过程突破联想，反思类比探究

芦雪珍

[摘  要] 类比探究题是中考常见的问题类型，问题解析具有一定的难度，同时突破过程有着鲜明的特点，即结合类比思想，通过对比、联想是该类问题突破的关键. 文章将对一道考题开展类比探究，反思问题解析思路，总结类比考题解析方法，提出相应的教学建议.

[关键词] 类比;探究;几何;模型;思想方法

问题呈现

【问题提出】

（1）如图1所示，在四边形ABCD中，连接AC，BD，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，将△ABC绕着点A逆时针旋转90°，可得到△ADE，其中点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，同时已知点C，D，E三点位于同一直线上，则△ACE为______三角形，BC，CD，AC的数量关系为______;

【探索发现】

（2）如图2所示，在⊙O中，已知AB为直径，点C为弧AB的中点，点D是圆上的一个动点，连接AD，CD，AC，BC和BD，且有AD

【拓展发现】

（3）如图3所示，在等腰直角三角形△ABC中，点P为AB的中点，如果AC=13，平面内存在一点E，且AE=10，CE=13，当点Q为AE的中点时，PQ=______.

过程解析

（1）猜想△ACE为等腰直角三角形，则有BC+CD= AC.

如图4所示，根据图形旋轉可知△BAC≌△DAE，则AC=AE， BC=DE，∠BAC=∠DAE. 又因为∠BAD=90°，则∠BAC+∠CAD=90°，结合AC=AE可证△CAE为等腰直角三角形，所以CE= AC，即BC+CD= AC.

（2）该问探究圆上动点所形成的相关线段长之间的数量关系，从问题设置来看，可参考第（1）问的解法，挖掘图像中的特殊三角形，结合几何性质即可推出线段关系，有如下两种解析思路.

思路一：由已知可知AC=BC，∠ACB=90°，图像中具有等线段共端点的特点，类比第（1）问的解析方法，易联想到可将△ADC绕着点C旋转至AC与BC相重合，如图5所示. 结合旋转特性可知CD=CE，∠DCE=∠ACB=90°，∠BEC=∠ADC，则△CDE为等腰直角三角形，有∠CED=45°.

又因为AB是圆的直径，并且AC=BC，可知△ABC为等腰直角三角形. 四边形ABCD为圆的内接四边形，则有∠ADC+∠ABC=180°，可推知∠BEC=∠ADC=135°，此时有∠BEC+∠CED=180°，所以B，E，D三点共线，则BD-AD= CD，即CD= （BD-AD）.

思路二：第（1）问解析时结合了四边形的对角互补，且利用了△BAD的等腰直角三角形特性. 第（2）问解析时可参考第（1）问的思路，结合圆的对称性质，将图像转化为第（1）问的图像，即将△ACB沿着AB进行折叠，可得四边形AEBD，后续类比第（1）问的结论即可推导线段关系.

结合上述分析，将△ACB沿着AB进行折叠，可得四边形AEBD，如图6所示. 类比第（1）问结论可得 DE=AD+BD，在Rt△CDE中使用勾股定理，可得CD2=CE2-DE2，进一步推导可得CD2=AB2- （AD+BD）2= （AD-BD）2，从而可求得CD= （BD-AD）.

（3）该问在等腰直角三角形中进行图形构建，看似简单，但点E的位置没有指明. 故解析的首要问题是确定点E的位置，需根据问题条件，思考作图方法. 题干设定了线段AE和CE的长度，故点A和C的位置固定，点E为动点，可考虑以点A为圆心，单位长度10为半径作圆，再以点C为圆心，单位长度13为半径作圆，则两圆的交点即为所求点E的位置，如图7所示.

显然点E的位置有两个，需要分别根据点E的位置进行图形补全，然后分类讨论具体情形. 分析前两问的解析过程可知，第（1）问的背景图形为四边形，图形中有一组对角为直角，一个直角的边长相等，第（2）问的背景图形同为四边形，图形中一边对应两个直角，同样有一组直角边相等. 而在第（3）问中，没有出现直角，但存在等腰直角三角形和斜边的中点，类比前两问的解析过程，可考虑构造等腰三角形，构建“三线合一”模型，从而构建直角，下面分类讨论.

情形一，点E位于AC边的左侧时，连接CQ和CP，如图8所示. 观察图形可发现该图与第（1）问中的四边形具有相同特征，可直接利用第（1）问的结论，即AQ+CQ=  PQ，所以 PQ=17，可解得PQ= .

情形二，点E位于AC边的右侧时，同样参考第（2）问的图形解析方法，连接CQ和PC，如图10所示.

结合第（2）问的结论可得出PQ= （CQ-AQ），代入线段长可得PQ= （CQ-AQ）= （12-5）= .

综上可知，PQ= 或 .

解后总结

从上述问题的解析思路来看，问题设计具有鲜明的结构特点，其探究方法和解析思路具有一定的参考价值，下面对考题进行深入探究，并总结解决问题的方法策略.

1. 问题思考

深入反思问题的设计流程，问题分为三个环节：问题提出→探究发现→拓展延伸，显然问题的“拓展延伸”部分与“问题提出”和“探究发现”部分有着极大的关联，故需要深入研读问题的图像特征，探究其中的共同之处，采用类比探究的方式来获得结论. 可将问题归结为类比探究题，问题的图像和解析思路具有极高的类比性. 同时问题中出现了一些特殊的几何图形，如解析图形旋转问题时结合了对角互补四边形，探究边长关系引入了“一线三等角”模型.

2. 方法总结

中考中常出现几何类比探究题，通常以一类共性条件和特殊条件为基础，由特殊到一般，由简单到复杂构建问题，逐步深入，问题解析的思想方法一脉相承. 问题探究的一般方法如下：

第一步，根据问题条件以及关联条件解决第一问;

第二步，利用上一问的方法类比探究下一问，若不可行，则可将两问相结合，探寻不可类比的原因和出现变动的特征，然后依据不变特征探寻新的方法.

同时，在类比探究过程有如下几个探究技巧：

（1）找特征，如中点、特殊角、图形折叠等;

（2）找模型，如相似模型（母子型，A字形，八字形）、三线合一、全等模型等;

（3）解析照搬，解析时可照搬上一问的方法及思考问题的解析思路，如照搬辅助线，照搬全等、相似等;

（4）找结构，探寻问题不变的结构，利用不变结构的特征来逐步剖析，通常不变结構及对应解析方法如下——

①直角，可作横平竖直的辅助线，构建相似或全等模型;

②中点，作倍长线段，通过几何全等来转移边和角;

③平行，探究其中的相似关系，利用相似比例来转化线段关系.

总之，类比探究题的核心解法是“类比”，包括图像类比和解法类比，问题解析的过程要把握其中的“特殊”，包括特殊的几何要素（点、线、角），特殊关系（等量关系、倍长关系），特殊模型（面积模型、全等或相似模型）等. 解析过程时刻注重问题的前后衔接，充分利用总结的问题结论，简化解析过程，提高解题效率.

教学反思

1. 类比分析，关注知识迁移

类比探究题通常在中考以压轴题的形式出现，问题的综合性极强，侧重考查学生知识综合与迁移能力，因此问题分析过程需要结合知识考点进行联想迁移. 如由中点联想等腰三角形的“三线合一”，由直角联想直角三角形的“勾股定理”，由平行联想线段的相似比例关系，即将单纯的几何特性迁移到几何图形上，由此上升到更具价值的几何结论上. 因此在实际教学中，建议引导学生理解“类比”的思想内涵，理解类比探究题的知识关联，立足教材知识要点开展拓展探究，挖掘关联知识，构建知识体系.

2. 类比思考，重在思维过程

类比思考是类比探究题突破的根本方法，是基于问题的相似成分开展的比较、联想探究，故需要注重问题的思维过程，将数学对象已知特性迁移到另一对象上，然后结合条件进行推理. 教学中要关注学生的思维活动，合理设问引导学生推理，通常类比探究题构建三个环节，可采用知识探究的方式. 教学中引导学生归纳特征、发现问题、验证结论、总结结论、应用解题，循序渐进开展问题思考，由浅入深地将问题上升到数学结论层次. 引导过程合理设问，可设计具有启发性的问题，让学生联想教材知识要点，也可引出数学模型，利用模型结论来进行推理等.

3. 类比探究，渗透思想方法

实际上，类比是重要的思想方法，在教学探究时要渗透该思想方法，让学生感悟其中的思想内涵，掌握类比探究的方法思路. 另外类比探究题的解析过程可能涉及数学的数形结合、分类讨论、化归转化、方程等思想，如上述利用数形结合理解图像、挖掘几何结论，利用分类讨论探寻点E的位置，由方程思想求解关键参数等. 教学中可结合具体考题逐步渗透思想方法，解后反思时关注涉及的数学思想以及数学思想构建考题思路的具体过程. 在教材内容教学时重点关注知识背景的思想内涵，如函数知识中的数形结合、代数方程的方程思想、几何相似或全等中的分类讨论等，充分利用考题探究、知识教学来提升学生的核心素养.