深挖相似定理，突破问题难点

余春妹

[摘  要] 二次函数与几何是中考的考查重点，其中的相似三角形存在性问题尤为重要. 问题解析要关注其中的相似对应，把握相似三角形的判定定理，从函数与几何的关联视角切入，合理构建解题思路. 文章将深入探究函数背景中的相似三角形问题，结合实例问题进行探讨，突破难点并进行拓展探究，以飨读者.

[关键词] 二次函数;几何;相似;最值;分类讨论

问题综述

函数中因动点产生的相似三角形问题十分常见，通常以探究的形式综合构建，如求解图形相似时点的坐标，如三角形相似时边长大小或直线斜率等. 对于三角形相似时点的坐标问题，可先分析已知三角形的几何特征，然后根据相似对应关系进行分类讨论. 如若问题没有给出三角形的边长，则可以根据函数解析式以及直线与曲线的交点坐标来表示各边长，之后根据相似关系构建方程. 下面结合实例加以探究.

问题探究

问题：如图1所示，二次函数y=ax2+bx+2的图像与x轴相交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴相交于点C.

（1）试求函数的表达式;

（2）点P为函数在第一象限内图像上的一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，连接PC.

①求线段PQ的最大值;

②如果以点P，C，Q为顶点的三角形与△CBO相似，试求点P的坐标.

思路分析：（1）点A和B为抛物线与x轴的交点，根据交点坐标可将抛物线设为y=a（x+1）（x-4），整理可得a=- ，即可求出函数的解析式.

（2）①点P为抛物线上的动点，PQ可视为是△PBC底边BC上的高，可设出点P的坐标，然后利用几何性质推导点Q的坐标，将PQ长表示为关于坐标参数的函数，后续利用几何性质即可确定PQ的最大值.

②该问探究以点P，C，Q为顶点的三角形与△CBO相似，其中的相似对应未定，则需要分类讨论，结合三角形相似时的等角关系或边长对应关系来逐步求解.

过程探究：（1）点C为抛物线与y轴的交点，可得点C（0，2），又知A（-1，0），B（4，0），设抛物线的表达式为y=a（x+1）·（x-4），将点C坐标代入其中，可得-4a=2，可解得a=- ，则函数的表达式为y=- x2+ x+2.

（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于点M，如图2所示，由点B和C坐标可得BC=2 ，根据点B和C的坐标可求得直线BC的解析式为y=- x+2. 设点P的坐标为t，- t2+ t+2，则可推得点M的坐标为Mt，- t+2，有PM=- t2+2t. 分析可证△PQM∽△BOC，由相似性质可得 = ，即PQ=  PM，所以PQ=- t2+  t=- （t-2）2+  ，分析可知，当t=2时，线段PQ取得最大值，且最大值为  .

②以点P，C，Q为顶点的三角形与△ABC相似，由于三角形中存在直角，则相似情形有两种，分别为△PCQ∽△CBO或△CPQ∽△CBO，下面分类讨论.

情形一：當∠PCQ=∠OBC时，△PCQ∽△CBO，此时PC∥OB，则点P关于直线x= 对称，可求得点P的坐标为（3，2）;

情形二：当∠CPQ=∠OBC时，△CPQ∽△CBO. 由于∠OBC=∠NPQ，则∠CPQ=∠MPQ，又知PQ⊥CM，可证△PCM为等腰三角形，故PC=PM，结合点的坐标可得t2+- t2+ t2=- t2+2t2，可解得t= ，此时点P的坐标为 ， ;

综上可知，满足条件的点P的坐标有两个，分别为（3，2）和 ， .

评析：上述是关于二次函数与几何的综合题，第二问分为两小问，第11问求线段的最大值，把握动点轨迹，建立线段函数是突破关键，第22问讨论三角形相似时点P的位置，结合相似判定定理开展条件探究，分类讨论相似情形十分重要. 从图像构建形式来看，总体上属于函数与几何的动态问题，把握知识联系，利用几何性质切入可降低思维难度.

解析探讨

上述考题第二问中的相似三角形存在性问题是核心之问，具有一定的解析难度，突破的难点有两个：一是没有设定相似对应关系，需要分类讨论;二是三角形相似的判定定理较多，如何确定. 下面基于问题难点进行深入反思.

1. 相似关系的探讨

确定三角形的相似对应关系是后续定理分析的前提，相似对应关系不明是引出分类讨论、造成问题多解的重要因素. 在不设定特殊条件的情形下需要讨论三种情形，若存在特殊角度或点位置限制，则会减少讨论情形. 上述题目中只给出△CPQ与△CBO相似，但没有设定对应情形，故需要结合问题进行分类讨论，但由于直角的存在，有∠PQC=∠COB，使得最多存在两种相似情形. 若将上述问题变更如下：若△PCQ∽△CBO或△CPQ∽△CBO，试求点P的坐标，则由于问题的相似对应关系确定，故无须分类讨论.

2. 判定定理的探讨

考题探究除了需要关注解析过程外，还需关注其中的解法定理，总体上三角形存在性问题的突破思路为假设相似存在，结合相似三角形判定定理推导图像特性，根据几何特性与函数关系进行结论推导. 其中确定适用的判定定理在突破时尤为重要，由教材内容可知相似三角形有三大判定定理，其中定理1是关于三角形的两边与夹角，定理2是关于三角形的两角，定理3是关于三边比例关系. 判定定理1和2均含有对应角相等的条件，通常探究相似三角形存在性问题从寻找一组对应角相等入手，定理的解题步骤如下：

对于判定定理1，解题应用分三步：第一步，探寻一组对应角相等;第二步，分两种情形列比例方程;第三步，解方程检验，确定最终结论.

对于判定定理2，解题应用分两步：首先确定一组等角，然后探究另一组角相等.

判定定理3的解题应用较为少见，需要根据三边对应成比例来列连续比例式，然后构建方程组求解.

上述相似三角形存在性问题的解题依据为判定定理2，探讨两个直角三角形相似只需再确定一组等角即可. 需要注意的是，若其中一组锐角相等，则直角三角形的锐角三角比确定，可直接将其转化为讨论另一直角三角形的三角比.

拓展探究

三角形相似与三角形全等之间有着紧密的联系，其中的对应边关系是两者转化的纽带，即对于相似三角形，若有一组对应边相等则可转化为全等三角形. 在实际探究时可以相似三角形为中间关系來探讨三角形全等，即首先确定两三角形为相似关系，再引入一组等边.

例题：（2020年陕西中考卷）如图3，抛物线y=x2+bx+c经过点（3，12）和（-2，-3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.

（1）求该抛物线的表达式;

（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点. 要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标.

解析：这里主要探究考题的第（2）问，由坐标点可确定抛物线的解析式为y=x2+2x-3. 根据条件可确定点A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），即AO=CO=3，则△AOC为等腰直角三角形. 由作图过程可知∠PDE=90°，故只需PD=DE（构建相似三角形），且长度为3（构建全等三角形），具体如下.

如图4，当PD=DE=3时，以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等. 可设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴的右侧时，可得m=2，故n=5，则点P（2，5），可推得点E的坐标为（-1，2）或（-1，8）.

而当点P位于抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得P（-4，5），此时点E的坐标同上.

综上可知，点P的坐标为（2，5）或（-4，5）;点E的坐标为（-1，2）或（-1，8）.

评析：上述是关于抛物线背景下的全等三角形存在性问题，解析时充分把握三角形全等的判定定理来构建思路，解析过程虽未直接点明，但本质上是三角形相似关系的特殊性衍生. 探究学习时要关注几何中特殊的关联定理，深刻理解知识本质.

总结思考

函数背景中的相似三角形存在性问题存在一定的解析难度，问题的综合性较强，在探究学习时需要关注以下几点：一是深刻理解三角形相似的判定定理，结合函数背景探究定理的使用方法及条件的构建思路;二是关注函数与几何的综合方式，把握点、线、面、形之间的几何与代数关联，即可由抛物线解析式求点，由点定线，由线解面，同时可逆向推导.

开展综合性考题的探究教学，旨在引导学生掌握问题的解析方法，培养学生的解题思维，同时通过探究过程来提升学生的核心素养，后者是教学的重点所在. 因此教学中要立足考题，开展思想方法的渗透，借助函数与几何作图过程培养学生的建模能力，在问题的解析过程中渗透数形结合思想，在多情形探讨中渗透分类讨论思想. 教学中倡导设问引导探究，关注学生的思维活动，让学生参与探究过程，充分提升学生的核心能力.