一种新型指数曲线模型的参数估计方法及其应用

左 凯

（成都师范学院 数学学院，四川 成都611130）

统计资料表明，大量社会经济现象的发展主要是渐进型的，其发展相对于时间具有一定的规律性［1-2］.趋势外推法是事物发展渐进过程的一种统计方法，主要优点是可以揭示事物未来的发展，并定量地估计其功能特性，常见的趋势外推统计模型有多项式曲线预测模型、指数曲线模型、对数曲线预测模型和生长曲线预测模型.如果社会经济现象的发展趋势每期基本上按照相同的增长速度变化，则可采用指数曲线模型进行拟合；如果社会经济现象的发展趋势为初期增长迅速，随后增长率逐渐减低，最终以一个常数为增长极限时，则可采用修正指数曲线模型进行拟合.

杨桂元［3］根据指数曲线预测模型的特点，对模型的假设、参数估计、拟合误差以及无偏性等问题进行了讨论，并与经典的线性回归模型进行了比对.高燕希等［4］根据现有指数曲线模型计算方法的应用特点，对其计算过程进行了优化，并以湖南省岳阳市进港道路为例，分析路面沉降的变化规律.官陈平等［5］利用2004—2010年福州市细菌性疾病的发病率建立指数曲线方程，并进行外推5 a预测，取得了较为准确的计算结果.程健等［6］利用指数曲线法研究了在役储罐发生不均匀沉降后的结构疲劳安全性问题.最近，左凯等［7］研究了具有时间一次项的指数曲线模型，采用分段求和的思想方法给出了模型各个参数的具体表达式，并通过一个例子详细地给出了求解的具体步骤.2009年，吴新燕等［8］采用修正指数曲线模型对汶川地震各时刻的死亡人数进行拟合，并与指数曲线模型进行比较，同时又用集集地震和阪神地震的数据进行了验证.计算结果表明，修正指数曲线模型能够很好地对地震死亡人数进行估计，从而为各级抗震救灾指挥部提供救灾决策参考依据.

欧阳明等［9］在对已有的数学模型预测方法进行分析，并将指数曲线模型按照一定的修正方法进行优化的基础上，提出了一个新的修正指数曲线模型.通过对不同类型的单桩静载荷试验数据进行拟合，验证了提出的新模型能够对单桩P-S曲线进行很好地描述.谭生源［10］在修正指数曲线模型的基础上提出了具有振荡项的修正指数曲线模型.针对模型本身的特点，采用最小二乘法给出了系统参数满足的最优化问题，并结合Matlab软件包求解出系统参数的具体取值.最后，将模型应用在一次能源消费分析中.最近，张萍等［11］结合指数曲线模型和修正指数曲线模型的特点，提出了具有时间幂次项的指数曲线模型，利用信赖域算法给出了模型参数的数值求解方法，并将其应用在西藏自治区水资源总量的分析中.

但是，值得注意的是，文献［10-11］并没有给出模型参数的具体表达式，而是通过数值计算方法给出模型参数的计算方法.本文在经典指数曲线模型、修正的指数曲线模型和文献［7，10-11］的启发下，提出了具有二次多项式项的新型指数曲线模型，并采用分段求和的方法给出了模型各个参数的具体表达式.最后，以我国稻谷产量为例，将数值计算结果与指数曲线模型、修正的指数曲线模型进行对比.从结果上可以明显看出，本文提出的模型具有更高的精度和准确度.

1 指数曲线模型和修正指数曲线模型

1.1 指数曲线模型由文献［1-2］可知，经典的指数曲线模型为

为了估计参数a、b的表达式，一般将方程（1）两端取对数，得

从而估计出参数lna和lnb，再取反对数，即可得到参数a、b的估计值.

1.2 修正指数曲线模型由文献［1-2］可知，在经典指数曲线模型的基础上增加一个常数c，即得到修正指数曲线模型的表达式

其中，a、b、c为未知参数，a≠0，b∈（0，1）∪（1，∞），c∈（0，∞）.

参数a、b、c估计的基本思想是三和法：把整个原始序列分成相等的3个数组，每个组有m项，根据趋势值Y（t）的3个局部总和分别等于原数列观察值3个局部总和来确定3个参数.具体设观察值的3个局部总和分别为得：

2 带二次多项式项的新型指数曲线模型

在经典指数曲线模型、修正指数曲线模型上，本文提出了具有二次多项式项的指数曲线模型，其一般方程为

可以看出，当p=0、q=0、r=0时，新型指数曲线模型退化为经典指数曲线模型；当p=0、q=0时，新型指数曲线模型退化为修正指数曲线模型.

接下来，利用分段求和法的思想推导系统中参数a、b、p、q、r的具体表达式.首先，把用于建模的数据分成相等的5组，每组有m项，根据趋势值Y（t）的5个局部和分别等于原序列的5个局部和来确定模型的参数.具体为设观察值的5个局部和分别为S1、S2、S3、S4、S5，得到：

通过对方程（22）和（23）求解，并结合表达式（10）（15）（19）得到

至此，通过分段求和的方法得到了模型各个参数的具体表达式，一旦给定原始序列的具体取值，则可建立具体的模型并进行拟合和预测.

3 具体应用

3.1 模型精度判断准则在具体应用之前，给出衡量模型精确的几个度量指标，分别是绝对百分误差（APE）、平均绝对误差（MAE）、平均绝对百分误差（MAPE）和希尔统计量（TIC）.

在（26）式中，当l=2，v=5m，MAE为拟合误差，记为MAEfit；当l=5m+1，v=n，MAE为预测误差，记为MAEfore；当l=2，v=n，MAE为总误差，记为MAEtotal，表达式中＾Y（t）为计算得到的值，5m为用于建模的个数，n为原始序列的总个数.

3.2 对中国稻谷产量的分析使用2002—2018年共17 a的我国稻谷产量（万t）的统计数据进行研究.首先，以2002—2016年共15 a的数据进行模型的建立，2017—2018年的数据进行验证，将相应的数据代入分别得到3种模型的具体表达式为：

1）指数曲线模型

经典指数曲线模型、修正指数曲线模型、二次多项式项的指数曲线模型的数值计算结果见表1、表2.从计算结果看出，二次多项式项的指数曲线模型的值与真实的数据更接近.从平均绝对百分误差看到：指数曲线模型的建模误差、拟合误差和总的误差分别为26.887 3%、47.013 8%和29.403 1%；修正指数曲线模型的建模误差、拟合误差和总的误差分别为1.154 0%、1.983 0%和1.257 6%；新型指数曲线模型的建模误差、拟合误差和总的误差分别为1.115 3%、0.142 7%和0.993 7%.可以明显看出，新提出的模型在稻谷产量中比经典指数曲线模型和修正指数曲线模型有更高的精度.

表1 指数曲线模型、修正指数曲线模型和新型指数曲线模型对稻谷产量数据的计算结果Tab.1 Calculations of rice yields by an exponential curve model，a modifed exponential curve model and a new exponential curve model

表2 指数曲线模型、修正指数曲线模型和新型指数曲线模型对稻谷产量数据的计算误差Tab.2 Calculational errors of rice yields by an exponential curve model，a modifed exponential curve model and a new exponential curve model

4 结论

本文讨论了带有二次多项式项的新型指数曲线模型，并充分利用分段求和的思想给出了模型中每个参数的具体表达式.最后，以我国稻谷产量为例说明了本模型在某些数据下的拟合精度和预测精度比经典指数曲线模型、修正指数曲线模型都要高.

相比较传统的最小二乘法或者是对数变换等方法，本文的分段求和方法思想简单，操作性好，且能够得到满意的结果.在今后的研究中，将考虑此方法在其他类似模型中的应用.

致谢成都师范学院校级重点项目（CS19ZA12）对本文给予了资助，谨致谢意.