深度体验：开启儿童数学“发现”的密码

陆立海

[摘  要] 小学数学发现学习的“深度体验”，正是基于学生的原有背景、认知水平、思维能力等因素，拉长“發现”前的时间轴，让儿童有更强烈的刺激、更全面的理解、更深刻的体验，真正成为数学的“发现”者、“创造”者。制造问题陷阱，强化体验，激发学生“发现”的悱点;增强素材刺激，丰盈体验，伸长学生“发现”的触角;优化活动组合，深刻体验，通达学生“发现”的路径。

[关键词] 深度体验;儿童数学;发现学习

著名数学教育家弗赖登塔尔指出，学习数学唯一正确的方法就是让学生进行“再创造”。布鲁纳所倡导的“发现法”，也旨在激发学生形成内在动机，让其通过自己主动地探索，获得解决问题的能力与探索的技巧。小学数学发现学习的“深度体验”，正是基于学生的原有背景、认知水平、思维能力等因素，拉长“发现”前的时间轴，让学生有更强烈的刺激、更全面的理解、更深刻的体验，催生其进一步明确探究方向，激活其探究潜能，筛选适宜探究路径，让学生真正成为数学的“发现”者、“创造”者。

一、制造问题陷阱，强化体验，激发学生“发现”的悱点

数学是以问题为中心的学科，它随着问题而发生，并伴随着问题的解决而发展。问题是思维的导火索，更是学生数学“发现”的源动力。教学中，我们可以设计“特殊”的情境，制造问题陷阱，让学生在不知不觉中对某个现象产生心理趋向、行为趋向。

1. 不公平体验。每个人都希望竞争（游戏）是公平的，评价是客观的。教学中，我们可以反其道而行，围绕某个数学问题，创造“不公平”的竞争（游戏），让学生处于“抱不平”状态，从内部刺激学生产生好奇心、好胜心，激其深度思考、准确表达，从而将学生引向新问题探究的征程中。设计不公平的游戏时，教师应该厘清游戏和探究之间的关系，明晰不公平的“点”在哪里，清楚将学生引至何方。不公平竞争（游戏）可以是师生之间，也可以是生生之间，要“放大”不公平，让部分参与者明显意识到被“欺负”，引发质疑，促其寻找根由。

如，教学“质数与合数”时，笔者在黑板上出示四组求一些数的因数的练习题：

第一组分别求出1、7、11、23的因数;第二组分别求出2、3、5、17的因数;第三组分别求出9、18、24、42的因数;第四组分别求出48、16、36、12的因数。

让四个小组分别选派一个“数学能手”在黑板上板演比赛，其他同学分别完成本小组对应的题目。因第一、二组题中数的因数只有1和它本身，很容易完成，而第三、四组题中数的因数个数比较多，写出答案要相对慢一些，由此形成冲突，促使学生产生按照因数的个数“少与多”进行分类的需求，从而易于将自然数分为：1、质数、合数。

2. 奇异式体验。学习者在经历新颖的、不一致的、令人惊奇的、变化的学习情境时，往往会引发认知冲突，产生“为什么”“怎么办”的疑问，同时产生想消除或减少这种矛盾点的探究性心理和行为。奇异式体验，就是教师通过创设一个比较蹊跷的场景或呈现一件不好理解的事情，让学生进入想说又不能完全说出来的状态，诱发学生进入问题探究之中，实现认知的再平衡。场景设计，一要贴近学生的实际，符合学生的年龄特征;二要凸显“蹊跷”，让学生产生浓厚的兴趣。

如，教学“负数的认识”时，笔者先出示了如下场景：

教师问：上面哪个小动物的观点正确？你觉得应该怎样来定这座山的高度？显然，这两个小动物说出山的高度都和自身所在的位置有关，不同的位置表述不一样，这样的情境，类似于“两小儿辩日”，没有最终答案，进而引出要以“海平面”为标准（参照物），测量山的高度。这时，假定熊猫的位置正好就和“海平面”在同一条线上，说出山的高度后，再分析小鸭子的位置该怎样表示，从而引出负数。

3. 挖坑式体验。在学习活动中，学生往往去寻找与以往的学习高度相似的方法与经验，以实现新知的迁移、问题的解决。有些知识之间，从表面上看存在某种形似，但实际上存在较大差异，甚至是迥然不同的。所谓挖坑式体验，就是通过一组形式相近但本质属性、思维方式完全不同的问题（或场景、题目等），让学生入“陷阱”而后思不足，从而重新寻求破解问题的路径。进行“组块化”设计，可利用先前学习的知识或经验对后继学习的干扰，也可利用后继学习对先前学习的消极影响，把“负迁移”作为重要的资源来使用。

如，教学“3的倍数特征”时，笔者先出示一组数，让学生判断能不能通过2、5的倍数特征，类推引出3的倍数特征。因2的倍数特征只看个位，5的倍数特征也只看个位，所以让学生猜测3的倍数特征可能是什么。学生受负迁移的影响，往往会说“一个数的个位上是3、6、9，这个数就是3的倍数”。通过举例验证发现，13、16、19等数的个位上满足了3、6、9的要求，但却不是3的倍数。学生“中招”后，体会到此路不通，生发另寻蹊径的欲望。

二、增强素材刺激，丰盈体验，伸长学生“发现”的触角

有效的数学学习应当是以数学思维活动为核心，数学学习活动本质上就是在教师的引导下，学习数学家思维活动成果的同时积累数学思维活动经验，发展数学思维。为此，教学中通过丰富的素材，让学生在比较活动中获得感知，在概括活动中建构新知，在批判活动中完善认知，反复体验，多维思考。

1. 趋同体验。即教师提供给学生有相同数学模型，但内容不完全一致的素材，让学生反复经历、体验，感悟出其中的奥秘。“量变引起质变”，趋同体验有利于学生通过比较、分析、概括等思维方式建构数学新知，构建数学模型。趋同，分为完全趋同、局部趋同。完全趋同与局部趋同具有相对性，从某个视角看有些素材可能是完全趋同，换一个视角看可能又会是局部趋同，甚至是趋异的。为实现有效“刺激”，进行趋同体验时，应充分考虑到学生的年龄特点、心理因素、思维能力等因素，少使用“高度一致”的提问方式，以免造成学生探究欲望的降低、思考问题兴趣的丧失;要强化比较，感悟数学结构或模型的本质。

如，教学“认识11-20各数”时，笔者呈现了三个素材，让学生体验。首先让学生从很多铅笔中（有10支捆在一起的，也有很多单独一支的）拿出12支铅笔，学生出现了两种拿法：一种是一支一支地取;另一种是先取1捆，再取2支。比较得出：第二种拿法省时且让人一眼看出是12支。接着从提供的木夹中取出12个，要求能让人一眼看出。接着让学生说出下面的桌子上有多少本书。

在学生充分体验后，比较这三幅图有什么共同的特征，得出：都由1个十和2个一组成了12。

案例中的三种素材都是12，但呈现的方式和问题的指向各不相同，有开放式取铅笔，有定向式取夹子，还有已知12本书让学生说本数。学生们在活动中构建“10个一是1个十”“1个十和2个一组成12”，从具体到抽象，从现象到本质。

2. 递进体验。数学知识存在着一定逻辑结构，学习数学一般经历“由简到繁、由浅入深”的过程。在学习有承接关系、递进关系的知识时，可以提前铺垫、渗透需要掌握的知识和思考问题的方式，为学生的“发现”扫清障碍。递进性体验，有利于训练学生思考较复杂问题的思维方式，但不适宜连续“承接”或“递进”，过于挖深，违背小学儿童的思维特征和思维习惯。值得注意的是递进体验，并非是要进一步得到“承接”或“递进”素材的结构模型，重点是体验，目的是为后继学习做铺垫。

如，苏教版三年级下册第三单元“解决问题的策略”有这样一道例题：

这是一道已知两个条件，需要两步计算的实际问题。在学习本课前，笔者设计了类似于下面的实际问题让学生练习。

果园里有梨树50棵，苹果树的棵数是梨树的4倍。苹果树有多少棵？梨树和苹果树一共有多少棵？

练习题的条件与课本例题同质，不同的是练习题的第一问是直接利用条件一步解决问题。完成第一问后，把所求的问题再充当第二问的条件，也是一步解决问题。这样的练习，是基于原理的一步计算问题，又为后面的两步计算问题埋下伏笔。

3. 反向体验。有些数学知识之间是互逆的，如减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算等。在组织学生学习某个知识模块后，可适当增加一些反向素材，让学生体验思考问题的不同方法，为进一步探究未知做准备，有效促进学生逆向思维能力的提升。反向体验时，教师一方面要多让学生去比较，感悟题干、素材的差异，另一方面要引导学生探寻分析问题的思路。

如，学习“9加几”一课后，除了正常练习9加几的算式外，还可练习“已知9与一个数相加的和，求这个数”算式，譬如“9+（   ）=16”。这样的训练，一方面强化学生对9加几的熟悉度，另一方面还为学习十几减9做铺垫。

三、优化活动组合，深刻体验，通达学生“发现”的路径

所谓活动组合，就是根据学生的已有认知，将学习内容、资源素材、教法学法有机组块而形成的一种学习方式。开展模块学习体验，有利于培养学生自主学习、自主探索、自主发现的能力，实现学生学习的可持续发展。探究发现学习法有多种活动组合方法，下面仅列举几例。

1. “猜想—验证”的体验

“猜想—验证”是学生解决问题的一种思想方法。猜想，是根据一定的学习材料和已有事实做出的推断性判断。对于猜想得到的命题，可能为真命题，也可能是假命题，这就需要通过演绎论证或举出反例来证明。因小学生的思维受限，在小学阶段主要采用举例的方法进行验证。只要出现一个反例，就说明猜想是错的;如果没有出现反例，则说明结论是正确的。在小学中高年级，引入“猜想—验证”，强化其过程体验，有利于培养学生直觉思维，提升学生“发现”能力。

如，学习“三角形的内角和等于180°”时，笔者让学生说一说每块三角尺的各个角的度数，引导学生将各个角的度数加起来。因两块三角尺的3个内角的和都是180°，得到猜想：三角形的内角和等于180°。接着让学生用事先准备好的三角形，小组合作，用量角器量出每个三角形3个内角的度数，并进行相加，判断猜想是否正确。因举例测量验证，可能会出现误差，再学习剪拼的方法进行验证。因为三角形的3个内角拼在一起，可以形成一个平角，即180°，证明猜想正确。

当然，有时“猜想—验证”会演变成“尝试—检验”。如在学习“三位数乘两位数的笔算”时，可先让学生自主尝试计算，再通过估算、转换成连乘算式、用积除以其中一个乘数等方法进行验证，判断方法是否可行，最后总结出算法。

2. “分类”过程的体验

分类，就是在人們学习活动中，当所给的对象有多种情形，需要将研究对象按照某个特定的标准，将相同属性的对象归为一个类别，不同属性的对象归为不同的类别，再对每个类别进行研究，得到每个类别的特征属性。体验分类学习，就是体验“确定分类标准—逐个归类对象—按类别研究”系列活动，让学生切实体会到分类的作用、方法。

如，在教学“异分母分数加减法”时，笔者出示情境：有一块蔬菜地，其中1/8种黄瓜，1/2种茄子，3/8种番茄。让学生根据信息提出一步计算的问题，并列出算式，再让学生将算式分类。不同的学生分类方法不同，有按照运算的不同来分，有按照分子是否相同来分，还有按照分母是否相同来分。接着教师聚焦到按分母的不同来分，让学生归类，并说一说哪种类别会算，怎么算，顺势复习同分母分数加减法的计算方法。之后，教师问：异分母分数加减法应该怎样算？引出将异分母分数加减法转化成同分母分数加减法来计算。

这样的过程，是学生经历了确定标准分类、比较两种类别的差异、学会将未知转化为已知的过程，学生在学习活动中，发现算法，明白算理，知晓了不同算式之间的相互联系，对数学的认识更加深入。

3. “类比”过程的体验

在学习活动中，我们常常把两类不同的对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似的属性，那么就会根据一类对象的某些已知特性推断另一类对象也具有这些属性，这样的方法就是类比。让学生经历类比的过程，通过比较、推理、判别等活动，体验其方法，有利于发展学生的探究能力、创新能力。

如，学习了“加法交换律”后，教师可以提问：减法有没有交换律？乘法、除法呢？再举例证明，得出减法、除法没有交换律，乘法有交换律。之后，学生再学习“加法结合律”，自然想探寻减法、乘法、除法是否有结合律，并进行验证。这样的过程，学生经历了两次“类比”，初步感受到“类比”的价值。

总之，激活学生数学“发现”思维，是一个渐进、沉淀、积累的过程，需要在较长时间的体验、感受、训练中逐步建立起来。作为教师，我们要创造性地使用教学资源，精心设计可以培养学生“发现”思维的点，多让学生体验，经历学习活动的过程，适时点拨、引导，让学生在过程中学会提出问题、分析问题、解决问题，促其数学“发现”能力的提升。