在比较中深化 在推理中升华

董文芳

[摘  要] 文章以“一位小数的大小比较”一课为例，论述在数学核心素养的视角下，深度建构学生知识体系，渗透数学基本思想的策略和意义。借助“分类比较，勾连不同方法”“多维比较，联系知识本源”“情境比较，加强理解运用”丰富学生对一位小数大小比较方法的理解，发展数感和初步的推理能力。

[关键词] 小学数学;大小比较;推理

教学内容：苏教版三年级下册90页、91页例3及“试一试”“想想做做”。

教材分析：三年级学生在日常生活中已经接触过小数，但由于小数是十进制的特殊表现形式，其意义具有一定程度的抽象性，学生要深刻理解小数大小比较方法和内涵，有一定的困难。本节课重在让学生理解小数意义的基础上自主经历比较的过程，渗透转化、数形结合思想，在多样化方法中交流、辨析、优化，丰富积累数学活动经验，提升数学学习素养。

教学目标：（1）结合具体生活情境，在“数学化”活动过程中，自主经历探索小数大小比较的过程，能正确比较一位小数的大小。

（2）经历多样化数学方法的比较过程，渗透转化、数形结合、优化等思想和方法，让学生借助形的直观理解数的内涵，提升学生数学思考的能力。

（3）培养学生质疑、合作、交流的能力，感受数学与生活的密切联系，体会数学的应用价值。

教学重点：在具体情境中理解小数大小比较的方法，能正确进行比较。

教学难点：借助直观图进一步理解小数大小比较的方法。

教具学具：课件、数字卡片、作业纸。

课前谈话：生活中的小数无处不在。师生比身高、体重，引导学生发现小数也有大小。

一、了解起点，提出问题

1. 导入新课，初提问题

揭题：生活中常常进行数量之间的大小比较，我们学习过整数、分数之间的大小比较，今天来研究一位小数的大小比较。（板书课题：一位小数的大小比较）

提问：夏天到了，同学们喜欢的冷饮很畅销，商店有4种不同价格的冷饮，雪糕1.5元、冰砖0.8元、冰淇淋2.2元、冰棒0.6元。由这些信息，你能比较哪两种冷饮的价格？根据学生的发言依次板书0.8>0.6，0.8<1.5，2.2>1.5， 0.6<2.2，1.5>0.6，0.8<2.2。

2. 分类小数比较问题

交流：这么多小数比较的问题，可以分类吗？为什么这样分类呢？指出根据整数部分的不同分为三类。

3. 根据生活经验比较

分享：平时买过冷饮吗？按照你的购物经验，0.8元和0.6元谁大？

过渡：数学是讲道理的学科，为什么0.8元比0.6元大呢？请你们用数学眼光把想法和思考过程写在作业纸上。

设计意图：小数大小的比较是在整数大小的比较、同分母分数大小的比较等知识教学之后的同类型知识，因此学生在知识、方法和思想三个方面已经有了足够的储备，这些储备是发展学生思维、沟通知识内在联系、渗透和孕育数学思想的“富矿”。扣住“0.8为什么大于0.6”这一问题展开教学，聚焦知识体系中的核心知识，扣住核心知识生长的背景，找到核心知识的教学意蕴。

二、自主探索，建构方法

1. 比较整数部分相同的小数

（1）尝试不同策略进行比较。

探究：学生思考，教师巡视，写好策略的学生在小组互相交流。

汇报：请部分学生到实物投影上展示作业纸写的内容，讲述思考过程。

①化成角。以“角”作单位，将小数化成整数来比。0.8元=8角，0.6元=6角，8角比6角大，所以0.8>0.6。（板书：化成角）

②化成分数。把小数化成分数，十分之八大于十分之六，所以0.8>0.6。（板书：化成分数）

③画图比较。不看整数部分的0，直接比较8和6。追问：为什么呢？

启发：将小数化成正方形帮助理解。平均分成10份，取其中的8份，表示0.8。请学生在作业纸上涂色0.6，再比一比。8份比6份多，从图上可以看出0.8比0.6大。

将小数化成线段图表示。请学生到屏幕上指一指0.8和0.6：谁离1近？線段图上一个小格表示多少？0.8里有几个0.1？0.6呢？

引导学生在叙述的时候要有条理、有根据。

小结：画图能非常直观地看出两个小数的大小。（板书：画图）

（2）探寻各种方法的联系。

归纳：把大家的方法整理一下，这么多方法有什么联系或共同的地方？“转化成角”是看小数里有几个1角，“转化成分数”是看有几个十分之一，“画图”是看有几个0.1，都是在比0.8和0.6里包含了多少个相同的计数单位。学生不仅比出了小数的大小，还找到了背后的道理！

小结：整数部分都是0的小数，只要直接比较小数部分的大小。

设计意图：给学生足够的空间展示“化成角”“化成分数”“画图”等多种方法，使各种不同的“关系”在同一场景中“现身”，然后在“能不能找到关联或共同点”的启示下，使各种关系有效连通，并达到深度理解的层次。学生获得的不仅仅是知识，更多的是思想和智慧，是方法和联系，是对数学的好感和亲近。

2. 比较整数部分不同的小数

类推：根据以上的经验再来比一比雪糕和冰砖的价格，同桌互相讨论。

（1）化成角来比。15角大于8角，所以0.8<1.5。

（2）和1元比。0.8元比1元少，1.5元比1元多，所以0.8<1.5。

（3）直接比较整数部分。0比1小，所以0.8<1.5。追问：小数部分8比5大，为什么只看0和1就比出了结果呢？

（4）画线段图比。怎么表示1.5呢？线段“1”延长到“2”，“1”后面有5个小格。

演示：0.8有8份，比1小;1.5有15份，比1大，所以0.8<1.5。小小的图形的作用可真不小，帮助理解了“为什么只要直接比较0和1就可以了”。

小结：像这样的整数部分不都是0，怎么比？哪个整数部分大，这个小数就大。

3. 总结积累完善方法

（1）直线上比较大小。

延伸：能接着在直线上找到2.2吗？直线延长到3，2后面的两格就是2.2.像这样继续往右延长，还可以表示更多的数，以后还要学习从0往左延长，认识新的数。真是一条神奇的直线。

思考：请同学们在直线上表示这四个小数，并任选两个小数比一比，同桌交流比较方法。

反馈：学生任选两个小数比较，并说一说比较的过程。教师相机提问：2.2>1.5这一组的整数部分都不是0，怎么比？为什么都喜欢直接比较整数部分？更直接，更简便。

（2）直线上验证深化。

探究：比较了大小，再来观察这条直线上的数，有什么发现？

反馈：越往右边，小数越大;越往左边，小数越小。所以最大的是2.2，最小的是0.6;“一点几”都在“零点几”右边，验证了刚才的发现：“零点几”都小于“一点几”。

拓展：0和1之间都有哪些小数？1和2之间，2和3之间呢？想一想，“五点几”在哪两个整数之间？直线上还能找到更大的数吗？100、101之间有哪些一位小数？这些小数中最小的是哪个？最大的是哪个？这些小数大不大？小数并不“小”，也可以很大。8848.86这个小数是多少？它很特别，知道吗？这是世界最高峰珠穆朗玛峰的高度。

（3）优化小数比较方法。

回顾：通过以上学习，能完整地说一说比较小数大小的方法吗？指名两位学生回答。同桌之间再互相说一说方法。

小结：不管是哪种思考方法，都从高位比起，先比较整数部分，再比较小数部分。（板书：从高位比起）

设计意图：聚焦“道理”“方法”两个环节，继续展开探究，给学生较大的研究和学习的空间，使其多层面、多视角进行发散与聚合。借助直线描一描、比一比，认识更大的小数，自然建立整数与小数的联系，教师的“教”，更多的是点拨、鼓励、欣赏、提醒、引导。

三、拓展深化，提升应用

（1）人民币比大小。掌握了比较方法，让我们解决生活中的一些问题。出示人民币，比较大小。

（2）储蓄小冠军。下面三位同学储蓄几元几角？谁是储蓄小冠军？谁最少？你是怎么想的？

（3）跳远小冠军。这是三只青蛙跳远比赛名次，它们的成绩各是多少呢？提问：你是怎么看出来的？

（4）跑步小冠军。出示四位同学跑步成绩。请学生颁奖，谁是冠军？谁是第二名？谁是第三名？跑得越快时间越少，比的时候不仅要注意数的大小，还要联系生活实际。

（5）航模小冠军。谁是航模比赛小冠军呢？出示比赛规则，飞行时间越长，成绩越好。由提示语和比赛时间，确定每人的成绩。

比较：跑步和航模都是计时，为什么跑步第一名取最短時间，航模比赛第一名取最长时间？比赛规则不同，生活中需要仔细观察，深入思考。

（6）翻牌比冠军。

游戏规则：每队有0到9共10张牌。男女生各选派代表依次翻牌组成小数比大小;自己决定翻到的数字放哪一位;能确定胜负时，本轮比赛结束。

①翻牌过程中采访学生，为什么把这个牌放在这个数位？引导得出：取胜的秘诀是把大数放在高位。

②董老师还有更巧妙的方法，不管怎么抽都能赢：移动小数点，变成“□□.□”“□.□□”。这样能确定赢吗？

在翻牌游戏中也能得出整数部分大，则这个小数就大。

四、全课总结，连线生活

希望同学们下课后继续发现生活中的小数问题，不仅会问、会想，更会用！

设计意图：从储蓄小冠军、跳远小冠军、跑步小冠军、航模小冠军、翻牌小冠军等生活场景中设计练习，深化对小数比较本质特征的认识。多样化的层次性练习，将数学知识与学生已有的生活经验相沟通，不仅是对知识的具体应用，更将感性认识上升为理性认识。

五、教后反思

1. 分类比较，勾连不同方法

小数大小的比较是在整数大小的比较、同分母分数大小的比较等知识教学之后的同类型知识，同时小数也是十进制形式，但由于小数的特殊性，小数意义不像自然数那么直观，学生要深刻理解小数比较方法和内涵存在一定难度。本课需要根据小数的含义，使学生在沟通概念和意义的同时自然获取比较大小的知识点，对学前基础中碎片化、点状化的知识进行复习梳理，使其条理化、结构化、系统化。根据情境商店有4种不同价格的冷饮——0.8元、0.6元、1.5元、2.2元，引导学生由这些信息能比较两种冷饮的价格大小，启发小数比较可以根据整数部分的不同分为三类：第一类，整数部分都是0;第二类，一个整数部分是0，一个整数部分不是0;第三类，整数部分都不是0。接下来围绕不同的三类展开探讨，分别得出：整数部分都是0，只要直接比较小数部分就可以了;整数部分一个是0，一个不是0，哪个小数的整数部分大，这个小数就大;整数部分都不是0，先比较整数部分，再比较小数部分。分类比较后，引导完整的归纳：不管哪类比较，都是先比较小数的整数部分，再比较小数部分。整数和小数都是十进制，从而勾连整数比较方法，都是先从高位比起，也为后面学习多位小数及百分数比较埋下伏笔。

2. 多维比较，联系知识本源

在比较整数部分相同的小数大小时，大问题下启发思考：“两个小数怎么比？为什么这样比？”多样化呈现方法，从具体的数量“8角和6角”到半抽象的“分数、单位正方形图、线段图”，再到抽象的方法总结，学生在多元表征中逐步经历比较方法的抽象过程，开阔思路，培养了横向、纵向综合解决问题的能力，有效发展数学思考。学生从生活经验出发联系具体数量单位“元”“米”等将小数转化成整数来比较，还可以利用小数的意义将小数转化成分数来比较大小;也可以引入直观的单位正方形图，将一个正方形表示为“1”，平均分成10份，0.8是8份，0.6是6份，正方形图是帮助学生主动建构小数意义的很好的载体，是比较小数的一个直观工具;还可以通过小数在线段图上对应点的位置进行判断，0.8有8个小格，0.6有6个小格，通过比较线段的长短看出小数的大小，小数与线段图上的点建立了一一对应的联系。最后引导学生发现不管哪种思考方法，都是相同计数单位之间的比较，开展以抽象为主线的思维训练。

3. 情境比较，加强理解运用

学生掌握一位小数比较方法后需要展开思维训练，利用不同的规则推理强化小数大小比较方法，联系生活经验在具体情境里比较小数的大小，体会小数的现实意义，促进对小数的理解和应用。5个系列“小冠军”题目由易到难层层推进，成为学生思维发展的催化剂，学生展开多维形式的推理演绎，提升思维认知水平。储蓄“小冠军”是对例题的巩固;跳远“小冠军”是以长度为单位的小数之间的比较;跑步“小冠军”是以时间为单位的比较，还隐藏着“跑得越快时间越少”这个生活常识;航模“小冠军”需要根据四句提示语对小数大小排序，“红红成绩可能是十六点几呢？最少是多少秒？最多是多少秒？”这个关键问题的提出，学生需要根据“军军16.4秒和亮亮17.3秒”推想红红的成绩在这两个数之间，还要根据确定好的个位“6”得出最少是16.5秒，最多是16.9秒;最后的翻牌“小冠军”再次点燃了学生的学习热情，课堂更加灵动有趣，学生需要灵活联系小数比较方法，根据自己翻到的数及对方翻到的数，还有想象接下来翻到的数决定将数放在哪个数位。在这个过程中，全班分成两个队通过持续推理想象，进一步体验到小数大小比较的本质。既为学生提供广阔的思维空间，也释放学生的潜能和才华，让学生感受到好玩有趣。通过这个环节的学习，学生能灵活自如地解决各类生活中的小数问题。

本课在数学思想的渗透方面还做了尝试。借助“数轴”这个具体的“形”帮助理解如何比较一位小数的大小，发现小数排列的特点和规律，感受小数的有序性和小数与整数之间的关联，进一步丰富数的内涵和外延，有效发展数感，有机渗透数形结合基本思想，创造机会发挥多维表征在数感培养中的作用。在模仿和推演基础上，通过抽象过程建构完整的计数方法，明晰“比较小数大小就是看小数里包含了几个相同的计数单位”，有机渗透抽象的基本思想。将抽象的小数大小比较具体化、形象化，运用不同思想模型解决生活中的问题。学生在这样的学习中，自主建构数学知识的结构网络，感悟知识之间的联系，对小数的认识更加完善。