初中数学单元复习课教学设计的特征分析①

顾继玲 章 飞

(1.南京师范大学教师教育学院 210097；2. 江苏第二师范学院课程与教学研究所 210013)

1 问题提出

复习课是在学习的某一阶段，以梳理、巩固已学知识和方法，促进知识系统化，提高学生运用所学知识解决问题的能力为主要任务的一种课型.根据学习的不同阶段，复习课又可分为单元复习课、专题复习课和综合复习课.研究表明，复习课的教学存在一些问题[1][2][3][4]，在知网以 “复习课”和“数学”为主题词检索核心期刊文章仅147篇，说明在实际教学中复习课受到的重视远不及新授课.本文以同课异构的案例为研究素材，对初中数学单元复习课的现状进行分析.

2 研究方法

2.1 研究材料

39份教学设计出自某省2018年初中数学青年教师基本功大赛，课题均为九年级下册“锐角三角函数”章复习课(第1课时)，参加该项比赛的39位选手经过全省13个地级市选拔产生(每市3人).该项比赛组织形式为：封闭3.5小时独立进行教学设计与课件制作，现场提供教材(课题事先保密)，没有其他参考资料，只凭选手对教材的理解、教学经验现场进行教学设计与课件制作.因此这个活动的材料一定程度上能反映一线教师对复习课教学的认识状况及对复习课教学的价值追求，当然因教师的总体水平偏高，结果应该要优于一般的教学，这也恰可以给一线教师有更多的借鉴和启发.

2.2 研究方法

首先对39份教学设计文本进行全部阅读并进行教学流程及教学内容的简单记录，形成汇总表.然后建立研究框架，按照教学目标、教学环节和具体设计等角度进行编码分析，在定量的基础上提炼出定性结论，并结合典型案例说明.

3 分析与讨论

3.1 教学目标

教学目标是教学的起点和归宿，复习课的教学目标显然不同于新授课，教学设计的教学目标设定一定程度上可以反映出教师对复习课的教学定位.将39份教学设计文本中“教学目标”部分出现的不同于新授课的关键词归类并统计出现的频次，结果如下：

表1 教学目标关键词频次统计

进一步按照每份教学设计中关键词出现的数量统计出现的频次，结果如下：

表2 关键词数量的统计

由表1知，“教学目标”中出现的不同于新授课的关键词有5类：知识体系、应用能力、活动经验、反思能力和新知获得，同类关键词出现的频次由高到低分别为:知识体系、应用能力、新知获得、活动经验和反思能力，表明教师清楚复习课和新授课有不同的定位，并将知识体系的梳理和建构、应用能力的提高作为教学目标的重点，如很多设计中引导学生回顾直角三角形的有关知识，包括勾股定理(边的关系)、两个锐角互余(角的关系)、锐角三角函数(边和角的关系)，提出问题：5个元素至少知道几个能求出所有元素？再如要求学生应用所学知识和方法去解决问题，类型上有数学问题和现实问题，层次上从已知直角三角形到需要自行构造直角三角形，从一个直角三角形到两个直角三角形等.

从表2关键词的数量来看，出现2个以上关键词的教学设计有21份，接近54%，表明复习课教学目标表现出多元化.尤其是有少数教师关注了学生活动经验的积累和反思能力的养成，这两者相对而言是教学的远期目标，更为隐性，体现数学教学活动对促进学生发展的教育功能，但远期目标的实现必须和具体内容相联系，通过近期目标来实现，一线教师对这二者的关注令人欣喜.也有少数教师关注了新知的获得，准确的说是对旧知的新认识，如出现如下一些问题设计：怎样理解“锐角三角函数”中“函数”一词？你发现tanA与tanB有什么关系？sinA与cosB呢？cosA与sinB呢？你能用三角函数的眼光重新审视两个直角三角形全等要具备哪些条件吗？锐角三角函数和相似三角形之间有什么联系？……希望从新的视角加深对本章知识及相关章节知识之间关系的理解.

但也有个别教学设计没有出现上述关键词，表现出对复习课目标设定的不全面.当然，不排除这些教师文本设计中没有出现相应关键词，而教学实施中有相应目标的体现.但此行为一定程度上反映了教师对相应目标的意识比较淡薄.如案例1中的教学目标和新授课的教学目标没有差异，只是将每一课时的教学目标合并.

案例1

教学目标：1.进一步理解锐角三角函数的概念，掌握特殊角的三角函数值；

2.能够解直角三角形，了解用计算器计算三角函数及用三角函数值算锐角；

3.能运用锐角三角函数解决一些实际问题.

教学重点：锐角三角函数的概念及解直角三角形.

教学难点：运用锐角三角函数解决一些实际问题.

3.2 教学环节

教学环节能够展现师生在共同实施教学任务中的活动顺序和状态变换，实际教学实施中还能看到具体的时间分配.从39份教学设计来看，教学环节的呈现形式多样，如“知识梳理——演练展示——拓展提升——数学实验——检测反馈——小结与反思”、“解决问题，自主建构——活动思考，整体感悟——及时巩固，进阶练习——小结回顾，反思提升”、“问题1——问题2——问题3——问题4”等，其中不乏特别的设计.

案例2

问题1： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，你想到了什么？

追问： 你能按类别写出结论吗？

问题2： 三个锐角三角函数有什么共同的特征？

追问1： 学习锐角三角函数概念的过程用到了前面的什么知识？

追问2：锐角三角函数是函数吗？

练习在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，你能求△ABC其它边的长度吗？

变式在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=10，你能求出△ABC其它边的长度吗？

……

整节课的设计，以问题为主线，同时增加问题的开放性，让学生感觉不到单纯的回忆，更多是对知识关联的思考和解题方法的反思.

再看教学环节的整体结构，大体有外显和内隐的两种形式，前者各教学环节之间的界限非常清晰，有的明确用标题的方式来展现，如“知识回顾”、“例题讲解”等，后者则没有以环节的方式呈现，通常以一个个问题的方式展开整个教学流程.具体情况如下：

表3 教学环节的整体结构统计

从表3知，大约85%的教师采用了外显的教学环节，其中“知识梳理——例题讲解——巩固练习——小结反思”最为多见，这种呈现使得课堂结构比较清晰.需要指出的是，外显的教学环节不能因为有明确的标题就忽视环节与环节之间的关联性，如有的设计在“知识梳理”环节教师关注了锐角三角函数的概念、锐角三角函数的单调性和锐角三角函数的求值，而在“例题讲解”和“巩固练习”中则全部围绕非特殊角(75°、22.5°)的三角函数求值进行.同时应避免将教学流程固化，长期采用可能会让学生乏味.

大约15%的教师采用了内隐的教学环节，往往通过问题串贯穿整个教学过程，不在于用标题明示每一活动的目的，而在于用问题引领学生的思维，在问题驱动下对旧知进行复习、反思和提升，当然这对问题和问题之间的关联性有更高的要求.

案例3

问题1：章头图问题：气球有多高？结合本章知识，你有办法测量吗？你有哪些方案？

问题2：结合刚才的方案设计，回顾本章内容，我们学了什么？将你想到的写下来．

追问1 ： 3个锐角三角形函数“正弦、余弦、正切”的价值是什么？它们实际上打通了什么元素之间的关系？

追问2 ：直角三角形中除直角外的5个元素，至少知道几个就能求出所有元素？

追问3 ：锐角三角函数常有哪些方面的应用？

问题3： 锐角三角形函数，其实已经帮我们实现了从特殊锐角到任意锐角，在我们学习的基础上，你还想知道哪些奥秘？

围绕三个问题展开教学，问题1引导学生在活动中不自觉的复习回顾本章知识，是隐性的复习；问题2则旨在让学生将知识梳理，使知识系统化、结构化，问题3的作用是引发学生发现一些可以继续挖掘的问题.3个问题，层层递进，在问题的解决中学生思维得以不断提升.

3.3 具体设计

无论教学环节显性呈现还是隐性呈现，“知识梳理”、“例题讲解”、“习题训练”等都是其中的主要环节，因此进一步从“知识梳理”、“例习题分析”和“小结反思”对复习课的具体设计进行分析.

3.3.1知识梳理

知识梳理是不同于新授课的教学环节之一，在新授课中更为关注具体的知识技能和方法，对知识与知识之间的关联关注不够，在复习课中教师需要通过特定的方式，引导学生回忆某一内容，将其中的数学概念、数学结论以及它们之间的内在联系用适当的方式串联形成一定的知识结构.从是否有知识梳理、知识梳理的方式、知识结构呈现的方式对39份教学设计进行统计分析,其中知识梳理的方式分为问题式和题组式，问题式是将某一内容核心知识和方法设计成一组回忆性问题，在回答问题的基础上，建立知识网络，使知识系统化和结构化；题组式是按照某一内容核心知识和方法设计一组题组练习，通过有针对性的、逐层递进的练习，加深学生对知识方法的理解和记忆，建立知识网络，使知识系统化和结构化，如有设计中设计4个练习，练习1旨在复习锐角三角函数的概念、表示及简单性质，练习2复习特殊角的三角函数值，练习3和练习4是锐角三角函数的应用(实际问题和数学问题)，就是典型的题组式.知识结构呈现的方式分为直线式和结构式，直线式是按照教材顺序将相关内容依次罗列出来，结构式是将某一内容的知识方法用箭头、连线、词语等符号连接，形成结构图示.如案例4是结构式.

案例4

按照上述维度，知识梳理情况统计如下：

表4 知识梳理情况统计

由表4知，39份教学设计均包括知识梳理环节，表明初中数学复习课普遍重视知识梳理，其中41%采用问题式知识梳理，46%采用题组式知识梳理，同时出现13%的混合式，即问题和题组混合，在每一问题下同时出现相应的小题，如果提出的问题学生难以理解时可借助具体的问题进行讨论.但建议在知识梳理环节不要将小题变成知识点的练习，这样会对学生产生一定的思维干扰，将知识结构的建构又化为知识点的训练.如案例5即有这种倾向.

案例5

1.锐角三角函数是如何定义的？

练习1.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6.求sinA,cosA,tanA.

2.如图1，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.

图1

无论是问题式还是题组式都应选择核心知识和方法设计成一组回忆性问题或一组练习，不必面面俱到，平均用力.设计的问题应引起学生对所学知识，以引起学生的反思为目的(如案例6中的问题)，而绝不是单纯的记忆(如“锐角三角函数的定义是什么”、“特殊角的三角函数值有哪些”).题组式中的问题也可以考虑在形式上做创新设计，如将问题赋予新的情境，在解决新的问题中引起学生对知识点的回顾，或将题组用同一个情境贯穿，体现整体性.

案例6

问题1：本章的研究对象是什么？

问题2：怎样理解“锐角三角函数”中“函数”一词？

问题3：直角三角形边或角之间有怎样的联系？

问题4：请你举例说说三角函数的实际应用？

对于知识结构呈现的方式，直线式呈现占46%，结构式呈现占31%，其他占23%，直线式的呈现方式好处在于条目清晰，和教材内容顺序一一对应，不足在于各部分之间的关系显现不够，容易忽视知识的整体性，结构式不仅关注本章的知识和方法，甚至牵涉其他章节的知识和方法，如本章和直角三角形的认识、勾股定理、全等和相似都有关联.其他包括了没有知识结构的呈现，以及非本章知识结构的呈现，如仅呈现直角三角形的边角关系，问题解决的框图等，推测有些教师认为此为复习的第一课时，因此仅关注了部分知识的结构，但显然对学生整体结构建构不利，甚至有些老师将实际问题解决的框图和知识结构混为一谈.

在学生具备一定的学习经验前提下，教师也可以课前布置学生自行完成知识梳理，课上进行展示、交流，进一步完善，一方面可以节约课堂时间，另一方面可以培养学生对知识和方法进行自主回顾和重组的能力，积累反思的活动经验，但39份设计中仅有3 份知识梳理是在课前布置的.

3.3.2例习题分析

复习课中例习题的设置是必不可少的，这里的例习题是指知识梳理后出现的题目，不包括知识梳理中出现的题组问题，有些设计中出现了基础练习、当堂检测等也计入其中，一道题目下的变式问题不计入数量.对39份设计从例习题的数量、是否有变式、是否有拓展性问题等进行分析，变式包括一题多问、一题多解、一题多变等，其中一题多问是指在学生解答前或解答后，提出一些启发性的问题，引导学生数学思考或进行反思；拓展性问题的确定以教科书复习题中的拓展性问题难度为限，高于或等于此难度的计入拓展题，作为课后作业布置的拓展题也计入数量.

表5 例习题情况统计

由表5知，例习题数量以3-4道为多，总体来说题量是适中的.复习课中的例习题不在于数量的多，而应侧重于题目的典型性，要选择能体现核心知识和方法的问题，要能通过对典型例题习题的剖析，掌握解决基本题型的解题方法，使学生能举一反三， 触类旁通.如确定直角三角形的大小和形状至少需要两个条件(两边或一锐角一边)，非直角三角形可以通过作高构造直角三角形.有少量设计出现5-6道或更多，最多的一份设计出现10道，表现出训练倾向.

对于变式，有54%的设计出现了变式，包括一题多变、一题多解和一题多问，一题多问主要表现为学生解答前思路的引领，解题后对问题解决的反思.

案例7

例：(1)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=10．解这个直角三角形．

(2)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，b=8，c=10．解这个直角三角形．

在学生解答后提出两个问题：

问题1：对于上例的两道题，你是怎样计算未知边和未知角的？为什么？(有特殊比值的可以利用特殊角的三角函数值)

问题2：在解直角三角形中，你用到了哪些公式？(勾股定理、三角函数、直角三角形的两锐角互余，从中归类：直角三角形中三边关系．锐角关系以及边角的关系，明确确定一个直角三角形所需条件)

经历这样的过程，学生可以面对一个新的问题时首先会思考这个直角三角形是否确定，确定的话再进一步考虑方法的选择，整体把握数学问题.

对于拓展性问题，46%的设计出现，54%的设计没有考虑，可能与课时内容安排有关，这是复习课第一课时，可能有些教师会将拓展性问题放置第2课时.从呈现出来的拓展性问题来看，大多源自于教科书章复习题，自行选择或创新的不多，这可能由于比赛规程的限制，局限于比赛现场，资料缺乏所致.另外，要把握好拓展的度，拓展应在思维层面考虑，而不是单纯获得新的知识结论.

案例8

(1)△AFB与△FEC有什么关系？

(2)求tan∠BAF的值；

(3)求tan∠DAE的值.

案例9

如图3，矩形ABCD中，E、F分别在边CD、BC上，且∠AFE=90°．设∠BAF=α，∠FAE=β．

(2)你能发现什么？

图2

图3

3.3.3小结反思

复习课的小结也是必不可少的教学环节，将小结中的引导性问题进行梳理分类，分为经验、收获、感悟、困惑、反思和延伸，统计出现的频次，结果如下：

表6 小结反思的引导性问题统计

由表6知，引导性问题“收获”类出现频次最高，其次“反思”类、“经验”类，这是值得称赞的.“反思是数学化过程中一种重要的活动，它是数学活动的核心和动力”[5]，这也体现了和新授课小结的不同之处.限于文本的教学设计，未能看到学生课堂真正的表现.从平时课堂来看，对“收获”类学生大致会从知识、方法和经验层面去谈.对“反思”类、“经验”类，在学生经验缺乏的情况下，教师应引导学生从知识与知识间的联系、知识与方法间的联系、解题经验等方面进行考虑，也可将泛化的引导性问题具体化，如“重新审视两个直角三角形全等要具备哪些条件？”、“锐角变化时，三角函数值如何变化？”、“在解直角三角形中，涉及到的基本知识有哪些？这些知识之间有什么联系？”、“在直角三角形背景下，锐角三角函数的有关知识和全等三角形、相似三角形的知识有哪些联系？”， 待学生积累一定经验的基础上慢慢放手.

4 结论与建议

4.1 结论

(1)初中数学课堂单元复习课教学目标多元化，将知识体系的梳理和建构、应用能力的提高作为教学目标的重点.

(2)初中数学课堂单元复习课教学环节的呈现多样化，以外显形式为主.

(3)初中数学课堂单元复习课重视知识梳理，梳理的方式以题组式和问题式为主，结构的呈现以直线式和结构式为主；关注变式和拓展，例习题的数量集中在3-4道；重视小结反思，引导性问题以“收获”、“反思”、“经验”类为多.

(4)初中数学课堂单元复习课存在问题有：知识结构呈现偏直线式、变式问题类型有欠缺、拓展性问题不丰富，个别教学设计存在一些明显不足.

4.2 其他建议

(1)基于学情有针对性选择复习课内容.复习课应充分考虑学生的前期学情，查漏补缺也是复习课的目的之一，在前期的学习中，教师应该从课堂教学及学生的作业中发现学生的学习困难和典型错误，因此复习课应充分考虑学生的学情，根据学生的前期学习情况进行复习课的教学设计.如可在收集错题、提炼错因的基础上，针对易错题有重点地进行变式训练.

(2)基于章节特点选择适切性教学形式.对复习课尝试做一些创新设计，如在教学内容上由一个新的问题引导学生思考解决将旧知识回顾串联起来，所谓“以新温故”；在教学结构上，先梳理知识结构还是后梳理知识结构或边练边梳理，可能不同内容或不同阶段的复习课会有不同的选择；在教学方式上，也可尝试以学生汇报为主，教师适时释疑和干预.

(3)基于能力发展给学生更多主体性的发挥.复习课应给学生更多的思维空间和自主机会，如让学生提问题、自己出题、编题等，包括课前、课上和课下，鼓励学生发问，引导学生质疑，不仅提高学生分析问题和解决问题的能力，同时提高发现问题和提出问题的能力、批判质疑的能力.