圆中的多解问题探析

曹新江

[摘 要]文章结合例题，分析圆中的多解问题，以幫助学生突破难点，培养学生解题的多解意识，拓宽学生的思维度，提高学生的数学素养.

[关键词]圆;多解;初中数学;对称性

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）29-0031-02

圆是初中阶段学习的重要图形，其中圆中的多解问题，是学生最容易忽略与出错的地方，必须引起我们教师的高度关注.圆中的多解问题，主要表现在以下几个方面.

一、圆的轴对称性引起的多解问题

已知圆内有两条互相平行的弦，且已知这两条弦的长度，求这两条平行弦之间的距离时，存在这样两种不同的情况，一是已知两弦在圆心的同一侧;二是已知两弦在圆心的两侧.这就造成了平行弦之间的距离不一样的情况，其原因在于，在一个圆中，一条定长的弦有无数条，它们可以处于圆内的不同位置.

评注：垂径定理使用频率较高的是“平分弦”这一结论，且题中并没有作出直径，而过圆心作了一条弦心距，这条弦心距就是直径的代表.另外，垂径定理常与勾股定理结合使用，因为此时常会形成弦的一半、弦心距、半径构成的直角三角形.

二、一弦对二弧引起的多解问题

已知圆的一条弦长及半径，求这条弦所对的圆心角时，只有一种情况，因为一条弦所对的圆心角只有一个;但是求这条弦所对的圆周角时，就有两种情况，因为一条弦所对的弧有两种，即优弧与劣弧，而圆周角是指顶点在圆周上，且两边与圆相交的角，当圆周角的顶点在优弧上时，与圆周角的顶点在劣弧上时形成的圆周角是不一样的，且这两个圆周角是互补关系.当且仅当已知弦为直径时，这条弦所对的圆周角只有一种情况，即直角.

三、点与圆位置关系的多样性引起的多解问题

已知一个点与一个圆，及点到圆的最大距离与最小距离，求这个圆的半径.这样的题通常没有图形，正是因为几何问题只有文字叙述没有图形对照，造成了问题答案的多样性.因为点与圆有三种位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内，所以这个已知点可能在已知圆内，也可能在已知圆外，在已知圆内时，显然已知圆要大一些，在已知圆外时，显然已知圆要小一些.

[例2]已知点P到圆的最大距离为11，最小距离为7，则此圆的半径为多少？（要求作图解答）

解析：点P应分为位于圆的内部、位于圆的外部两种情况进行讨论.如图4所示，当点P在圆内时，过点P作直径AB，则PA就是点P到圆上各点的最大距离11，PB就是点P到圆上各点的最小距离7，这两个距离的和就是直径，所以直径是18，因而半径是9;如图5所示，当点P在圆外时，过点P、O作直线与圆O交于点C、D，则PC就是点P到圆上各点的最大距离11，PD就是点P到圆上各点的最小距离7，这两个距离的差就是直径，所以圆的直径是4，因而半径是2.故此圆的半径为2或9.

评注：这里还有一个问题很关键，即在圆内一点P，如何寻找点P到圆上各点的最大距离与最小距离.在圆外一点P，如何寻找点P到圆上各点的最大距离与最小距离.方法都是过已知点及圆心作直线，与圆的两个交点，一个是最大距离的点，一个最小距离的点.

四、动点引发的直线与圆位置关系的多解问题

已知一个圆位置固定，当一条直线沿一个方向平移时，这条直线与圆的位置关系有相离、相切、相交三种情况，其中相离的情形有无数种，相交的情形有无数种，但直线与圆相切的情形只有两种，即左边一种右边一种，或上边一种下边一种，这是由圆的轴对称性决定的.已知一条直线固定，当一个圆沿一个方向平移时，同样会出现上述类似的情形，这里不再赘述.

圆中的多解问题还有两圆相切（包含内切与外切）时引起的多解问题.两圆相交时，已知公共弦与两圆半径，求圆心距时也有两种情况;已知圆的半径及两弦长求两弦的夹角时仍有两种情况;等等.对于没有图形的圆问题以及直线与圆、点与圆、圆与圆的问题，均要注意多解的情况.

（责任编辑 陈 昕）