运用方程思想求解初中几何问题例析

【摘 要】方程思想是几何和代数之间的桥梁，运用方程思想能快速地解决几何有关问题。教师应重视培养学生运用方程思想，特别是在求解初中几何问题时学会建立等量关系。本文试举几道典型例题进行分析。

【关键词】方程思想;初中几何;等量关系

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）22-0134-02

方程思想的运用就是从问题的数量关系入手，通过适当设元建立未知量与已知量之间的等量关系，构建方程或方程组，从而解决相关问题[1]。对于初中几何内容所涉及的一些线段、角及面积等问题，运用方程思想能更简便快捷地解决。求解这类问题的关键步骤是寻找等量关系再列方程，即根据题意及图形之间的关系，找出求解问题和已知条件之间蕴含的等量关系，建立方程或方程组。以下笔者通过举例来说明几种常用的方法。

1   以内角和定理或外角关系建立等量关系

对于求解三角形或多边形中某个角的度数的问题，可以根据内角和、外角的性质等找出等量关系，然后列方程求解。

例1：在下图1所示?CAB中，已知CA=CB，D为CA上一点，E为CB上一点，且AE=AB，CE=ED=DA，则∠C为     度。

解：设∠DAE=x，根据己知条件有∠C=2x，∠B=

∠CAB=3x，

由三角形内角和定理有2x+3x+3x=180°，

得到∠C=45°。

2   运用勾股定理建立等量关系

借助四边形边长相等的条件，结合直角三角形性质，利用勾股定理建立等量关系，列方程求解线段长度。

例2：如图2所示，将如下长方形折叠，使得长方形的一边DC上的點C落在AB边上点E处，其中DA=4，DC=5，求BF的长度。

分析：想求得BF的长，利用勾股定理计算，需求EB的长，那么就需求出AE的长，利用勾股定理即可求得AE的长。

解：设BF的长为x，

∴ CF=（4?x），

∴ ?DCF折叠后的图形是?DEF，DC=DE，∠C=

∠DEF，CF=EF，DC=AB=5，

∴ DE=DC=5。

又∵ AD=4，

在Rt?DAE中，由勾股定理可得：AD?+AE?=DE?，

即有4?+AE?=5?，

∴ AE=3，

∴ EB=AB?AE=5?3=2，

在Rt?EBF中，由勾股定理可得：EB?+BF?=EF?，

2?+x?=（4?x）?，那么4+x?=16?8x+x?

那么有8x=12，

∴ x=1.5。

3   借助相似三角形对应边互相成比例建立等量关系

例3：在图3所示Rt?ABC中，己知BD是Rt?ABC的斜边AC上的高，其中BC=15，AD=16，求?ABC的面积。

分析：要求?ABC的面积，就要先求AB的长度。

解：设AB=x，CD=y，求边长AB，根据已知条件列出关于x、y的方程组，然后进行求解即可。

∵ Rt?BDC∽Rt?ABC，

即152= y（y+16），

在Rt?BDC和Rt?ABD中，通过勾股定理，有BC2?CD2=BD2=AB2?AD2，即152?y2=x2?162，解得（负根已舍去），所以S?ABC=AB×BC=×15×20=150。

4   以面积相等建立等量关系

面对已知条件较为复杂的题目，需根据已知条件，挖掘面积相等这一隐含条件，建立等量关系，能化难为易。

例4：如图4所示，在等腰?ABC中，AB=AC=10，高CD=8，AE平分∠CAB。求?ACE的面积。

分析：过E点作?ACE的高EF，根据角平分线的性质得知EF=ED。由已知条件可求出AD=6。由于?ACD的面积还可以表示为?ACE和?AED的面积之和，这样本题的思路便明朗了，即设出EF长，用两种不同的方式表示?ABD的面积，建立方程。

解：如图4，过点E作EF⊥AC，垂足为F。设EF=x。

因为CD为AB边上的高，所以CD⊥AB，∠ADC

=90°。

在Rt?ADC中，∠ADC=90°，于是CD2+AD2=AC2。由于AC=10，CD=8，所以AD=6。

因为AE平分∠CAB且EF⊥AC，CD⊥AB，所以EF=ED。

因为S?ACD=S?ACE+S?AED ，所以5x+3x=24，解得x=3，即EF=3，因此S?ACE=15。

5  利用三角函数建立等量关系

根据三角函数知识可知，在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，由此可以建立等量关系，列出方程。与此类似，同样可以在等腰三角形中建立边与角之间的等量关系。可以把底边与腰的比叫做顶角的正对值，记作sad，如图5中，sad C==

，由此可知一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。

例5：（1）根据上述角的正对定义，如图5，在等腰?CAB中，顶角若∠C为36°，求sad C的值。

（2）如图6，在直角?ABC中，已知sin C=，其中∠A为锐角，试求sad C的值。

解：（1）作∠A的角平分线交BC于点D，易得CD=

AD=AB，?ABD∽?ABC。

∴，设CD=AD=AB=x，CA=CB=a，得

。

（2）如图6所示，延长CB至点D，使得CD=CA，∵ sin C=，可设AB=3k，AC=5k。∴ BC=4k，BD=k，AD=k。

以上仅通过几个典型例题来引导学生把握方程思想的精髓，强化学生利用方程思想解决问题的意识。其中关键是挖掘已知条件，根据三角形、四边形、圆等几何图形的性质建立起等量关系，从而解决问题。数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”把直观的几何图形与抽象的数量关系结合起来，能够把复杂问题简单化，把抽象问题具体化，从而优化解题路径。当教师赋予几何求解以代数意义时，对其元素之间的关系进行转化，几何问题便可归类到代数中去解决，方程思想就是几何与代数的桥梁，教师要在教学中要充分挖掘方程思想的应用[2]。

总之，方程思想是求解几何问题的基本工具，不仅对于解析几何问题有着积极的意义，对于学生思维的发展也具有推动作用。

【参考文献】

[1]项彬.方程思想在几何解题中的应用[J].中学生数学，2011（4）.

[2]朱跃.方程思想在几何题中的应用[J].宿州教育学院学报，2004（7）.

【作者简介】

徐松海（1979～），男，山东青岛人，本科，中学二级教师。研究方向：初中数学教学。