指向“学会思考”的培养路径——以创新“中考数学复习”为例

张兆驹

(江苏省连云港外国语学校 222006)

1 问题与思考

“学会思考”是学生“学好数学”的动力体系，是一种内在的稳定的认知心理品质，是创新意识培养的“发动机”.《义务教育数学课程标准(2011年版)》明确指出，创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中.学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终.为此，教思考、教会思考、教学生学会思考成为课堂的“重头戏”.

本文以中考数学复习为思维运行载体，展现学生“学会思考”的路径方法及其价值思想体系，在“有用组合思维”的参与下，落实学会学习、学会思考、学会成长、学好数学的课程教育目标.

2 方法与路径

2.1 借助思维导图，畅通思考途径

思维导图是概念“来龙去脉”的思考线索，是“学会思考”的思维支点.借助“思维导图”(思维概念图)，创设符合学生实际需要的整体知识结构,让知识有源头也有方向.在教材的使用中，我们可以挖掘出适合孩子认知特点和认知基础的知识和问题，引导他们在宽松的氛围中感受学习的乐趣，才能有意识的培养孩子创新的动力和欲望.

例如，在备课组的一次集体研讨中，关于中考四边形复习的内容，从边、角、对角线等不同角度来阐述四边形的发生、发展过程，由简单到复杂，由一般到特殊，呈现知识的脉络，清晰而生动(见图1).

案例1 思维导图

图1

在课堂教学实施过程中，首先，让各小组展示自己绘制的思维导图，呈现该小组的绘图思路；其次，通过讨论再对本小组绘制的思维导图进行修改完善，让原来的思维导图的质量得到明显提升，从而大大加深学生对思维导图的理解和认识，也深化了对知识点的认识和理解；最后，教师对前面建构思维导图的过程进行点评，全班有几个小组，就会有几个思维导图“作品”，各个思维导图的形式、角度可能不一，教师要对其优点进行充分肯定，对重难点问题进行有针对性的评价和建议，加深学生对重难点知识的理解，扫清思考问题的障碍.

课堂教学中，学生展示、修改的思维导图始终围绕定义、性质、判定来建构知识体系，进一步厘清了特殊四边形“家族”中各成员的包含关系(譬如，矩形和菱形的公共部分是正方形等)，知道概念的来龙去脉(譬如，有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形)；让学生从“对称性”和“事实概念”的角度理解特殊四边形的意义(譬如，对角线垂直的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形)，形成概念图及其各要素的结构关系.正是思维导图，将学生已有的知识结构化，具有“手中握无限，刹那成永恒”的整体感，这就是学会思考、教好思考的表现.

2.2 构建基本模型，激发思考兴趣

培养兴趣，聚合思维，就要让学生拓宽知识面，认识客观事物，深入理解所学知识，理解事物的本质属性.要注意沟通知识间的本质联系，抓住知识间的连接点，这样不但可以使学生逐步学会通过现象抓住本质，培养思维的深刻性，而且还激活了学生原有的知识结构，运用迁移解决问题，顺利完成认知建构.因此，教师要设计类似题型的练习，沟通知识间的内在联系，拉伸思维的宽度.

案例2 “K型相似”

图2-1

图2-2

图2-3

复习相似知识点时，选取代表性的“K型相似”为出发点，设计以下三个小题：

(1)如图2-1，有一直角三角板ABC的直角顶点C放置在水平面上的直线DE上，其中AC=5，BC=10，过A、B分别作DE的垂线，垂足为D、E，若AD=3，你能求出BE的长吗？试试看.

(2)如图2-2，过A、B分别作DE的垂线，垂足为D、E，若AD=3，BE=8，DE=10，你能在线段DE上找一点C，使△ADC与△CEB相似吗？你能找几个？

(3)如图2-3，过A、B分别作DE的垂线，垂足为D、E，若AD=3，BE=t，DE=10，若只能在线段DE上找到一个点C，使△ADC与△CEB相似？你能求出t的范围吗？

课堂教学中，老师将一个直角三角板摆放在黑板上，过直角顶点任作一条直线(在直角三角形的一侧)，再通过两个直角顶点作该直线的垂线，让学生观察其中有相似三角形吗？引入过程在黑板上和学生一起操作(其他学生在纸上操作)，结论和学生一起探讨，学生积极性很高.主要有两个原因：一是学生动手操作熟悉的三角板，感觉非常亲切；二是学生发现任意转动中结论是不变的，感觉非常神奇有趣.

“学会思考”是以参与量为“拐点”的.学生会主动地参与其中，发挥自己的天性畅所欲言，进而发表自己的观点，培养独立思考的能力.通过该题的教学我们发现，从最初基本的相似模型出发，学生由基本的框架构建到搭建桥梁，显得非常自然，通过动点C的移动，创造了想象的空间，学生由基本的模型转而上升到如何处理分类的情况，正反夹击，直击本质，拉伸了学生思维的宽度，也较好地引导了学生分析和处理问题的更一般的方法，这就是会思考的具体表现.

2.3 实施求异思维，引导换位思考

求异思维本身就是一种换位思考，而高效课堂的换位思考往往落地于“一题多问”.教学中，要在掌握常规的基础上鼓励学生突破常规，敢于设想创新，敢于标新立异.例如，通过“一题多解”、“一题多问”的训练，鼓励学生从不同角度去思考和判断问题，提出新设想，探索新路子，以利于学生求异思维的发展，拓展创新思维的广度.

案例3 旋转运动

图3-1

图3-2

图3-3

四边形复习时，在考虑学生的不同层次和水平时，我们设计了一个关于正方形运动的题目：

如图3-1，当正方形ABCD与正方形CEFG有公共顶点C，并且点B、C、E在一条直线上，点G在CD边上，请你连结出两条线段(正方形相等的对角线除外)，使得它们相等.

你连结出的线段除了相等，还有什么特殊的关系吗？

如图3-2，如果绕点C转动其中一个正方形，上述结论还成立吗？

如图3-3，如果两正方形的边长分别为2和1，连结DG、BE，它们之间有什么关系呢？(在实践中，我们会发现学生自己能较好地呈现这个问题)

本题三个小问由易到难，主要考察正方形的相关性质以及线段之间的关系探讨，也具有一定的开放性，发散学生的思维，让学生根据自己的理解发挥想象，再加以说理，这才是教好思考应有的行为.

当然，在不同的班级或是同一个班级不同的学生之间还是有差异的，选择适合学生的内容和方法才是最容易让学生接受的，也是学好思考的前提.其实，课堂上创新、或是有一些新的想法或见解的不一定是课堂上学习最优秀的学生，他们都有看待问题的不同角度，也就自然产生出一些与众不同的奇思妙想.

另外，通过该题的教学我们发现，正方形的旋转转出了知识的联系，也转出了问题的本质.首先由开放性问题入手，找出两条相等的线段，根据不同学生的特点会提出不同的观点和答案，再选出具有较高研究价值的答案进行研究，让学生的思维能随着问题的深入发展逐步打开，并向问题的本质靠近，不变的是什么？为什么不变？这样有利于学生思维发散后的回归.最后一问的设计，学生会根据已有经验尝试去寻找不同的关系，但是需要学生借助正方形的特点去寻找，让学生的探究欲望进一步增强，创新的思维需要进一步打开，在运动中再次寻找到线段的不变关系.这样的设计较好地拓展了学生的创新广度，有利于学生学会思考.

2.4 注重逆向补偿，引发深度思考

逆向补偿是学生“知其然、知其所以然、知其所不然”的必经途径，是深度思考、高阶投入的认知“砝码”.深入挖掘教材内涵和开发课程资源，不断大胆尝试，实践探索，积累经验和方法，分析问题时要有横纵联系，充分利用条件和结论的关系，打通最直接的联系，也许这个联系就隔着一层纸，而我们要捅破它就需要有目的地去找到问题的关键所在，从而获得解决问题的最佳途径，也增加了创新的厚度.

案例4 规律探索

为了考察正方形和一次函数的结合，我们选择了一个探究的填空题:

图4-1

图4-2

如图4-1，在平面直角坐标系xOy中，记直线y=x+1为l.点A1是直线l与y轴的交点，以A1O为边作正方形A1OC1B1，使点C1落在x轴正半轴上，作射线C1B1交直线l于点A2，以A2C1为边作正方形A2C1C2B2，使点C2落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形，则点B4的坐标是，点Bn的坐标是.

课堂教学中发现，学生很容易算出B4的坐标，但是求Bn的坐标时出现了麻烦，纵坐标能根据规律发现为2n-1，但是横坐标不知道怎么求(主要是因为找不到规律).其实，如果借助An+1与Bn的横坐标相同，借助An+1在直线y=x+1上且纵坐标为2n，就可以求出An+1的横坐标为2n-1(如图4-2)，所以Bn的横坐标也为2n-1.

“教之道在于度，学之道在于悟”.“度”和“悟”是绕不开思考的.“数学是讲究方法的”，这种方法不仅仅指的是解题方法，还有思维方法，也就是为什么这样做，为什么这样想成功率会高一些，是什么条件引导我们这样想，会不会有一些其它发现或是推导出新的结论等等，所以在备课的时候要把问题备透、备足，方能适时引导学生思维向纵深发展，学生才有探究的欲望和能力，才有创新的火花产生，才有机会开花结果.本例中引导学生借助An+1与Bn的横坐标相同，解决了问题，当学生获得了解决问题的通道时，更多的是一种经验的积累.经过这样长期训练培养，他们的探究和逆向性思维就会有较好的发展.

2.5 提倡发散留白，弘扬纠错质疑

发散留白意味着给学生足够的弹性思维时空，让学生在发散思维的参与下，用好“留白”思维，实现“以一当十”的目标.当然，纠错质疑本身就是一种大尺度的发散与留白，是学生获得真知灼见和学会思考的可靠抓手.教师在课堂教学中要注重鼓励学生奇思异想，并且敢于质疑，敢于提出与自己不同的想法，这也是创新的基本要素.每一名学生都是富有个性，极具潜力的思维主体，课堂教学无疑给学生提供了一个思维空间，可以诱发学生对学习过程、方法和结果进行大胆的发问、猜想、探索和反思，教师要努力培养学生质疑的习惯，把握好时机，鼓励学生自己释疑，发展问题意识，培养探究精神，寻求解决问题的策略，促进学生思维的充分发展，从而能多维度提升学生的创新能力.

案例5 本质探究

图5

如图5中，已知抛物线y=x2-2x-3交y轴于点C，作CA∥x轴交抛物线于点A，P、R是抛物线上的动点，满足CA平分∠PCR，作OQ∥PR交抛物线于点Q，求Q点坐标.

教学片段：

师：P、R是抛物线上的动点，说明什么？

生： 说明任意位置都行啊.

师：要求Q点坐标，说明什么？

生：说明PR倾斜的程度(斜率)是不变的，才能求出固定的点Q.

生：哦，我知道了，说明无论P、R移到什么位置，PR倾斜的程度是固定的，只要求出PR这条线的k就可以了.

师：对，根据平分、相似、三角函数等知识就可以解决了.

这里需要指出的是，课堂教学中对于学生的引导和矫正要选择合适的时机，当学生遇到较难的问题时，不妨在已分析出的结论中反复推敲(留白与质疑)，从中发现有价值的线索，引导学生学会思考.该题在寻找PR倾斜的程度时，需要学生仔细推敲，甚至在纠错过程中去体会PR倾斜程度是不变的，才能找到k，找到问题的解决办法.在引导过程中，学生的思维活跃程度还是非常高的，积极寻找问题的突破口，从多角度来寻找问题的答案，也较好地开辟了创新的维度.

3 结果与讨论

(1)创新中考复习，在于教思考.教思考就是要用好留白的方法，让学生“跳一跳，够得到”.教思考就是让学生在质疑中，坚持真理、修正错误，建立严谨求实的数学态度.教思考就是让学生在思维活动中培养兴趣思维，产生一种学习数学的“好胃口”.

(2)创新中考复习，在于学思考.学思考就是让问题可逆，让学生在山重水复的思考中知其然、知其所以然和知其所不然.学思考就是让学生在思维补偿中补偿思维，获得柳暗花明的思维惊喜.

(3)创新中考复习，在于教学生学会思考.教学生学会思考，就是教好换位思考，让学生建立一种从不同角度分析问题、不同层次理解问题的能力.教学生学会思考就是关注学生学习力，让学生学有所能，让学生学有所获，让不同人获得不同的数学发展.