一维反转对称光子结构的表面阻抗特性及其应用

王焱萍， 毛维涛， 赵秋玲， 张清悦， 王 霞

(青岛科技大学 数理学院；山东省新型光电材料与技术工程实验室，山东 青岛 266061)

近年来随着拓扑绝缘体[1-2]概念的提出，拓扑物理学发展迅速[3-6]，拓扑光子结构也很快引起人们的极大关注。香港科技大学CHAN教授课题组理论研究了在一维拓扑光子结构中产生光学界面态(interface state)的条件，并指出在同一带隙内，表面阻抗符号相反的两个半无限大光子结构可通过组合产生界面态[7]。由于单个结构的反转对称性，这类界面态具有拓扑保护特征，对实验噪声具有很强的鲁棒性[8-9]，此外层状光子结构通过常规的电子束蒸镀等技术易于实现制备[10]，因此对具有反转对称特征的层状光子结构的光学特性做进一步的分析研究具有实际的应用意义[11-16]。本研究基于传输矩阵方法研究了具有反转对称特征的层状光子结构的光谱轮廓曲线和表面阻抗特性，分析了反转对称光子结构的表面阻抗符号在不同带隙内的变化规律。

1 一维无限大反转对称光子结构的反射光谱

1.1 传输矩阵法分析光子结构的反射光谱

考虑由两种材料构成的二元层状光子结构，如图1所示，根据元胞分布不同将结构分为两种类型，分别定义为PCI结构和PCII结构,蓝色方框部分对应PCI结构的一个元胞，由厚度为xda的介质A、厚度为db的介质B以及厚度为(1-x)da的介质A构成；红色方框部分对应PCII结构的一个元胞，由厚度为xdb的介质B、厚度为da的介质A以及厚度为(1-x)db的介质B构成。x为厚度系数，取值范围为0～1。当x=0.5时，两种结构均为反转对称层状结构，其中PCI结构各层介质厚度分布为0.5da-db-0.5da-0.5da-db-0.5da……-0.5da-db-0.5da，即反转对称中心位于介质B中；PCII结构的各层介质厚度分布为0.5db-da-0.5db-0.5db-da-0.5db……-0.5db-da-0.5db，反转对称中心位于介质A中。当x取其它值时，两种结构均不具备反转对称性。考虑实际应用，在计算中选取SiO2和TiO2两种常用的氧化物材料分别作为介质A和介质B，两种材料在光学波段的折射率[17]分别为nTiO2=2.068+1.25×10-2·λ-2+4.90×10-4·λ-4、nSiO2=1.435+7.49×10-3·λ-2-5.07×10-4·λ-4，式中波长取μm的单位。这两种氧化物介质的折射率对比度较高，且在光学波段范围内的光吸收可以忽略不计。

图1 由A和B两种材料构成的PCI和PCII两种光子结构示意图Fig.1 Photonic structures of PCI and PCII consisting of A and B materials

传输矩阵方法是基于麦克斯韦方程组计算和分析一维光子结构常用的方法，光波垂直通过厚度为dj的第j层介质的传输规律可用传输矩阵Pj表示为[18]

(1)

(2)

图1(a)所示的PCI光子结构一个元胞的矩阵TABA可表示为

TABA(x)=P(ka,x·da)·Ma→b·P(kb,db)·

其中，

(3)

同理，图1(b)所示的PCII光子结构的一个元胞的矩阵TBAB可表示为

TBAB(x)=P(kb,x·db)·Mb→a·P(ka,da)·

其中，

(4)

比较PCI和PCII结构元胞的矩阵元素a1、a2可知，a1、a2与x无关且有a1=a2，此处令a1=a2=a。根据文献[19]可知，该矩阵元素a对应的表达式即为光子结构的色散关系表达式，又可以表示为

a=cos(KΛ)=cos(kada)cos(kbdb)-

(5)

其中，K为布洛赫波数，Λ=da+db为一个元胞的周期。由于该式中不含有结构厚度因子x，所以反转对称与非对称光子结构的带隙位置是相同的。图2为光子结构能带图及反射光谱轮廓曲线。图2(a)给出了由SiO2和TiO2两种材料构成的层状光子结构的带结构分布，图中黄色区域表示的即为带隙位置,两种介质的厚度分别为da=173 nm，db=428 nm，图2(b)给出相应范围的a的取值，在带隙范围内，有|a|=|cos(KΛ)|>1，K是复数。

一束光波从空气垂直入射到PCI光子结构后再透射进入空气，该光子结构的总传输矩阵TPCI可表示为

其中，

(6)

同理，可得PCII光子结构的总传输矩阵为

其中，

(7)

根据公式(6)和(7)可知，A1=A2，为简化分析，令A1=A2=A。

当单位振幅的光波正入射时，经过光子结构的传输规律有

(8)

将光子结构的总传输矩阵代入式(8)，可得到PCI和PCII两个结构的反射系数分别为

(9)

图2(c)～(f)给出结构元胞数目N=30情况下的光子结构的反射光谱，其中(c)和(d)给出两个反转对称光子结构的反射光谱，(e)和(f)分别给出x=0.9条件下两个结构的反射光谱，可以看到每一个结构的反射光谱表现出的带隙位置均相同。

1.2 无限大光子结构的反射光谱

由图2可知，元胞数目有限大的光子结构的反射光谱存在很强的振荡，元胞数越多，振荡峰越多，但这些振荡峰值的轮廓分布与光子结构的类型有关，对于PCI和PCII两种类型的结构，在x取不同值时，结构的反射光谱轮廓是不同的。当光子结构的元胞数目N趋向于无穷大时，振荡峰无限多，反射光谱就演变为有限大光子结构的反射光谱的轮廓曲线或包络曲线。为了进一步分析不同类型光子结构的光谱轮廓分布特征，现在对公式(6)和(7)中的各矩阵元素作进一步分析。

图2 光子结构能带图及反射光谱轮廓曲线Fig.2 Band diagram reflection spectrums and envelops of photonic crystal structures

rPCI(N→∞)=

(10)

rPCII(N→∞)=

(11)

由式(3)、(4)及式(6)、(7)可知，当x=0.5时，有c1=0，c2=0，以及C1=0，C2=0，此时结构为反转对称光子结构，从而PCI和PCII两个无限大反转对称光子结构在通带内的反射系数可表示为

rPCI(N→∞,x=0.5)=

(12)

rPCII(N→∞,x=0.5)=

(13)

2 反转对称光子结构的表面阻抗在不同带隙内的分布规律

2.1 表面阻抗

在研究光子结构的理论中，表面阻抗是一个重要的概念。表面阻抗的定义与结构入射端的电场E0+和磁场H0+有关，其分别为E0+=(1+r)Ei，E0+=(1+r)Ei，其中Ei、Hi为入射光波的电场和磁场。表面阻抗定义为

(14)

(15)

(16)

其中，rR、rI分别为反射系数的实部和虚部。由式(15)知，表面阻抗的实部大于或等于零。当光子结构为半无限大时，带隙内的反射率R=1，从而带隙内的表面阻抗实部等于零，即在带隙内表面阻抗是一个纯虚数。由(16)式可知表面阻抗的虚部与反射系数的虚部正相关，根据式(9)，PCI以及PCII光子结构的反射系数可进一步表示为

(17)

(18)

由式(17)～(18)可知，PCI和PCII的反射系数分母的值大于0，因此两个光子结构的表面阻抗虚部的符号分别与-(B1C1+AD1)和-(B2C2+AD2)有关。

对于反转对称光子结构有C1和C2为0，可得其反射系数为

(19)

(20)

因此反转对称光子结构表面阻抗的虚部符号仅取决于-AD1和-AD2。

2.2 表面阻抗虚部在不同带隙内的分布

为了进一步分析反转对称层状光子结构的表面阻抗在不同带隙内的分布规律，根据式(6)、(7)，-AD1和-AD2可写成

(21)

(22)

其中，

(23)

(24)

(25)

在带隙内|a|>1，可知-AD1与-AD2的分母大于0，所以带隙内阻抗虚部的符号由分子pq1和pq2决定。

比较公式(12)～(13)和(24)～(25)可知，对于反转对称光子结构，q1=0和q2=0的位置即对应光子结构反射光谱轮廓曲线的零点，如图3所示。每经过一个反射光谱轮廓曲线零点，q在带隙内的符号就会发生改变，所以光子结构在经过含有奇数个反射光谱轮廓曲线零点的通带时，通带前后的两个带隙内q的符号是相反的，而经过含有偶数个反射光谱轮廓曲线零点的通带时，通带前后的两个带隙内q的符号相同。

由前述分析可知，p的符号在相邻带隙中是相反的，若某通带对应的光谱轮廓曲线中含有偶数个零点时，则该通带前后的带隙内q的符号相同，从而该通带前后两个带隙内的表面阻抗的虚部符号相反；若通带对应的光谱轮廓曲线中含有奇数个零点时，则该通带前后的带隙内q的符号相反，从而该通带前后两个带隙内的表面阻抗虚部符号相同。

另外通过计算表明，PCI和PCII两个光子结构的q1、q2在奇数带隙内符号相反，在偶数带隙内相同，比较图3中的(a)和(b)可见，在第一个和第三个带隙内，q1与q2符号是相反的，而在第二个带隙内两者的符号相同。又因为两个结构中p的符号相同，所以反转对称的PCI和PCII两个光子结构的表面阻抗虚部在奇数带隙内异号，而在偶数带隙内同号，该结论与图3给出的两个结构的表面阻抗虚部曲线一致。

图3 PCI和PCII两个反转对称光子结构的表面阻抗虚部在前三个带隙范围内的分布，结构元胞数目N=30Fig.3 Imaginary parts of the surface impedances of PCI and PCII structures with inversion symmetry in first three bandgaps, the unit cells number is N=30

3 基于表面阻抗特性分析组合结构产生界面态的应用

基于两个反转对称中心不同的光子结构的表面阻抗虚部在奇数带隙内符号相反、而在偶数带隙内符号相同的性质，将PCI和PCII两个光子结构进行组合，进一步分析了在组合结构中产生界面态的分布特征。图4给出了组合结构的反射光谱以及两个光子结构的表面阻抗虚部之和，其中图4(a)和(b)分别给出的是单个光子结构元胞数为N=10和N=5的结果。由图中的曲线可见，组合结构在第一个和第三个带隙均出现了界面态，并且在界面态频率处，两个反转对称光子结构的表面阻抗虚部之和等于零，这说明在界面态处，两个反转对称光子结构的表面阻抗虚部大小相等，符号相反。而在偶数带隙中由于两个光子结构的表面阻抗虚部符号相同，不存在表面阻抗虚部之和等于零的条件，所以在第二个带隙中没有出现界面态。另外，光子结构元胞数越多，带隙特征越显著，出现的界面态锐度也越好，根据图4(b)可知，即使在单个结构元胞数N=5的条件下，组合结构在第一个和第三个带隙内产生的界面态也表现出良好的特征，其中心频率对应的反射率均为零，谱线宽度分别为0.011 6和0.006 1 μm-1(R=0.5对应的界面态宽度)，而该结构通过电子束蒸镀技术易于实现制备，因此反转对称层状光子结构通过组合产生界面态，对窄带滤波器、光纤通信、传感器等方面具有重要的应用意义。

图4 反转对称光子结构PCI和PCII的组合结构在前三个带隙的反射光谱以及两个结构的表面阻抗虚部之和Fig.4 The reflection spectrum of the combined structure and the sum of imaginary parts of the surface impedances between PCI and PCII in the first three bandgaps

4 结 语

本研究基于传输矩阵法，对具有反转对称特征的层状光子结构的光学特性进行了计算研究。构建结构参数相同、反转对称中心不同的两个光子结构PCI和PCII，两个结构的带隙位置相同，但带隙光谱轮廓分布不同，通过推导分析结构元胞数N趋于无穷大时的反射系数，计算了结构的反射光谱轮廓曲线；在此基础上分析了光子结构的表面阻抗虚部在不同带隙内的分布，结果表明表面阻抗虚部的符号在不同带隙内的分布与反射光谱轮廓曲线零点的分布有关，若某通带中的反射光谱轮廓曲线含有奇数个零点，则表面阻抗虚部在该通带后相邻带隙内的符号与前一个带隙相同，若某通带中的反射光谱轮廓曲线含有偶数个零点，则表面阻抗虚部在该通带后相邻带隙内的符号与前一个带隙相反；另外计算分析表明，PCI和PCII两个光子结构由于反转对称中心不同，表面阻抗虚部的符号在奇数带隙内相反、在偶数带隙内相同。若将两个对称中心不同的光子结构进行组合，其组合结构在所有奇数带隙内存在界面态，并且在界面态频率处，两个反转对称光子结构的阻抗虚部之和等于零。研究结果可以为一维光子结构在产生界面态等方面的应用提供理论参考。