数学建模竞赛驱动下的高等数学课程教学研究

田德生 方次军

【摘 要】本文探讨了在数学建模竞赛驱动下高等数学课程的教学改革。笔者发现，加强数学软件和实际案例的讲授，有利于激发学生的学习兴趣和动力，增强实践性认识，提高教学效果，提升学生的数学思维，进而提升学生的数学素养和创新意识。

【关键词】数学建模;高等数学;竞赛驱动

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）22-0008-02

如今科学技术飞速发展，随着计算机技术及各种智能算法机理的发展，数学知识正以空前的广度和深度被应用到各领域。《高等数学》作为理工科学生的一门基础必修课程，一方面内容覆盖面广，结构清晰，另一方面理论性比较强。由于课时限制，教师在讲授时往往将重点局限在基本理论和公式计算等方面，忽视了高等数学的实践性。在高等数学教学中，理论与实践的结合是课程教学改革的重点方向。

全国大学生数学建模竞赛自1992年举办以来，已发展成为我国规模最大的基础性学科赛事，也为新的教学方式的探讨打开了思路[1]。数学建模是针对具体问题构造数学模型的过程，也是关于部分现实世界的数学结构。数学建模竞赛的举办，能让学生将数学知识应用到具体的实际问题中，因此数学模型也是大学生从“学”数学到“用”数学的重要纽带。在数学建模竞赛活动中，高等数学知识是主要工具，但数学建模对同一问题有不同的答案，评价模型的标准是实践，这与解数学题存在明显差异。将数学建模竞赛同高等数学教学有效融合，成为大学数学课程改革研究的热点与重点。以数学建模竞赛为驱动，可促使教师不断完善教学方法，弥补高等数学教材中应用性不足的问题，激发学生的学习动力和兴趣，培养学生的创新能力。

1   丰富应用素材

许多高校目前用的高等数学教材是同济大学数学系编写的，由高等教育出版社出版的第7版。该教材于1978年3月出版，在40多年里经过多次完善，在内容安排和体系结构上都日趋完善。该教材表述清晰，衔接自然，重理论技巧，已成为众多高校首选的高等数学教材。但在教学中遇到复杂知识点时，对于基础薄弱的学生，教师若一味采用枯燥的公式推导演示模式，可能不利于学生理解知识，还会导致学生应用知识比较困难。因此，高等数学教学内容的探索需具备背景知识、结构体系、应用案例、算法介绍等角度;结合具体实例，在高等数学教学中融入数学建模的思想;使用目前流行且易操作的计算机软件，如MATLAB、Maple、Lingo等，对具体问题进行数值计算、仿真与验证或可视化操作[1]。通过用数学软件推导和验证演示求解极限、线性（非线性）优化等运算，使学生体验数学软件的神奇功能。

2   在案例讲解中传授数学建模的方法

在高等数学教学中，基本概念和基本定理是基础。为让学生更好地理解和掌握相关知识，教师可以结合基本概念的背景和基本定理的产生过程，在教学中引入数学建模思想。教师可先用数学语言来描述这些实际问题，建立合理假设，再将这些假设运用数学知识抽象简化成模型，探讨如何求解，进一步分析模型在实际问题中的体现与应用。这样可以让学生深入理解所学知识，激发求知欲望和创新潜能，学会主动求知、不断探索。

高等数学理论性强，若缺少实用性例子的讲解，往往导致大多数学生认为高等数学与实际生活联系不大，从而丧失学习的兴趣[2]。对此，教师可以补充一些应用型案例，如线性规划中的选课策略、微分方程中的传染病模型、导弹追踪问题等，引导学生分析，尝试在合理假设的基础上应用数学知识建立数学模型。这样不仅能深化学生对高等数学知识的学习，又能培养学生的数学建模意识，激发学生的思维，大大增加学生学习数学理论知识的兴趣[3]。

如教师在讲解“函数的极值与最值”和“可降阶的高阶微分方程”之后，可给出例子：计算y=2x+tan x的极值，求y''=（y'）2+2y'的解，并通过MATLAB软件计算解析和数值解。在讲解多元函数的极值时，教师可先介绍非条件极值、条件极值和拉格朗日乘数法，接着引入MATLAB软件关于线性规划和非线性规划的linprog和fmincon函数命令，最后结合2016年全国大学生数学建模竞赛A题——锚链设计问题，设计如下问题：

（1）求浮标的质量;

（2）当锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角为0度时，求锚链长度和浮标的吃水深度;

（3）当锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过20度，求锚链的最小长度和浮标的吃水

深度。

教学设计：

（1）这是一个非线性优化问题，具体计算步骤如下。目标函数：min z=2·π·r2+2·π·r·h1;约束条件：π·r2·h1=3，用MATLAB中的fmincon函数，求解结果：r=0.7816m，h1=1.5632m，用材面积z=11.5149m2，質量m=538.8973kg。

（2）借鉴同济大学第7版上册教材324页例4，可推导出海水中的锚链就是一个悬链线模型，分析悬链最低点A到任意点M（x，y）弧段的受力情况。A点受水平张力，M点受切向张力，弧段重力大小ρgs（此处ρ为锚链在海水中的线密度），按静力平衡条件，化简整理可得悬链线常微分方程定解问题（这里|OA|=a），

，

其解为悬链线，

弧长方程为。

设锚链与浮标联结点为B（x，y），吃水深度为h米，当锚链与海底相切时，有

水深12 m? y?a+h=12                （*1）

?

=（m+3.2）?g                          （*2）

联立（*1）（*2），采用MATLAB中的fsolve函数，得吃水深度h和锚链长度S为h=0.2960 m，S=15.6006 m。

（3）目标函数（锚链最短）min z=S（x2）?S（x1）。

约束条件三个：①水深12 m;②夹角不超过20度;③ ΣFy=0（浮标与锚链），再次采用fmincon函数，得吃水深度h和锚链长度S为h=0.2964 m，S=14.2487 m。通过讲解分析具体的数学建模实例，让学生深刻体会高等数学知识的广泛应用，转变学生的学习观念，激发他们的求知欲和创新意识。

3   数学建模思想的课外实践

教师在讲授高等数学时，采用的教学方式通常为“讲授+训练”，较少涉及具体的实际性内容，这会让学生感到很枯燥。长此以往，不仅会挫伤学生学习积极性，还会导致学生应用能力较差，很难做到学以致用。为改变这种教学状况，教师可以尝试变革课外实践。

一方面，在课后作业中适当增加一些“从实践到认识”的生活应用题，如北方双层玻璃、椅子落地平稳性等问题，要求学生以数学建模的方式来解答。另一方面，在课程实践中增加一些来自身边的建模题目，让学生分组完成。如对于新冠疫情，教师可让学生根据世卫组织官网的数据，建立模型并计算，对照我国应对疫情的策略，得出我国的制度优势。这样能激发学生的学习兴趣，增强学生爱国情怀，培养学生开拓进取、互助协作的团队

精神。

4   注重學习方法的传授

在数学建模竞赛驱动下，高等数学对提升学生创新思维和实践能力具有重要意义[4]。为增强数学建模竞赛对高等数学课程教学的驱动作用，教师除了要加强学生对数学知识的掌握，还要使其将知识灵活应用。但正如前面提到的，高等数学课程不同于数学建模课程。因此在实际教学中，教师选择具有代表性的案例时，可以对建模题目进行适当的简化和改编，不需要完全照搬完整的数学建模竞赛程序开展教学，更多的是要向学生传授数学建模的思想方法，让学生通过合理假设，建立模型并求解，分析检验等步骤，深入理解高等数学知识与工程应用的交叉融合。

综上所述，数学建模竞赛对高等数学教学有着广泛和深刻的促进作用。目前，新的教学方法的探讨和高等数学课程教学的改革仍面临诸多困难和挑战，这需要广大教育工作者的不断努力和奋斗。

【参考文献】

[1]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006（1）.

[2]龚雅玲.数学建模思想在高等数学教材中的渗透[J].北京教育学院学报（自然科学版），2015（3）.

[3]王菡.数学建模思想融入高数课堂的实践案例研究及分析[J].数学学习与研究，2015（21）.

[4]李丽，杨方白，门桐宇，等.基于数学建模思想的高等代数课程教学研究[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2017（2）.

【作者简介】

田德生（1966～），男，汉族，湖北谷城人，教授，博士。研究方向：数学建模、常微分方程。

方次军（1974～），男，汉族，湖北孝感人，副教授，博士。研究方向：复杂系统、数学建模。