由底数和幂值唯一确定.

设计意图基于学生对细胞分裂问题较为熟悉，通过此实例直观感知“求指数”的方程有解，由于苏教版新教材将“对数”放在指数函数之前学习，本节课无法解释“求指数”的方程有解及解的唯一性，因此本教学设计先通过一个很容易看出解的“指数方程”，感知“求指数”运算的存在实然.

情境2假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加1%.

问题1 你能就此情境提出1-2个有意义的问题吗？

学生活动：学生思考后交流想法.教师引导学生选择与本节课内容密切关联的问题进行研究.如①经过5天，数学水平是多少？②经过多少天后，数学水平是原来的2倍？

问题1.1 你的问题如何用数学符号表示呢？

问题1.2 你能解决吗？不能，怎么办？

问题1.3 遇到新的问题，一般要怎么想？

问题1.4 之前见过类似的方程吗？

学生活动：自主分类,指数式ab=N中已知两个量求第三个量的问题：

(1)已知a，b，求N；(求幂值是乘方运算)

如22=N⟹N=4，23=N⟹N=8．

(2)已知b，N，求a；(求底数是开方运算)

(3)已知a，N，求b.(猜想：求指数也属于某种运算)

如2(?)=8，1.01(?)=2.

设计意图基于学生对幂的乘方运算的认知基础，问题1引领学生主动发现、提出问题，发展学生的创新意识.借助方程思想分析对数产生的数理逻辑，体验是什么问题促使我们引入新形式的数；在“数据的无限和运算的有限”之间产生认知冲突，进而产生学习的欲望和动力；在解决指数方程1.01x=2中感知新知识的孕育点，进一步推动学生用数学的眼光观察世界.学生经历、积累一定量的感性认识，才能为“思”和“想”提供直观基础和感性经验，这是学生通过直观感知第一次认识“对数”.实际上课堂研究的两个问题都是围绕指数式ab=N，已知两个量求第三个量的问 题,借助方程思想引导学生自主分类，发现新旧知识联系，猜想“求指数也属于某种运算”，提高学生学习数学的兴趣.回顾和、差、积、商、乘方、开方 这些熟悉的运算，学生在类比中自然猜测“求指数”也属于某种运算，增强学生学好数学的自信心.

2.2 抓住深度学习支撑点,完成对数概念的第二次认知——文字语言

问题2 填一填、说一说，说出下列等式中的对数

设计意图从熟悉的指数式出发,建立已有知识(指数)与新知(对数)之间的内在联系，将直观印象的“指数关系”向“对数关系”过渡，学生在“填一填、说一说”的过程中，正例强化逐步形成对数概念的文字语言，为后面对数符号的出现作重要铺垫.

2.3 牢系对数概念生长点，完成对数概念的第三次认知——符号语言

问题3 脱离细胞分裂的实际背景，若2b=3，这里的b又是谁的对数呢？

问题3.1 能像上面一样，用我们学过的具体数把它表示出来吗？若不能，怎么办？

问题3.2 你觉得它与哪些数有关呢？

问题3.3 以前有过类似的学习经历吗？谈谈你的想法.

问题3.4 以前有过用符号表示一个“新数”的经历吗？

问题3.5 这里要表示b,怎么办？

问题3.6 你能将“填一填、说一说”中的对数用符号表示出来吗？

设计意图2b=3中的b不像前面几个对数能立刻算出具体数值，这就引发学生思考，迫切需要引入新的符号.这里体验了什么问题促使我们引入新形式的数、引入新符号的必要性.学生经历从具体到抽象的过程，发展数学抽象素养，提升创新意识，也为后续其它概念(如复数)的引入作铺垫.将对数概念的“文字语言”向“符号语言”过渡，学会用数学语言表达.学生在“填一填、说一说”的过程中，通过正例强化对对数概念的符号语言的理解.到这里对数概念的出现水到渠成.

问题4 根据上面这些例子，你能得到一般情况下的对数概念吗？

对数的概念：如果ab=N(a>0,a≠1)，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b.其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．

3 教学反思

教学设计应基于学生学情分析视角，步步以学生的元认知为起点，适当使用启发性提示语，不断地为学生搭建思维阶梯，旨在创设螺旋式上升的数学探究课堂，使学生在主动参与知识建构中提升数学核心素养.

关于对数的概念的教学，只有学生经历、积累一定量的感性认识，才能为“思”和“想”提供直观基础和感性经验.从对数概念的形成过程中感知一个新概念的建立、发展过程，培养学生发现问题、提出问题的能力，提升逻辑推理的数学核心素养.将学生已有的“用符号表示无理数”的经验，类比迁移到对数符号的学习上，在解决2b=3的求指数过程中，对原有知识进行创新，迫切需要“创造”对数符号．在“填一填、说一说”两次正例强化对对数概念的理解，使对数概念的出现水到渠成.对于高一学生来说，尚未完全掌握学习一个新的数学概念的方法，对数还是一个全新的概念.在学习过程中，教师及时补充启发性提示语，帮助学生将已有经验逐步迁移到新知识的学习上.学习的过程就是不断地提出问题、解决问题的过程，提出问题比解决问题更重要，教师应给学生提供提出问题、选择研究方法的机会，逐渐学会研究问题，学会学习，促进能力发展.整个教学过程中，重视认知主体“我”的感受、体验，倾听“我”的想法，课堂上让学生说过程、说想法、说结论，理解概念、掌握方法，感悟思想，提升素养.

“三次认知”既是语言表达方式的跃迁，又吻合了数学抽象的一般过程；既满足了学生知识发展的认知需求，又帮助学生实现了知识的重新建构；既实现了基础知识、基本方法的习得，又凝练了数学核心素养的培养.以学定教是实施教学的基本原则，从这个角度来说这节课的设计是“用心”的，为学生构建了“前后一致、逻辑连贯”的学习过程，帮助学生由学会到会学.有效地把握好学情才能精准地设计教学活动，才能获得卓越的教学效果.