高中立体几何中的平面几何应用浅析

甘恒源

摘 要：在高中阶段的学科中，立体几何占据了重要的比例，并且学好立体几何也有助于形成完善的学科思维和逻辑思维，在高中立体几何中平面几何作为主要的基础，需要结合高中立体几何的特点对平面几何的特点以及解题思路进行深入的分析以及研究，从而在脑海中构建完善的知识体系，提高学习效果和学习质量。在实际学习中，要对高中立体几何和平面几何的特点进行对比性的分析，明确两者的差异性，为后续的学习指明正确的方向。

关键词：高中数学;立体几何;平面几何

在高考试卷中，高中立体几何中的平面几何考核的范围在不断的扩大，在几何中，主要是研究现实世界中物体的形状大小和位置关系的学科，要通过直观感知和认证思维来探索出几何图形的特点以及性质，在学习的过程中少不了三维空间的思维，要清楚的认识空间图形，并且还要根据空间想象能力和图形语言运用能力进行深入的学习和分析，从而全面的掌握高中数学立体几何中平面几何的相关内容。

一、平面几何和立体几何的关系

在高中数学中几何学占据了重要的比例，几何学是研究现实世界中物体形状和大小位置关系的数学学科，几何学又分为平面几何和立体几何，从整体上看，平面几何和立体几何之间的关系是比较密切的，平面几何是最早的几何学，主要是研究平面上的直线和二次曲线的性质，平面几何中的相关内容进行了公式化的处理，能够了解重要的数学思想，比如在实际学习的过程中，三维空间占据了重要的比例，假如具备了完善的三维空间的话，那么会从平面几何的内容很自然的过渡到立体几何中[1]。对于立体几何来说，主要是对三维空间解析，几何的主要思想研究二次平面的几何分类问题，比如涉及椭球面和锥面等相关内容，在代数学中还包含了不变量的问题，从中可以看出立体几何所涵盖的范围是比较广的，所涉及的知识范围具有复杂性的特征。

在高中数学教材中，在例题几何中的平面几何内容主要是从局部到整体来进行几何内容学习的，在教材中先给了平面的基本性质以及换法，之后再研究两条直线以及直线和平面之间的关系，在后续学习的过程中，还涉及了平面和平面之间的位置关系，着重地研究了平行和垂直的基本判定和主要的性质，在后续教材中还涉及了有关空间向量和夹角与直线的距离问题，主要是通过公理化的体系运用严密逻辑的推理方法来验证相关的知识的，在教材中主要是以图形结构作为主要的主线，从整体到局部来彰显平面几何的内容，在进行空间几何学习的过程中需要观察三视图和直观图，这从侧面来看也属于平面几何中的内容，从平面几何的角度来认识立体几何，从而使空间想象能力和逻辑思维能力能够得到有效地提高[2]。在实际学习的过程中，要先了解图形的面积和体积的计算公式之后，再了解两条直线与直线和平面之间的位置关系，引入了向量法来解决立体几何的问题，不仅可以降低学习过程中存在的难度，还可以深刻地掌握在几何空间中所涉及的知识点。在对立体几何进行学习时，可以通过平面几何的角度形成严谨的逻辑思维，从构建主义作为主要的指导进行深入的探索以及研究，从操作确认和思辨论证方面探索出立体几何和平面几何之间的关系，为后续的学习奠定坚实的基础。在实际学习的过程中，需要和实际进行紧密地联系，结合平面图形的特征来对立体几何图形进行深入的分析以及研究，运用几何语言对抽象性的内容进行生动性的分析，结合图形构建观察模型，在实际学习的过程中学习体验是比较丰富的，并且从平面图形入手，对立体几何进行分析和研究，降低了思考的难度。

在学习的过程中先接触的是立体几何方面的内容，能够了解生活中比较常见的空间立体几何，了解结构方面的特征，在脑海中建立完善的空间概念，之后，在学习空间中点线面之间的关系，这样一来通过平面几何能够对立体几何进行反向的推导，在知识内容学习的过程中也会是比较容易的，有感性认识上升到理性认识，不仅可以符合认知规律，还能够具备可操作性的特征。在学习完这一章内容之后可以独立性的画出有关建筑物的直观图，并且通过三视图来对立体几何进行深入的分析以及研究，运用这一原理来探究有关其他物体的体积，从而将理论和实践进行有机的结合，并且在了解平面几何和立体几何之间的关系，认识到平面几何原来是立体几何在二维空间下的投影，进一步的加深对这两部分知识内容的印象[3]。在实际学习的过程中，还需要融入有关算法思想方面的内容，从而提高数学素养，符合认知水平和认知规律，对知识呈现方式进行进一步的揭示，了解一些本质性的内容，从而深刻地掌握平面几何和立体几何之间的关系。

二、立体几何的学习思路

在进行立体几何学习的过程中，离不开对平面几何的分析，在实际学习的过程中可以通过类比或者是归纳等解决方法明确解答问题的主要思路，类比法主要是通过两个或者是两个以上的事物对相似属性进行推导和研究，从特殊到特殊的推理方法属于横向性的思维，主观性是比较强的类比推理可以对新旧知识进行有效地迁移，并且对新旧知识进行有效地汇总，从而使得在進行立体几何学习的过程中能够从平面几何自然而然地过渡到立体几何中，操作性和科学性是比较强的[3]。立体几何是平面几何的延续，在概念的建立和定理的证明方面都延续了平面几何方面的知识内容，因此在实际学习的过程中，在对立体几何进行学习时要通过平面图形的构建，构建平面直角坐标系，从平面图形入手，对立体图形进行深入的分析和研究，从而最快的解答出问题的答案。在实际解答问题的过程中，可以从平面的一些定义入手，对立体几何进行反向的分析，比如：“在平面中，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行在空间中过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。”“三条平行线截两条直线所得的4条线段成比例，三个平行平面截两条直线，所得的4条线段成比例。”等，这些定理都是从平面几何反向推导立体几何，从中可以看出平面几何和立体几何之间的关系是比较紧密的。在实际解题的过程中，要从平面几何的特点以及含义入手进行反向性的推导，不仅可以从平面入手对立体图形进行分析以及研究，还可以提高最终解题的效果以及质量。

在推理的过程中，需要根据自身所学习到的知识内容，从已知到未知完成整个推理过程，并且对正确性的论证进行反复的验证，在推理的过程中，主要是由前提条件和结论两部分组成，论证方法主要是按照形式进行论证，或者是按照思考的方法进行直接和间接的分析，在进行解题的过程中，需要通过平面几何和立体几何研究对象进行相互的对比，从而了解平面图形和立体图形之间的关系，结合相关性质的证明思路来类比到立体图形的正面思路，正从而完成整个类比过程。

综上所述，在平面几何中所涉及的内容是比较丰富的，并且平面几何和立体几何之间的关系较为密切，在日常解题的过程中，要从逻辑思维入手进行反复的类比和推理，将类比推理法渗透到例题几何学习中，从平面图形反向推导立体几何图形，不仅需要严密的推理方法，还要从一个全新的角度进行解题，在日常解题的过程中要学习这种独特的思维方法，用类比的方法了解平面幾何和立体几何之间的关系，从而探索出一条新的解题之路。

三、空间向量在立体几何中的应用

在对立体几何进行解题的过程中向量是最有效地解决方法，可以利用向量将几何问题转换为代数问题，从而对整个解题过程进行简单化的处理，在高中几何题中有很多问题的证明和解答，从日常解题效果来看，运用向量法的效果是比较简单的，并且也可以更加直观的解答出问题的答案，在实际解答的过程中，需要从平面几何入手添加一些辅助线，再根据向量的解题思路来进行计算，这样一来不仅可以使整个解题过程变得更加简单，在预算方面也没有较大的难度，因此在立体几何中可以通过空间向量将立体几何和平面几何进行有机的结合，从而提高最终解题的科学性和有效性。方向向量和法向量可以确定直线和平面之间的位置，在解题的过程中，可以利用直线的方向向量和平面的法向量来对立体空间中的直线和平面的位置进行精准性的表示，明确各个部分之间的位置关系，在解题的过程中可以利用直线的方向向量表示空间两条直线平行或者是垂直的关系，利用平面的法向量来表示空间两平面是否是平行和垂直关系的，这给实际的解题带来了新的思路。通过空间向量在几何解题中的运用能够更快探索出问题的本质，空间向量在立体几何中的运用是数形结合思想的体现，在解题的过程中需要利用向量代数的方法来解决立体几何中的难题，将立体几何中的难题划分到平面几何中来进行解答，将空间元素的位置关系转变为具体性的数量关系，并且根据自身的逻辑思维能力进行数值的计算，利用规范性的内容将一些直观的内容进行完整地展现，从而提高解决问题的能力，使得立体几何的解题难题降低。

四、高中立体几何中平面几何的延续

在立体几何中平面几何的相关内容得到了有效地扩展以及延伸，比如关于平行关系的传递性，在平面几何中，只是局限于同一平面上的位置关系，在立体几何中涉及了不同平面多条直线之间的关系，在空间直线中，平面和平面之间是平行的，在空间平行关系方面具有扩展性和延续性的特征，但不少问题归根结底都是要通过平面几何来进行解决，比如异面直线间的距离问题最终需要归结到两点间的线段长度问题，各种立体图形的判定和性质也归纳为一些平面的判定和性质，进行立体几何计算和解答逐渐的转向为平面几何的问题来进行解决，当然不同问题的解决方法存在着较大的差异性，但是大体的思路是从立体几何到平面几何的过渡。在平面几何中立体几何在空间有无数个平面，某一个平面上的几何问题，就是平面几何所研究的重点问题，在立体几何中很多结论都可以在平面几何中通过类比推理的方法进行分析，在立体几何中，在分析问题和解答问题时，要明确平面几何和立体几何之间的联系以及差异，掌握类推的规律以及方法，从而形成正确的类推思维，发展自身的解题思维，要善于运用相关的知识点将平面几何中的结论延续到立体几何中。并不是所有的平面几何结论都可以推到立体几何中，在分析的过程中，需要在推广之后有一个反复的验证和修改的过程，根据自身的空间想象能力，提高空间几何解题的效果以及质量，在实际解题的过程中，要将几何法和向量法进行有机的结合，运用各种所学到的知识来进行，解题将两者取长补短，对几何中的数据进行缜密的计算以及验证，完成整个推理过程。

结束语

在高中几何学中，立体几何和平面几何之间的关系是比较明确的，通过平面几何可以对立体几何的性质进行反向性的推导，通过立体几何也可以对平面几何中的位置关系进行深入的分析和研究。因此在解题的过程中，需要全面的了解立体几何和平面几何之间的关系以及相关的性质，彻底的领悟平面图形和立体图形之间的区别以及联系，为后续的学习奠定坚实的基础。

参考文献

[1]严虹.对于数学教学中“教思考教体验教表达”的认识与思考[J].数学教育学报，2017（65）：30-31.

[2]蔡晓庆.高中数学课堂教学中落实核心素养的几点思考[J].课程教育研究，2018（38）：174-175.

[3]郑信.以深度教学落实数学核心素养[J].小学数学教师，2017（9）：36-39.