为学生创设更大的自主探究空间

唐永

摘  要：对“不同函数增长的差异”一课的教学设计从整体性和细节性两个方面进行研究，分析设计中的六个关键细节问题，并给出教学建议. 同时，提出探究性教学要深刻理解课程标准的要求与教材的编写意图，要为学生创设更大的自主探究空间.

关键词：核心素养;教学设计;细节问题;探究教学

一、教学设计案例

1. 创设情境

（1）上海四行仓库抗战纪念馆：八月份参观人数直线上升.

（2）新闻视频：新冠肺炎疫情指数级增长.

2. 数学建构

探究1：指数函数与一次函数增长的差异.

问题1：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，+∞]上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？

追问1：以函数[y=2x]和[y=2x]为例，在同一平面直角坐标系中画出它们的图象. 观察这两个函数的图象，它们在位置上有什么关系？这说明了什么？

追问2：取更大的[x]值，在更大范围内观察它们的增长情况，从图象和数表上，你能发现什么？

追问3：若以函数[y=2x]和[y=100x]为例呢？选择不同的指数函数和一次函数重复上述过程，你得到的结论分别是什么？

追问4：通过对特定的指数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？

探究2：对数函数与一次函数增长的差异.

问题2：选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0，+∞]上的增长差异. 你能描述一下对数函数增长的特点吗？

追问1：不妨以函数[y=lgx]和[y=110x]为例，在同一平面直角坐标系中画出它们的图象. 观察这两个函数的图象在位置上有什么关系？这说明了什么？

追问2：如果将[y=lgx]纵坐标扩大[1 000]倍，再对函数[y=1 000lgx]和函数[y=110x]的增长情况进行比较，仍有上述规律吗？

追问3：通过对特定的对数函数和一次函数的研究，推广到一般情况，你能得到什么结论？

问题3：如果将一次函数、指数函数和对数函数同时比较，你能得到什么结论？

追问1：在同一平面直角坐标系中画出一次函数[y=2x]，指数函数[y=2x]和对数函数[y=log2x]的图象，比较他们的增长有何差异？

追问2：一次函数[y=kx k>0]，指数函数[y=ax][a>1]和对数函数[y=logbx b>1]的增长有何差异？

3. 数学应用

4. 课堂小结

具体内容略.

二、课时教学设计的整体性分析

本轮课程改革提倡单元教学设计，强调从宏观上把握知识体系，从整体上综合协调数学知识、思想方法、能力素养等各要素之间的关系，把课时教学放置到整章、大单元系统中加以统筹，明确课时在本单元乃至整个知识体系中的位置，理清知识的上下位关系，从整体上架构，克服课时教学将学习内容碎片化的不足.

本节课内容选自人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修第一册第四章“4.4.3 不同增长函数的差异”. 对本章的整体进行分析：先有指数运算、对数运算为研究指数函数、对数函数做好数学运算上的准备;再建立指数函数和对数函数的概念，研究其图象与性質;然后把几个函数放在一起，从增长差异比较的角度进一步认识这些函数的特征（个别研究到比较研究，为的是能够在面临问题时作出选择判断）;最后是数学应用. 函数的应用、二分法与求方程的近似解是数学内部的应用，数学模型是将数学知识用于解决实际问题. 现实中直线上升、指数爆炸、对数增长的现象大量存在，幂函数、指数函数和对数函数在现实生活中的应用非常普遍. 这样，“增长差异的比较”的地位作用就非常明显了.

三、课时教学设计的细节性研究

具体到本节课内容，首先，要想清楚要解决的问题是什么：一是增长快慢;二是增长方式. 先快后慢、先慢后快、稳定等. 第二个问题就是如何用数学的方式来刻画，教材上用了表（数）、图（形）相结合的方式，描述性的语言较多，如“增长速度不在同一个‘档次’”“越来越……”之类. 其次，要研究一些细节问题，如“创设什么情境引入更恰当”“如何用数学的方式刻画快慢”“如何更精确地量化增长差异”“要不要给出增量比的符号[ΔyΔx]”等. 这些细节有些可能关乎全局，需要精心雕琢.

1. 选择什么情境引入更恰当

情境引入主要有以下三种形式. ① 结合当今社会热点现象、热点问题. 例如，随着电影《八佰》热映，参观上海四行仓库抗战纪念馆的人数直线上升;2020年初，新冠肺炎疫情暴发阶段，感染人数呈指数级增长;等等. ② 选自教材中的“情境”. 例如，[A，B]两地景区2011年至2015年的游客人次及逐年增加量. ③ 教师自编生活“情境”. 例如，开车上班速度与时间的函数.

创设问题情境，应该考虑整个章节的教学连贯性，尽量选取可以在多个课时使用的较为综合性的情境素材，设计章节系列学习活动（问题串）. 之前的教学中，教材通过[A，B]两地景区游客人次引入指数函数的概念，所以建议本节课继续选择“[A，B]两地景区游客人次”作为问题情境，深入研究它们增长方式的差异.

2. 为什么只在区间[0，+∞]上进行研究

许多参赛教师忽略了这个问题，这也应该是探究的一部分. 事实上，在区间[-∞，0]上，指数函数[y=2x]的值恒大于0，一次函数[y=2x]的值恒小于0，对数函数[y=log2x]没意义，所以重点研究区间[0，+∞]上它们的增长差异，可以使研究结论更具广泛性和价值性.

3. 如何用数学语言刻画“指数函数[y=2x]的增长趋势最终会快于一次函数[y=2x]的增长趋势”

教材选择指数函数[y=2x]和一次函数[y=2x]，在[0，+∞]内两个函数图象有两个交点，当[x>2]时，都有[2x>2x]. 但是，这并不意味着[y=ax]与[y=kx]总有交点，如函数[y=ex]的图象恒在直线[y=x]的上方. 因此，有参赛教师表述“总存在一个交点，在这个交点之后，都有[2x>2x]”是不严谨的. 如何用数学语言刻画这种趋势是本节课的一个难点，许多教师采取直接讲述“总会存在一个[x0]，当[x>x0]时，恒有[2x>2x]”，这样学生就失去了一次珍贵的抽象概括机会. 只有当学生讨论明白：如果两个函数有交点，在这个交点之后，总会存在一个[x0];若没有交点，仍然存在一个[x0]（事实是存在无数个[x0]）. 自然能够用符号语言表达了，学生的数学抽象、逻辑推理素养也得到了提升.

4. 线性函数[y=kx k>0]在增长差异的比较中充当什么角色

本章通过指数函数与一次函数增长差异的实例引入指数函数的概念，本小节之所以继续选择一次函数[y=2x]与指数函数[y=2x]进行比较，除了能体现这两种函数增长差异外，还能较好地体现指数函数[y=2x]“爆炸性”增长的特点. 在与对数函数[y=lgx]的比较中， 选择一次函数[y=110x]而没有选择一次函数[y=2x，]是因为一次函数[y=110x]的增长速度比一次函数[y=2x]更慢，而且一次函数[y=110x]与对数函数[y=lgx]有交点，这样更能直观体现对数函数[y=lgx]的增长逐渐趋缓的特点. 由于学生对线性函数已经有了认知基础，其变化规律非常直观. 因此，线性函数作为“中间量”，架起了指数函数与对数函数比较的桥梁，作为“一把尺子”，度量指数函数和对数函数的增长差异，更能突出“指数爆炸”和“对数增长”的特征.

5. 要不要补充变化率[ΔyΔx]

这是最具争议的问题. 有的教师认为此时讲变化率会加重学习负担;而有的教师则认为，不讲变化率就很难讲清变化趋势. 实际上，数学中有精准的方法，也就是用导数，用瞬时变化率来刻画变化率. 在这个问题上，笔者倾向于补充. 章建跃博士曾指出，加强一般观念指导数学学习与探究活动，发展学生的理性思维.“运算”是一般观念，在指数函数概念的抽象过程中，对[A]地景区每年的游客人次作减法运算，得到游客人次的年增加量，对[B]地景区每年的游客人次做除法运算，得到游客人次的年增长率. 学生已经有了这方面的运算基础，补充运算[ΔyΔx=y2-y1x2-x1]，学生是能够理解的，教学中即使不补充，也可以引导学生观察表格中的数据，自变量[x]的增加量相同，即[Δx]恒为定值，只要看函数值[y]的增量[Δy]即可. 本质上是渗透了变化率，从变化率的角度让学生感受不同函数的增长差异.

6.“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”在生活中有什么含义

让学生列举生活中符合指对数增长的案例，感受三者之间的差异，体会数学来源于生活又应用于生活，这是一个不可或缺的环节.

“指数爆炸”可以有以下理解：① 任何事物都不能无限制地指数增长，否则就会产生灾难，如澳大利亚兔子数量“大爆炸”;② 从事业的角度，妥善进行投资，实现财富指数增长，就有可能成为商界大亨;③ 从努力学习的角度，多一分努力，就多一分收获. [1.01365≈37.8]，[1.02365≈1 377.4]. 在学习上要霸气和张扬，呈现指数增长;在做人上，要像对数函数一样，沉稳收敛.“对数增长”的例子，如体育运动，体育锻炼的前几天，进步神速，但过一段时间稳定下来后，再进步就没有那么容易了，想成为职业选手更是难上加难.

四、课时教学设计案例反思

1. 要深刻理解课程标准的要求和教材的编写意图

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）对“函数与数学模型”提出的内容与要求是：① 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. ② 结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.③ 收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.

面对实际问题时，为了准确描述它的变化规律，需要选择恰当的函数类型来构建数学模型，为此就要先分析清楚不同类型函数的增长差异. 教材通过具体实例对不同函数的增长差异进行比较，紧接着安排了“函数的应用（二）”一节，引导学生深入学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法. 由于增长差异的比较与现实世界有着非常紧密的联系，所以是加强综合实践活动、推进高中数学育人方式改革的一个有力抓手.

2. 要为学生创设更多的探究可能

探究教学是指教师针对教学中的某个教学内容，精心设计能引发学生积极探索的教学过程，使学生在体验数学研究的过程中提高独立思考、合情推理等方面的能力. 因此，在教学中要重视探究内容的创设和探究时机的把握.

（1）让学生去探索研究.

对一个数学对象的研究往往可以从四个角度进行分析：为什么研究，研究什么，如何研究，研究结果. 引入不同类型现实问题情境，增长方式存在很大差异，这就是“为什么研究”. 在确定研究内容“一次函数、指数函数和对数函数三类函数增长的差异比较”之后，“如何研究”就是最重要的环节.

在上述教学案例中，出示探究1后，紧接着提出问题1及4个追问，把学生的思维强行带入教师预设的轨道，禁锢了学生的思维，看似探究实则是“假探究”.舍得留出时间给学生，让学生自行规划研究思路（从具体到抽象、从特殊到一般），思考具体问题，如研究的区间、函数的选择、图象的绘制、函数的调整、信息技术的支持等. 探究1具有示范性，引导学生类比上述研究过程，继续探究2，进一步领会研究方法. 例如，在更大的范围内，用几何画板软件画函数[y=2x]和[y=100x]的圖象，交点可能显示不出，此时就是学生探索的最好契机：如果在几何画板软件的数轴上同时改变[x]轴和[y]轴的单位长度，图象会发生什么改变？（大小改变但形状不变）;如果只改变[x]轴（或[y]轴）的单位长度，图象会发生什么改变？（图象会被伸压，但由于本堂课研究的是几个函数增长的差异，所以不影响继续研究）.

（2）让学生去体验感悟.

知识的学习只有通过自身的体验才能得到同化和顺应. 教学中要鼓励学生敢于结合已有经验说出自己的感受，发挥自己的想象，体验和感悟知识产生、形成和发展的过程. 只有这样，才能促进学生深刻理解数学本质，实现深度学习. 例如，在上述案例中学生观看新冠肺炎疫情传播视频时，惊呼数据的增长之快，自发地说出“爆炸增长”，此时可以“趁热打铁”，让学生借助工具计算[1.01]的平方和立方，进而提出问题：猜测[1.01365]大概是多少？[1.01365≈37.8]，让学生直观感知“指数爆炸”的含义.

在总结“函数[y=2x]与[y=2x]在[0，+∞]上都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个程度上”时，引导学生发挥想象：取更大的[x]值，在更大的范围内两个函数图象的关系是什么？随着自变量的取值越来越大，函数[y=2x]的图象几乎与[x]轴垂直，可谓是“一飞冲天”，函数值“爆炸式”增长，函数[y=2x]的增长速度保持不变，与函数[y=2x]的增长速度相比，几乎“微不足道”.

（3）让学生去概括表达.

新高考加大了对关键能力的考查力度. 其中，阅读理解和语言表达能力是学生亟需提高的. 符号语言的使用，使数学表达具有简洁性、抽象性、逻辑性等特点，可以极大地缩减数学思维过程，更有利于学生认识和表达数学对象的本质. 例如，作出函数[y=2x]与[y=2x]在区间[0，+∞]上的图象，归纳它们在位置上的关系和趋势时，让学生反复推敲总结，最终提炼出符号语言“总会存在一个[x0]，当[x>x0]时，恒有[2x>2x]”. 概括“三种函数的增长差异”时让学生用不同的语言表达，如文字语言“一次函数的增长速度总是不变;指数函数的增长速度会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值;对数函数的增长速度会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值”;符号语言“总存在一个[x0]，当[x>x0]时，有[ax>kx]，[kx>logbx]，[a>1，b>1，k>0]”;甚至用诗歌的形式表达，如“增长模型各不同，指数增长最震撼，直线增长稳上升，对数增长慢悠悠”.

3. 要注重落实核心素养的课堂定位

《标准》中提到，函数单元要重点提升学生的数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理素养. 本节课主要提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学建模素养. 那么，课堂教学中如何让这些核心素养落地生根？

（1）从函数性质的角度来看.

增长差异是对函数单调性的进一步深化，不同函数的增长差异刻画了它们增长方式及变化速度的差异. 补充[x1，x2]上的变化率[ΔyΔx]的概念，作函数[y=2x]和[y=2x]的图象时，在数表中增加一列数据[ΔyΔx]，从数据上能够直观看出函数[y=2x]的变化率恒定，即增长速度保持不变. 而函数[y=2x]的变化率越来越大，即增长速度在增大，引导学生从代数角度理解图象的陡缓程度. 利用几何画板软件画出函数[y=2x]，[y=2x]和[y=log2x]的图象. 通过比较图象，分析三个函数增长的快慢，特别是当[x]的值比较大时，直观感知函数值的差异，进一步形成更一般的猜想. 借助数表、几何画板软件和GeoGebra软件进行教学，让学生经历通过图形建立直观猜想、通过计算验证结论的思维与操作过程，提升学生的直观想象和逻辑推理素养，通过概括与表达提升学生的数学抽象素养.

（2）能否选择合适的函数模型刻画实际问题的变化规律.

学生选择合适的函数模型刻画实际问题的变化规律的基础是对各类函数的特征有准确的把握，对每类函数到底刻画了哪类现实问题的变化规律有深入的了解，同时对各类函数的增长差异心中有数. 由此可见，发展学生的数学建模素养：一是准确理解各类基本初等函数的概念、性质，以及不同类型函数刻画了哪一类现实问题的变化规律，准确把握各类函数的增长差异;二是加强用函数建立数学模型解决实际问题的实践. 前一个是数学知识基础，后一个是数学建模实践，两者缺一不可. 设计案例中补充了一个简单应用，让学生活學活用，理论与实践相结合，提升学生的数据分析和数学建模素养.

五、结束语

教学设计是课堂教学成功的决定性因素，具有示范、研讨的意义. 教师要准确理解和把握课程目标、课程内容，合理设计课时目标，创设恰当情境，在情境的引导下，让学生发现问题和提出问题，在多媒体的支持下解决问题，落实“四基”，培养“四能”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展. 在探究性教学中，教师应该给予学生充分探索、交流的时间与空间，促使学生养成仔细观察、主动探索、自觉交流、善于表达的习惯，使学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃. 用函数图象和代数运算的方法研究“幂指对”函数[J]. 数学通报，2020，59（10）：1-11.

[3]祁平，任子朝，赵轩. 指明改革方向  绘就培养蓝图：高考评价体系育人视角的解读与应用[J]. 数学通报，2020，59（4）：1-6.