交换半环上有限生成半模的基数问题

张小梅， 舒乾宇

（四川师范大学 数学科学学院，四川 成都610066）

对于半环上半模结构的研究已经有了很长的历史.1979年，Cuninghame-Green［1］在max-plus代数中构建了类似于线性代数的一系列理论，之后研究者们又在该理论上得到了许多类似于线性代数的结论［2-6］.2007年，Di Nola等［7］在MV-max代数中构建了半环上半模的结构，引入了许多定义并提出了一些开问题，其中之一就是每组基的基数是否相同.这个问题在max-plus代数中已经得到了证实［8］.2011年，Zhao等［9］在join半环中给出每组基有相同基数的充要条件.2014年，Tan［10］在交换半环中给出每组自由基有相同基数的充要条件.同年，Shu等［11］在交换半环上的n-维半线性空间中给出每组基有相同基数的充要条件.2016年，Tan［12］讨论了自由集及其性质.区别于模的是，在半模中，线性无关的向量组不一定是自由的.因此，研究者们把线性无关分成了半线性相关和强线性无关2类.但对交换半环上强线性无关集的性质和含有强线性无关基的有限生成半模的基数问题至今没有讨论，本文将在交换半环上对强线性无关集的性质和含有强线性无关基的有限生成半模的基数问题进行讨论.

1 预备知识

为了下面讨论方便，本节将给出一些定义和基本结论.

定义1.1［13］半环L=（L，+，·，0，1）是满足下述性质的代数结构：

1）（L，+，0）是交换幺半群；

2）（L，·，1）是幺半群；

3）对任意的r，s，t∈L，满足r·（s+t）=r·s+r·t和（s+t）·r=s·r+t·r；

4）对任意的r∈L，有0·r=r·0=0成立；

5）0≠1.

若对任意的r，r′∈L，满足r·r′=r′·r，则称L是交换半环.

例1.11）设N是所有自然数构成的集合，N连同普通的加法和乘法运算构成交换半环.

3）模糊代数〈［0，1］，max，min，0，1〉是交换半环.

定义1.2设L=〈L，+，·，0，1〉是半环，M=〈M，+M，0M〉是加法交换幺半群.若外积*：L×M→M满足对任意的r，r′∈L和a，a′∈M都有：

则称〈L，+，·，0，1；*；M，+M，0M〉为左L-半模.

类似的可以定义右L-半模，其中外积的定义为M×L→M.

为了方便，在不会引起混淆的情况下，在左L-半模〈L，+，·，0，1；*；M，+M，0M〉中，对任意的r∈L，a∈M，将用r a代替r*a，用0代替0M.

若无特别说明，下文中的半模都指左L-半模.令=｛1，2，…，n｝，其中n是任意正整数.用｜S｜表示集合S中元素的个数，称为集合S的基数.半模中的元素称为向量，半环中元素称为标量或系数.前者用粗体表示以区别标量.可以构造出下面一些半模.

例1.2（a）设L=〈L，+，·，0，1〉是半环.对n≥1，令

其中（x1，x2，…，xn）T表示（x1，x2，…，xn）的转置.对任意的x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，

设N是L-半模M的非空子集，如果N中的元素关于M中的加法和乘法运算封闭，那么称N是M的子半模.对M的任意子半模N1、N2，称N1+N2=｛x+y：x∈N1，y∈N2｝和N1∩N2=｛x：x∈N1且x∈N2｝分别为子半模的和与子半模的交.显然子半模的和与子半模的交还是子半模.

设S是L-半模M的非空集合，在M中所有包含S的子半模的交仍为M的子半模，称为是由S生成的子半模，记作Span（S），容易证明合.如果S=｛x1，x2，…，xm｝，那么

若Span（S）=M，则称S是M的生成集.若M中存在有限生成集，则称M是有限生成半模.称M中生成集的最小基数为M的秩，记作r（M）.显然在有限生成半模M中，秩是存在的.

定义1.3［7］在L-半模M中，单个向量x是线性无关的.若向量组x1，x2，…，xn，n≥2中任一向量都不能由其余向量线性表示，则称向量组x1，x2，…，xn是线性无关的.否则，称向量组x1，x2，…，xn线性相关.

定义1.4［13］在L-半模M中，线性无关的生成集称为M的基.

定义1.5［10］设x1，x2，…，xn是M的向量组.对任意的α∈M，若α最多用一种方法由x1，x2，…，xn线性表出，则称向量组x1，x2，…，xn是自由的.若Span（x1，x2，…，xn）=M，则称该向量组为半模M的自由基.

用Mm×n（L）表示L中所有m×n矩阵组成的集合.特别地，令Mn（L）=Mn×n（L）.对任意的A=（aij），B=（bij）∈Mm×n（L）和C=（cij）∈Mn×l（L），定义运算如下：

则（Mn（L），+，·，On，In）是一个半环，其中，

定义1.6［13］称A∈Mn（L）是左可逆的（或右可逆的），如果存在B∈Mn（L）使得AB=In（或BA=In）.若A既是右可逆的又是左可逆的，则称A是可逆的.

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定义1.7［10］设A=｛x1，x2，…，xm｝和B=｛y1，y2，…，yn｝是L-半模M的2个子集.若对任意的xj，j∈可由y1，y2，…，yn线性表出且对任意的yi，i∈可由x1，x2，…，xm线性表出，则称A和B等价，记作A～B.

引理1.1［14］设L是交换半环，A，B∈Mn（L）.若AB=In，则BA=In.

若无特别说明，在下文中总是假设L是交换半环.

2 强线性无关集的性质

本节将讨论在有限生成L-半模M中强线性无关集的一些性质以及它与自由集之间的关系.首先，给出相关的定义.

定义2.1［13］在半环L中，a∈L是加法可消的当且仅当对任意的b，c∈L，由a+b=a+c知b=c.用K+（L）表示L中所有加法可消元组成的集合.若K+（L）=L，则称L是加法可消半环.令V（L）=｛a∈L：存在b∈L，使得a+b=0｝.若a∈V（L），则称a是加法可逆的.显然V（L）⊆K+（L）.

令W（L）=｛a∈L：若b∈L，则存在元素r∈L，使得a+r=b或a=b+r｝.显然W（L）是非空的，因为0∈W（L）.如果W（L）=L，那么称L是yoked半环.

定义2.2［13］设0≠a∈L，若存在非零元b∈L使得ab=0，则称a是左零因子，b是右零因子.若一个非零元既是左零因子又是右零因子，则称之为零因子.没有零因子的半环称为整半环.

根据定义2.1和定义2.2，类似地可以定义.

定义2.3在半模M中，x∈M是加法可消的当且仅当对任意的y1，y2∈M，由x+y1=x+y2知y1=y2.用K+（M）表示M中所有加法可消元组成的集合.若K+（M）=M，则称M是加法可消半模.令V（M）=｛x∈M：存在y∈M，使得x+y=0｝.对任意的0≠x∈M，若对任意的非零元b∈L使得b x≠0，则称M是整半模.

定义2.6在L-半模M中，强线性无关的生成集称为M的强线性无关基.

引理2.1［16］设L=〈L，+，·，0，1〉是半环，则：

1）对任意的a，b∈L，a+b∈V（L）当且仅当a，b∈V（L）；

2）对任意的a∈V（L），r∈L，则ra，ar∈V（L）.

根据定义1.5和定义2.4有如下结论.

命题2.1在L-半模M中，若｛x1，x2，…，xn｝是自由的，则｛x1，x2，…，xn｝是强线性无关的.

引理2.2［12］设M是有限生成自由半模，A是M的生成集且｜A｜=r（M），则A是自由基.

根据命题2.1和引理2.2有下面的结论成立.

推论2.1设M是有限生成自由半模且r（M）=n，则M中任意含有n个向量的基都是强线性无关的.

引理2.3设半环L中存在0≠a∈L是加法可逆的非零因子.M为L-半模，向量组x1，x2，…，xn，n≥2是M的向量组.

由0≠a∈L是加法可逆的非零因子和引理2.1知0≠ark∈V（L），其中k∈｛j，j+1，…，n｝.又由M是整半模和xj≠0知arj xj≠0，从而存在J1⊆｛j，…，n｝，J2⊆｛j，…，n｝且J1∩J2=∅，使得

即x1，x2，…，xn半线性相关，矛盾.

定理2.4设L是yoked半环且存在0≠a∈L是加法可逆的非零因子，M是整的且加法可消的半模.｛x1，x2，…，xn｝是强线性无关的当且仅当｛x1，x2，…，xn｝是自由的.

证明由命题2.1知只需证明必要性即可.

必要性 对任意的α∈M，若

根据定理2.4和文献［12］中的命题2.3有如下结论.

即A可由UA线性表出.从而UA是M的生成集.

2）要证UA是M的基，由1）知下面只需证UA是线性无关的即可.

假设UA是线性相关的，则存在i0∈s，j0∈n，使得

定理2.7设半环L满足dim（V1（L））=1.设｛x1，x2，…，xm｝和｛y1，y2，…，ym｝是半模M上的两组向量，满足关系式（y1，y2，…，ym）=（x1，x2，…，xm）A，A∈Mm（L），其中｛x1，x2，…，xm｝是强线性无关的.若A是可逆的，则｛y1，y2，…，ym｝也是强线性无关的.

证明若y1，y2，…，ym是线性相关或半线性相关的，则存在2个不相交的非空指标集kj∈L，使得

由存在kj≠0且a11，a22，…，amm≠0（因为a11，a22，…，amm∈U（L））知存在kj ajj≠0，即x1，x2，…，xm是线性相关或半线性相关的，矛盾.故y1，y2，…，ym是强线性无关的.

3 强线性无关的基的性质

本节将讨论强线性无关集的GM-rank并给出任意基都是强线性无关的等价刻画.

定义3.1［17］设x1，x2，…，xn是M的向量组.若存在2个非空不交的指标集L，使得

则称向量组x1，x2，…，xn是Gondran-Minoux相关的，简称为GM-相关的；否则，称向量组x1，x2，…，xn是GM-无关的.向量组x1，x2，…，xn的Gondron-Minoux rank是指向量组中强线性无关子集的最大基数，简记为GM-rank.半模M的Gondran-Minoux rank=max｛k：k是M中GM-无关集的基数｝，简记为GM-rank（M）.

注3.1由定义3.1、定义2.4和定义2.5知，若向量组x1，x2，…，xn是GM-无关的当且仅当x1，x2，…，xn是强线性无关的当且仅当x1，x2，…，xn的GM-rank等于n.若向量组x1，x2，…，xn是GM-相关的当且仅当x1，x2，…，xn是线性相关或半线性相关的.

由定义3.1知下列命题成立.

命题3.1设x1，x2，…，xm是半模M的向量组.若GM-rank（M）=n且m＞n，则x1，x2，…，xm是线性相关或半线性相关的.

命题3.2若x1，x2，…，xm是半模M的强线性无关的向量组，则GM-rank（M）≥m.

命题3.3若GM-rank（M）=n，则M中任意含有n+1个向量的向量组都是线性相关或半线性相关的.

命题3.4若M是含有强线性无关基的有限生成半模，则r（M）≤GM-rank（M）.

在下文中讨论的半模都是含有强线性无关基的有限生成半模.

定理3.1半模M中任意强线性无关集的基数都不超过n当且仅当GM-rank（M）≤n.若M还满足r（M）=n，则GM-rank（M）=n.

证明充分性和必要性根据定义3.1容易得到.

设x1，x2，…，xm是M的强线性无关的基，由r（M）=n知m≥n.又由M中任意强线性无关集的基数都不超过n知m≤n.故m=n，从而

引理3.2若半模M的GM-rank（M）=r（M），则M的每组强线性无关基的基数都等于GM-rank（M）.

证明设GM-rank（M）=r（M）=n且x1，x2，…，xm是M的强线性无关基.由r（M）=n知m≥n.若m＞n，又由GM-rank（M）=n知x1，x2，…，xm是线性相关或半线性相关的，矛盾.因此，m=n.

引理3.3［18］在半模Vn（L）中每组基的基数都不会小于n.

推论3.1设在整半环L中存在0≠a∈V（L），则在半模Vn（L）中，每组强线性无关基的基数=GM-rank（Vn（L））=n.

定理3.4设在整半环L中存在0≠a∈V（L），若A=｛x1，x2，…，xn｝和B=｛y1，y2，…，ym｝是Vn（L）的2组基，则下列结论等价：

1）B是强线性无关的；

2）m=n；

3）B的GM-rank等于n.

证明由注3.1和推论3.1知只需证明2）⇒3）.

2）⇒3） 由于B是Vn（L）的一组基且含有n个向量，则B自由基，由命题2.1知B是强线性无关的，故B的GM-rank等于n.

由定理3.4有如下结论.

推论3.2设在整半环L中存在0≠a∈V（L），则下列结论等价：

1）Vn（L）中的每组基都是强线性无关的；

2）Vn（L）的每组基都有相同的基数.

定义3.2［19］设矩阵A∈Mm×n（L），A的列向量组的GM-rank记作GMc（A），A的行向量组的GM-rank记作GMr（A）.当GMc（A）=GMr（A）时称为A的GM-rank，记作GM（A）.

注3.2由定义3.2知GM（A）≤min｛m，n｝.

定理3.5设M是整半模且x1，x2，…，xn和y1，y2，…，ym是M的2组向量，其中x1，x2，…，xn是强线性无关的，满足关系式（y1，y2，…，ym）=（x1，x2，…，xn）A，A=（aij）∈Mn×m（L）.若存在0≠a∈L是加法可逆的非零因子且GMc（A）＜m，则y1，y2，…，ym是线性相关或半线性相关的.

证明设

则方程（9）可以等价的写成

其中α1，α2，…，αn是A的列向量组.由GMc（A）=m知α1，α2，…，αn是线性相关或半线性相关的.又由引理2.3知在方程（10）中存在ki≠0，i∈n，从而x1，x2，…，xn是线性相关或半线性相关的，矛盾.同理，可由m＞n得出矛盾，故m=n.

4 结论

在本文中，在有限生成半模上给出了自由集和强线性无关集两者之间的关系.其次，给出了交换半环上有限生成半模中强线性无关基和半模M的GM-rank之间的关系，然而对于含有强线性无关基的有限生成半模的基数问题仍没有解决.