高中数学主题教学之“概念类主题” ①——以高中数学中“比”的概念为例

汪 健 任念兵

(华东师范大学第二附属中学 201203)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》的“实施建议”中提出教师应当在教学实践中整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展，从而引导学生从整体上把握课程，实现学生数学学科核心素养的形成和发展[1]．落实这些建议的关键是实施主题教学．中小学数学课程的知识类主题按照其关注的重点，可分为重要的数学概念与核心数学知识[2]．其中的核心概念[3]在数学教学中占有重要的地位．如同章建跃先生指出的，“中学数学核心概念往往具有鲜明的直观背景，简单、易懂且威力无穷，是开启中学数学大门的金钥匙[4]”．本文把以重要数学概念为主要内容的知识类主题称为“概念类主题”，并以高中数学涉及的形形色色的“比”的概念为例，阐释对“概念类主题”的理解和教学设计．

1 高中数学中的各种“比”

“比”作为一种数学运算，与除法运算和分数的概念有着密切的联系．相对于更加强调等式关系的除法和更加侧重运算结果的分数，同为两数相除运算的“比”还具备对参与运算的两个量进行比较的内涵．这一点从欧几里得《几何原本》中“比例论”一卷对“比”的定义即可见一斑[5]．故此相较于除法和分数，“比”更注重运算的过程性以及参与运算的两个量之间“质”的比较．

在中小学数学的课程里，“比”也是一条主要线索，串起了分数、比例、相似比、变化率、频率等诸多概念．本文关注的高中数学课程里“比”的概念包括：弧度制、三角函数、直线的斜率、函数的变化率/导数．此外，还有诸如线段所在直线上一点分该线段所成的比(见于定比分点公式)、平面面积的射影与原面积的比(见于面积射影定理)等．

在上述各个“比”的概念中，有一些表述成两个几何量之间的比，如弧度制的定义中弧长与半径之比、三角函数的定义中各种坐标之间的比等；另一些则表述成两个数量之间的比，如函数变化率与导数定义中的坐标差之比等．几何度量之比与数量之比的统一过程是相当曲折的[6]．因此，掌握“度量之比”与“数量之比”之间的联系，并通过问题解决来体验“数形结合”的思想，对培养学生的直观想象、数学运算、数学抽象等素养[2]是很有帮助的．

2 形与数——度量之比与数量之比

由于现代数学对度量与数量不加区分地用数来表示，在度量之比中往往蕴含着数量关系，反之亦然．这就为在各个“比”的概念中建立度量与数量之间的联系提供了便利．

2.1 弧度制

2.2 三角函数

三角函数的定义与学生此前接触的其他初等函数有一个显著的区别：函数值是“比值”．教材一般会通过相似三角形的相似比检验该定义是自洽的[10]．不过，这就把原本由直观的几何方式定义的锐角三角函数的概念变得抽象了．对此，人教A版教材的处理方法是把比值转化成有向线段的数量，引入“三角函数线”来帮助阐释三角函数的概念[10]．

而在2019年出版的人教A版新教材中，将三角函数定义为(处于标准位置的)角的终边与单位圆交点的坐标及其运算结果[11]．这样放弃了斜边的自由度，将“比”还原成数．随后，反过来验证锐角的三角函数与新定义兼容，从而获得三角函数概念的完整形象．这种处理方式一方面体现了坐标作为从点集到实数集的函数的本质，呼应现代数学的观点[12]，另一方面，其后的验证过程也合乎“用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则”的要求[2]．

2.3 直线的斜率

现行的沪教版[13]与人教版教材[14]对直线斜率的定义均从倾斜角出发，把斜率定义成倾斜角的正切，本质上是作为三角函数的一种应用．在随后的实际计算中，教材又把斜率解读为直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比．因此，直线的斜率虽然是一个几何概念，但是仍然按照数量之比定义，体现了解析几何解决问题的一般路径：用代数方法求解几何问题．

不过，在国外(特别是北美)的教材中，斜率却往往先于倾斜角的概念出现[15]．在后续的内容中，这些教材也会更多地强调斜率作为改变量之比的特性，将其作为斜率的根本属性．这种处理方法与上面的方式正好相反，源自几何的观点．我们将在下面关于函数变化率的分析中看到，为什么看似相同的改变量之比和坐标差之比被解读为截然相反的意义．

事实上，这两种观念的碰撞在斜率的符号使用上也可窥一斑．长期以来，对于“斜率的符号为什么用k？”这个问题一直没有定论．与此同时，在西方也有类似的讨论：“斜率的符号为什么用m？”就目前能找到的资料来看，字母k的使用可能源于俄语Угловой коэффициент(直译为“角系数”)中коэффициент(系数)一词的首字母к，而字母m则出自法语monter(“攀登”)一词的首字母m．是否可以认为：以k为斜率的数学教学体系更强调斜率作为数量之比的一面，而m为斜率的数学教学体系则突出斜率作为改变量之比的角色呢？这是一个有趣的问题[16]．

2.4 函数的变化率/导数

函数变化率的概念通过函数图象的切线这个数学对象，与直线的斜率紧密地联系在一起．因此，人教A版教材在引入函数变化率的概念时，沿用了其对直线斜率的处理方式，直接给出坐标差之比的算式结果，而不再强调它作为“比”的过程[17]．人教A版新教材则将变化率表述成变化量之比[18]．可以认为，用坐标差之比解释函数变化率是将其归为数量之比；而把函数变化率当成改变量之比、把导数当成改变量之比的极限则将它归为了(带符号的)度量之比．这两种处理方式可参考微积分的教材中导数概念形成的两种表述方式：

①设函数y=f(x)是在区间X内定义着的．从自变量的某一数值x=x0出发，给它加一增量Δx0，使不越出区间X，于是新值x0+Δx亦属于这区间．那时函数值y=f(x0)将换成新值y+Δy=f(x0+Δx)，即获得增量Δy=Δf(x0)=f(x0+Δx)-f．

图1

2.5 小结

人类对“比”的认识，从局限于度量之比到包容了数量之比，是数学从算术/几何发展到代数的漫长过程的一个缩影．上述“比”的概念大抵经历了“度量之比→带符号的度量之比→数量之比”的发展过程．这个过程在定比分点公式和面积射影定理中也有体现．

定比分点的定义中涉及到有关“比”的概念是点分线段所成的比，它与射影几何中的齐次坐标有着密切的联系[21]，因而经历了“线段的长度→有向线段的数量→齐次坐标”的演变过程，兼具度量之比与数量之比的特点．

面积射影定理的常见形式是完全用几何度量(面积)来表述的，证明则需要微积分的思想[22]，故并不常见于我国现行中学教材．定理的代数(带正负号)形式本质与几何形式相同，详细的证明则可参阅多元微积分的相关部分[23]．可见，面积射影定理结论的拓展也与三角函数定义的推广经历了类似的过程．

综上，在教学中把一系列与高中数学内容相关的“比”的概念串联起来，从形与数两个角度进行比较，可以为教学提供丰富的素材，也能将“数形结合”的思想通过数学问题具体化，是用于培养学生直观想象素养的好材料．

3 “比”的主题教学设计

根据以上对“比”的数学内容和教学内容的分析，可以制订以“比”为数学主题的教学目标和教学流程．

3.1 教学目标

第一，经历用几何方式与代数方式刻画弧度制、三角函数、斜率、导数等各个“比”的概念的过程，掌握两种刻画方式之间的联系与转化，能够将其应用于相关运算，并能解释相应的运算结果，体验数形结合思想，加深对“比”的概念的理解．提升直观想象、数学运算等数学素养．

第二，通过梳理常量的“比”的概念与变量/函数中“比”的相关概念等内容，体会“比”的过程性；结合与“比”有关的图形构造与动态问题，认识到“比”在变量数学中，特别是函数的研究中所占的重要地位．提升数学抽象、直观想象等数学素养．

第三，了解人们对“比”的认识的发展过程，初步认识“比”的内涵与外延及其在数学中的地位，提升数学抽象、逻辑推理等数学素养．

3.2 教学流程

第一阶段，在三角函数的学习中，结合弧度制和三角函数从几何量到代数量的演变过程，认识坐标法与函数观点下“比”的概念相对于初中内容的发展；

第二阶段，结合解析几何与立体几何的相关内容，如定比分点、斜率、面积射影定理等，深化对“比”的数、形两个侧面的认识；

第三阶段，结合函数变化率与导数的内容，进一步认识“比”的动态特征，及其在变量数学中的地位．

3.3 主题学习任务举例

下面这个主题学习任务以“比”作为桥梁，用导数解释了引入弧度制的必要性．

弧度制的再认识

(1)运用计算软件(如EXCEL)描点作x-sinx°的散点图(x∈{0.01,0.02,…,0.09})，观察到各点大致位于一条过原点的直线l上，如图2所示．

图2

(3)试调整(1)中图表里x轴的单位长度，使直线l的斜率变为1．结合(2)的结论，解释引入弧度制对y=sinx图象的影响；

(4)设f(x)=sinx，试通过(2)的结论计算f′(0)；

(5)借助两角和的正弦公式与倍角公式，推导公式(sinx)′=cosx；

(6)试结合上述结论解释在函数的研究中使用弧度制来度量角的优势．

设计意图：本任务旨在帮助学生理解引入弧度制的好处，可作为导数及其应用章节的拓展学习内容．问题(1)考查了学生运用简单的数据可视化技术(图表)，借助图形探索解决问题思路的能力；问题(2)需要学生具备利用图形性质探索数学规律的能力，同时也要求学生能够把问题转化为运算问题；问题(3)则要求学生能够利用数形结合的思想，从数据分析的角度来探索函数的性质．总的来说，这三个问题在关注学生的直观想象素养的同时，兼顾了数学运算与数据分析素养．

问题(4)则启发学生通过此前的运算抽象出相关的函数极限，并在此基础上得到导数的计算结果；问题(5)进而要求学生在此基础上，藉由相关的运算方法提炼出解决一类问题的方法；最后，问题(6)引导学生用数学的语言来表述其对弧度制的数学特征的认识．后面三个问题旨在培养学生的数学抽象素养．

如同一些作者指出的，高中数学微积分专题为弧度制的合理解释提供了可能[9]．而将学生在高中数学学习过程中遇到的与之类似的现象(如：自然对数的底数e的由来[24])进行联系和对比，能够通过“比”这一核心概念，提升学生对此类数学对象的认识．

以上探索表明，抓住核心概念，发掘其在高中数学内容范围里的联系，探究其在数学学科内的地位，并由此设计出的以概念为主题的教学，不仅可以为教师提供非常丰富的教学素材，也能为学生提供广阔的思考空间，最终有助于提升学生的数学核心素养.